Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Một số phương pháp giải toán số học “toán lời văn” (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Một số phương pháp giải toán số học “toán lời văn” (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC “TOÁN LỜI VĂN” I/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG - Mỗi đại lượng trong bài được sơ đồ hóa bằng đoạn thẳng - Với sơ đồ đoạn thẳng ta đã thể hiện trực quan các đại lượng trong bài toán và các quan hệ giữa chúng và đẽ dàng tìm ra đáp án của bài toán * LOẠI TOÁN TÍNH SỐ TUỔI. Bài 1: Tuổi anh hiện nay gấp 3 lần tuổi em trước kia. Khi anh bằng tuổi em hiện nay thì tổng số tuổi của hai người là 28. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay HD: Gọi độ dài đoạn thẳng AB là sự biểu thị số tuổi của em trước kia thì tuổi anh hiện nay được biểu thị bằng đoạn thẳng AC gấp 3 lần đoạn thảng AB ta có mô hình quan hệ của bài toán như sau A B Tuổi em trước kia A Tuổi em hiện nay B D (tuổi anh trước A D C 28 kia) A C E Tuổi em sau này (tuổi anh hiện nay) Do anh luôn hơn em một số tuổi nhất định nên nếu ta biểu thị tuổi anh trước kia Tuổi anh sau này (tức tuổi em hiện nay) là đoạn AD, tuổi anh sau này là đoạn AE thì BD = DC = CE chính là số tuổi anh hơn em. Từ sơ đồ ta tính được AB = 4 Vậy tuổi em hiện nay là 8 tuổi Tuổi anh hiện nay là 12 tuổi Bài 2: Hiện nay, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con hiện nay. HD: Hiện nay, tuổi mẹ gấp bốn lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và con hiện nay số lần là: 4- 1= 3 (lần) 281
2. Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và con bốn năm trước đây gấp tuổi con trước đây là: 6- 1= 5 (lần) Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không đổi nên 3 lần tuổi còn hiện nay bằng 5 lần tuổi con bốn năm trước, hay tuổi mẹ hiện nay bằng 5 tuổi con bốn năm trước. 3 Tuổi con hiện nay hơn tuổi con 4 năm trước là 4 tuổi. Ta có sơ đồ: Tuổi con hiện nay: |-----|-----|-----|-----|-----| 4 tuổi Tuổi con 4 năm trước: |-----|-----|-----| Hiệu số phần bằng nhau là: 5- 3 = 2 (phần) Tuổi con hiện nay là: 4 : 2x5 = 10 (tuổi) Tuổi mẹ hiện nay là: 10x4 = 40 (tuổi) Vậy con 10 tuổi; mẹ 40 tuổi. Bài 3: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi con bằng 1 tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người, biết 5 tổng số tuổi của mẹ và con là 36 . HD: Theo bài ra ta có sơ đồ: Tuổi con: |-----| 36 tuổi Tuổi mẹ: |-----|-----|-----|-----|-----| Tuổi con là: 36 : (1+ 5) = 6 (tuổi) Tuổi mẹ là: 36- 6 = 30 (tuổi) Tuổi bà là: 30x2 = 60 (tuổi) Bài 4: Tuổi bố gấp 3 lần tuổi anh, tuổi anh gấp 2 lần tuổi em. Tuổi bố cộng với tuổi em bằng 42 tuổi. Tính tuổi của mỗi người. HD: Tuối bố gấp 3 lần tuổi anh, tuổi anh gấp 2 lần tuổi em. Vậy tuổi bố gấp 3 . 2 = 6 ( lần ) tuổi em, 282
3. tuổi bố + tuổi em = 42 tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi em: |-----| 42 tuoi Tuổi bố: |-----|-----|-----|-----|-----|-----| Tuổi em là 42 : (1 + 6) = 6 tuổi Tuổi bố là 42 – 6 = 37 tuổi Bài 5: Năm 2000, bố 40 tuổi, Mai 11 tuổi, em Nam 5 tuổi. Đến năm nào, tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em? HD: Năm 2000, chênh lệch giữa tuổi bố và tổng số tuổi của hai chị em là: 40 - (11+ 5) = 24 (tuổi). Cứ mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi nên chênh lệch giữa tuổi bố là tuổi 2 chị em sẽ giảm đi: (1+ 1) - 1 = 1. Số năm để tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em là: 24 :1 = 24 (năm) Lúc đó là năm: 2000 + 24 = 2024 . Bài 6: Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng 109 . Tìm tuổi của mỗi người hiện nay. HD: Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi cha là 7 phần như thế cộng thêm 3 tuổi. Vậy hiệu số tuổi của hai cha con là 6 phần tuổi con cộng thêm 3 tuổi. Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì con vẫn kém cha 6 phần tuổi con hiện nay cộng thêm 3 tuổi, ta có sơ đồ khi đó: 7 phần 3 t Tuổi con: |---|---|---|---|---|---|---|--| 7 phần 6 phần 3 t Tuổi cha: |---|---|---|---|---|---|----|--|---|---|---|---|---|---|--| Theo sơ đồ ta có: 283
4. 7 phần + 7 phần + 6 phần + 3 tuổi + 3 tuổi + 3 tuổi = 109 tuổi 20 phần + 9 tuổi = 109 tuổi Û 20 phần = 100 tuổi Vậy tuổi con hiện nay là: 100 : 20 = 5 (tuổi). Tuổi cha hiện nay là: 5x7 + 3 = 38 (tuổi). Bài 7: Năm năm trước cha hơn con 36 tuổi. Hỏi năm cha bao nhiêu tuổi thì 3 lần tuổi cha bằng 7 lần tuổi con? HD: Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay đổi theo thời gian nên cha luôn hơn con 36 tuổi. 3 Đến năm mà 3 lần tuổi cha bằng 7 lần tuổi con nghĩa là năm tuổi con bằng tuổi 7 cha. Ta có sơ đồ khi đó: Tuổi con: |-----|-----|-----| 36 tuổi Tuổi cha: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 7- 3 = 4 (phần) Khi đó tuổi của cha là: 36 : 4x7 = 63 (tuổi). Bài 8: Năm nay mẹ 73 tuổi. Khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay thì tuổi mẹ hơn 7 lần tuổi con lúc đó là 4 tuổi. Tính tuổi con hiện nay? HD: Coi tuổi con là 1 phần (khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay) thì tuổi mẹ lúc đó là 7 phần như thế là cộng thêm 4 tuổi. Ta có hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 7 phần tuổi con + 4 tuổi - 1 phần tuổi con = 6 phần tuổi con + 4 tuổi. Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không đổi theo thời gian nên hiện nay mẹ vẫn hơn con 6 phần tuổi con khi đó cộng thêm 4 tuổi. Ta có sơ đồ: Tuổi con khi đó: |-----| 4 tuổi Tuổi mẹ khi đó: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| Tuổi con hiện nay: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| 4 tuổi 4 tuổi Tuổi mẹ hiện nay: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----| 73 tuổi 284
5. Theo sơ đồ ta có: 7 phần tuổi con + 4 tuổi + 6 phần tuổi con + 4 tuổi = 73 tuổi Hay 13 phần tuổi con + 8 tuổi = 73 (tuổi) 13 phần tuổi con = 65 (tuổi) Vậy một phần tuổi con khi đó là: 65:13 = 5 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 5x7 + 4 = 39 (tuổi). Bài 9: Bố nói với con: "10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con", 22 năm sau nữa thì tuổi bố sẽ gấp đôi tuổi con. Hãy tính tuổi bố và tuổi con hiện nay. HD: Mười năm trước đây, nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 10 phần như thế. Thời gian từ cách đây 10 năm đến sau đây 22 năm nữa có số năm là: 10 + 22 = 32 (năm) Theo bài ra ta có sơ đồ: Tuổi con 10 năm trước: |----| Tuổi bố 10 năm trước: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----| 32 tuổi Tuổi bố 22 năm sau: |----|--------------------------------|----|----|--------------------| 32 tuổi Tuổi con 22 năm sau: |----|--------------------------------| Nhìn sơ đồ ta thấy: 1 phần tuổi con + 32 tuổi = (10 phần tuổi con + 32 tuổi) : 2 Hay 1 phần tuổi con + 32 tuổi = 5 phần tuổi con + 16 tuổi 16 tuổi = 4 phần tuổi con Vậy tuổi con cách đây 10 năm là: 16 : 4 = 4 (tuổi). Tuổi bố cách đây 10 năm là: 4x10 = 40 (tuổi). Tuổi con hiện nay là: 4 + 10 = 14 (tuổi) Tuổi bố hiện nay là: 40 + 10 = 50 (tuổi). 1 Bài 10: Mẹ hơn con 24 tuổi. Cách đây 4 năm tuổi con bằng tuổi mẹ. Hỏi hiện nay 4 mỗi người bao nhiêu tuổi? HD: 285
6. Hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên cách đây 4 năm mẹ vẫn hơn con 24 tuổi. Ta có sơ đồ khi đó: Tuổi con: |-------| 24 tuổi Tuổi mẹ: |-------|-------|-------|-------| Theo sơ đồ tuổi mẹ cách đây 4 năm là: 24 : (4 - 1) x 4 = 32 (tuổi) Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi nên hiện nay tuổi mẹ là: 32 + 4 x1 = 36 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 36 - 24 = 12 (tuổi) Bài 11: Ba năm trước em 6 tuổi và kém chị 6 tuổi. Hỏi mấy năm sau nữa thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em? HD: Vì hiệu số tuổi của hai chị em không thay đổi theo thời gian nên em luôn kém chị 6 tuổi 3 Khi 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em nghĩa là khi tuổi em bằng tuổi chị. 4 Ta có sơ đồ khi đó: Tuổi em: |-----|-----|-----| 6t Tuổi chị: |-----|-----|-----|-----| Theo sơ đồ hiệu số phần bằng nhau là: 4- 3 = 1 (phần) Khi đó tuổi của em là: 6 :1x 3 = 18 (tuổi) Từ khi em 6 tuổi đến lúc em 18 tuổi có số năm là: 18- 6 = 12 (năm) Vậy sau 12 năm từ lúc em 6 tuổi thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em. Bài 12: Năm 2000 , mẹ 36 tuổi, hai con 7 tuổi và 12 tuổi. Bắt đầu từ năm nào, tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi của hai con? HD: Trước hết ta tính xem đến năm nào thì tuổi mẹ bằng tổng số tuổi của hai con. Đó là năm 2017 . Vậy từ năm 2018 trở đi thì tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi của hai con. Số năm để tuổi mẹ bằng tổng tuổi hai con là: 36- (7 + 12) = 17 (năm) 286
7. Số năm để tuổi mẹ bắt đầu nhỏ hơn tổng số tuổi của con là: 17 + 1= 18 (năm) Vậy năm đầu tiên là tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi 2 con là: 2000+ 18 = 2018 Bài 13: Anh hơn em 3 tuổi. Tuổi anh hiện nay gấp rưỡi tuổi em, lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi hiện nay của mỗi người. HD: Vì hiệu số tuổi của anh và em không thay đổi theo thời gian nên coi tuổi em trước đây là 1 phần thì tuổi anh trước đây là 1 phần cộng thêm 3 tuổi. Vậy tuổi em hiện nay cũng là 1 phần cộng thêm 3 tuổi. Tuổi anh hiện nay là: 1 phần + 3 tuổi + 3 tuổi = 1 phần + 6 tuổi Vì (1 phần + 6 tuổi) này cũng chính là 1,5 phần. Vậy 0,5 phần là 6 tuổi. Tuổi em hiện nay là: 12+ 3 = 15 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là: 15+ 3 = 18 (tuổi) Bài 14: Tuổi mẹ hiện nay gấp 2,3 lần tuổi con. 16 năm trước, tuổi mẹ gấp 7,5 lần tuổi con. Hỏi mấy năm sau thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con? HD: Hiện nay mẹ hơn con: 2,3- 1= 1,3 lần tuổi con hiện nay. Còn 16 năm trước mẹ hơn con: 7,5- 1= 6,5 lần tuổi con trước kia. Vì mẹ luôn hơn con một số tuổi không đổi nên 6,5 lần tuổi con trước kia bằng 1,3 lần tuổi con hiện nay, tức là tuổi con hiện nay gấp: 6,5:1,3 = 5 lần tuổi con trước kia. Do đó 4 lần tuổi con trước kia là: 16 năm, tuổi con trước kia là 4 tuổi, tuổi con hiện nay là: 4+ 16 = 20 tuổi, tuổi mẹ hiện nay là: 20 x 2,3 = 46 tuổi. Mẹ hơn con: 46- 20 = 26 tuổi. Lúc mẹ gấp đôi tuổi con thì con 26 tuổi, tức là 26- 20 = 6 năm sau thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con. 287
