Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: So sánh (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: So sánh (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH Dạng 1:SO SÁNH LŨY THỪA A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n a..a.a.a.a....a (n thừa số a với a thuộcQ) Qui ước: a 0 1(a 0) & a1 a * Các phép tính luỹ thừa: - Nhân 2 luỹ thưa cùng cơ số: a m .a n a m n - Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số : a m : a n a m n (a 0;m n) - Luỹ thừa 1 tích: (a.b) n a n .b n - Luỹ thừa 1 thương: (a : b ) n a n : b n (b 0) - Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m ) n a m.n n n 3 - Luỹ thừa tầng: a m a (m )vidu : 32 38 1 1 - Luỹ thừa với số mũ âm: a n (a 0)vidu10 3 a n 103 B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA. I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. a m a n (a >1)  m > n - Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . a n b n (n > 0)  a > b II/ Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân A > B và B > C thì A > C A.C 0)  A < B Bài 1: So sánh: a, 9920 và 999910 b, 2300 và 3200 c, 3500 và 7300 d, 85 và 3.47 HD: 10 a, Ta có: 9920 992 99.101 10 999910 100 100 b, Ta có: 2300 23 8100 và 3200 32 9100 , Mà: 8100 91000 2300 3200 100 100 c,Ta có : 3500 35 143100 và 7300 73 343100 , Mà : 143100 343100 3500 7300 5 7 d, Ta có : 85 23 215 2.214 3.214 3. 22 3.47 , Vậy 85 3.47 Bài 2: So sánh : a, 2711 và 818 b, 6255 và 1257 c, 536 và 1124 d, 32n và 23n HD : a, Ta có : 2711 333;818 332 b, Ta có : 6255 520;1257 521 c, Ta có : 536 12512;1124 12112 d, Ta có : 32n 9n ;23n 8n Bài 3: So sánh : a, 523 và 6.522 b, 19920 và 200315 c, 399 và 1121 HD:
2. a, Ta có: 523 5.522 6.522 20 15 b, Ta có: 19920 20020 8.5 260.540 và 200315 200015 24.53 260.545 21 c, Ta có: 1121 2721 33 363 399 Bài 4: So sánh: a, 10750 và 7375 b, 291 và 535 c, 544 và 2112 d, 98 và 89 HD : a, Ta có : 10750 10850 2100.3150 và 7375 7275 2225.3150 7 7 b, Ta có : 291 213 81927 và 535 55 31257 c, Ta có : 544 2.27 4 24.312 và 2112 312.712 d, Ta có : 98 108 1004 100.1003 Và 89 5123 5003 53.1003 125.1003 Bài 5: So sánh: a, 5143 và 7119 b, 21995 và 5863 c, 3976.42005 và 71997 Bài 6: So sánh: a, 637 và 1612 b, 5299 và 3501 c, 323 và 515 d, 12723 và 51318 HD : 7 a, Ta có : 637 647 82 814 12 Và 1612 24 248 23.16 816 100 100 b, Ta có : 5299 5300 53 35 3300 2501 7 7 c, Ta có : 323 32 21 9. 33 9.277 và 515 5. 52 5.257 23 18 d, Ta có : 12723 12823 27 2161 và 51318 51218 29 2162 Bài 7: So sánh : a, 2115 và 275.498 b, 7245 7244 và 7244 7243 c, 200410 20049 và 200510 Bài 8: So sánh: a, 202303 và 303202 b, 32 9 và 18 13 c, 111979 và 371320 HD: 101 a, Ta có : 202303 2.101 3.101 23.1013 101 Và 303202 3.101 2.101 32.101 , Mà : 8.1013 8.101.1012 9.1012 b, Ta có : 32 9 329 245 , Mà 245 252 1613 1813 Vậy 245 1813 18 13 660 c, Ta có : 111979 111980 113 1331660 660 Và 371320 372 1369660 Bài 9: Chứng minh rằng : 527 263 528 HD : 9 9 Ta chứng minh : 527 263 : Ta có : 527 53 1259 và 263 27 1289 7 7 Ta chứng minh : 263 528 : Ta có : 263 29 5127 và 528 54 6257 Bài 10: So sánh : a, 10750 và 7375 b, 291 và 535 c, 1255 và 257 d, 354 và 281 HD :
3. a, Ta có : 10750 10850 4.27 50 2100.3150 Và 7375 7275 8.9 75 2225.3150 18 b, Ta có : 291 290 25 3218 18 Và 535 536 52 2518 Bài 11: So sánh : a, 528 và 2614 b, 521 và 12410 c, 3111 và 1714 d, 421 và 647 Bài 12: So sánh : a, 291 và 535 b, 544 và 2112 c, 230 330 430 và 3.2410 Bài 13: So sánh: a, 3 và 281 b, 3452 và 342.348 c, 321 và 231 d, 5299 và 3501 HD: c, Ta có: 231 2.810 và 321 3.320 3.910 d, Ta có: 5299 5300 125100 và 3501 3500 243100 Bài 14: So sánh: a, 523 và 6.522 b, 1010 và 48.505 c, 1255 và 257 d, 354 và 281 HD : a, Ta có : 523 5.522 6.522 b, Ta có : 1010 210.510 2.29.510 và 48.505 3.24. 25.510 3.29.510 Vậy : 1010 48.503 5 7 c, Ta có : 1255 53 515 và 257 52 514 Vậy : 1255 257 9 9 d, Ta có : 354 36 7299 , và 281 29 5129 Vậy : 354 281 Bài 15: So sánh: a, ( 32)9 và ( 16)13 b, ( 5)30 và ( 3)50 c, 528 và 2614 d, 421 và 647 HD : 9 a, Ta có : 32 9 329 25 245 13 1613 1613 24 252 Mà : 245 252 32 9 16 13 10 b, Ta có : 5 30 530 53 12510 10 3 50 350 35 24310 . Mà : 12510 24310 14 c, Ta có : 528 52 2514 < 2614 7 d, Ta có : 421 43 647 Bài 16: So sánh: a, 231 và 321 b, 2711 và 818 c, 6255 và 1257 d, 536 và 1124 HD : 10 a, Ta có : 321 3.320 3. 32 3.910 và 231 2.810 Mà : 3.910 2.810 11 8 b, Ta có : 2711 33 333 và 818 34 324 Mà : 333 324 5 7 c,Ta có : 6255 54 520 và 1257 53 521 Mà : 520 521 d, Ta có : 536 12512 và 1124 12112 , Mà : 12512 12112
4. Bài 17: So sánh: a, 333444 và 444333 b, 200410+20049 và 200510 c, 3452 và 342.348 HD : a, Ta có : 333444 3.111 4.111 8991111.111333 và 444333 4.111 3.111 64111.111333 , Mà : 8991111.111333 64111.111333 b, Ta có : 200410 20049 20049 2004 1 2005.20049 2005.20059 c, Ta có : 3452 345.345 (342 3)345 342.345 1035 và 342.348 342 345 3 342.345 1026 Mà : 342.345 1035 342.345 1026 Bài 18: So sánh: a, 199010 + 19909 và 