8. * LOẠI TOÁN BIẾT MỐI LIÊN HỆ SỐ PHẦN, PHÂN SỐ. 2 Bài 15: Lớp 5A có số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Sang đầu học kỳ II có 4 bạn 5 nữ từ lớp khác chuyển đến nên số học sinh nữ bằng 3 số học sinh nam. Hỏi đầu năm 5 học lớp 5A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam? HD: Theo bài ra ta có sơ đồ sau: ? Số học sinh nữ lúc đầu: |----|----| 4 h/s Số học sinh nữ lúc sau: |----|----|----| ? ? Số học sinh nam: |----|----|----|----|----| Theo sơ đồ số học sinh nữ lúc đầu là: 4 : (3- 2)x2 = 8 (học sinh) 2 Số học sinh nam là: 8 : = 20 (học sinh) 5 Bài 16: Ba bình nước đựng nước chưa đầy. Sau khi đổ 1 số nước ở bình 1 sang bình 2, rồi 3 đổ 1 số nước hiện có ở bình 2 sang bình 3, cuối cùng đổ 1 số nước hiện có ở bình 3 sang 4 10 bình 1 thì mỗi bình đều có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước? HD: 1 Sau khi đổ số lít nước ở bình 3 sang bình 1 thì bình 3 còn 9 lít nước. 10 æ 1 ö Vậy trước đó bình ba có số lít nước là: 9 :ç1- ÷= 10 (l) èç 10 ø÷ Trước khi nhận 1 số lít nước của bình 3 thì bình 1 có số lít nước là: 10 1 9 - 10x = 8 (l) 10 æ 1ö Vậy lúc đầu bình 1 có số lít nước là: 8 :ç1- ÷= 12 (l) èç 3ø÷ 1 Sau khi đổ số nước ở bình 2 sang bình 3 thì bình 2 còn 9 lít (theo bài ra), vậy 4 æ 1 ö trước khi đó bình 2 có số lít nước là: 9 :ç1- ÷= 12 (l). èç 4 ø÷ 288
9. Vậy trước khi nhận 1 số nước của bình 1 hay lúc đầu bình 2 có số lít nước 3 1 12 - 12x = 8 (l). 3 1 Bình 2 đổ sang bình 3 số lít nước là: 12x = 3 (l) 4 1 Theo lời giải đầu thì trước khi đổ số nước sang bình 1 thì bình 3 có 10 lít nước, 10 vậy trước khi nhận 3 lít nước ở bình 2 đổ sang hay lúc đầu bình 3 có số lít nước là: 10 - 3 = 7 (l). 23 Bài 17: Cho phân số . Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi cùng bớt cả tử số và mẫu số 28 2 của phân số đã cho đi m thì ta được phân số mới có giá trị bằng . 3 HD: 23 Hiệu của mẫu số và tử số của phân số là 28- 23 = 5 28 Nếu cùng bớt m ở cả tử số và mẫu số thì hiệu mẫu số và tử số không đổi (vẫn bằng 2 5 ) mà khi đó được phân số mới có giá trị bằng nên ta có sơ đồ: 3 Tử số mới: |-----|-----| 5 Mẫu số mới: |-----|-----|-----| Tử số mới là: 5: (3- 2)x2 = 10 Số tự nhiên m là: 23- 10 = 13. Bài 18: Cho phân số 107 . Hãy tìm số tự nhiên, biết rằng nếu cùng bớt cả tử số và mẫu 187 số đi số tự nhiên đó thì ta được phân số mới có giá trị bằng 5 . 9 HD: 107 Hiệu của tử số và mẫu số của phân số là: 187- 107 = 80 187 Nếu cùng bớt cả tử số và mẫu số đi cùng một số tự nhiên thì hiệu mẫu số và tử số 5 vẫn không đổi (vẫn bằng 80 ) mà khi đó thì được phân số mới có giá trị bằng , có sơ đồ 9 289
10. Tử số mới: |-----|-----|-----|-----|-----| 80 Mẫu số mới: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| Tử số mới là: 80 : (9- 5) x 5 = 100 Số tự nhiên cần tìm là: 107- 100 = 7 1 Bài 19: Một quầy bán vải, lần thứ nhất bán 2m vải, lần thứ hai bán số vải còn lại và 2 1 1 1 1 1 m . Lần thứ ba bán số vải còn lại và m , lần thứ tư bán số vải còn lại và m thì 2 2 2 2 2 vừa hết. Hỏi quầy vải đó bán được tất cả bao nhiêu mét vải? HD: Ta có sơ đồ: 2m Số vải lúc đầu: |---------|-------------------------------------------| 1 m 2 Số vải sau khi bán lần thứ nhất: |---------------------|--|-------------------| 1 m 2 Số vải sau khi bán lần thứ hai: |----------|--|-------| 1 m 2 Số vải sau khi bán lần thứ ba: |---|---| 1 Theo sơ đồ vải còn lại sau khi bán lần thứ ba là: x 2 = 1(m) 2 1 Số vải còn lại sau khi bán vải lần thứ hai là: (1+ ) x 2 = 3(m) 2 1 Số vải còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: (3+ ) x 2 = 7(m) 2 Số vải cửa hàng đó bán được tất cả là: 7 + 2 = 9(m) 1 Bài 20: Bình đọc một quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu Bình đọc được số trang 5 3 và 16 trang. Ngày thứ hai Bình đọc được số trang còn lại và 20 trang. Ngày thứ ba 10 3 Bình đọc được số trang còn lại và 37 trang cuối cùng. Hỏi quyển truyện đó có bao 4 nhiêu trang? 290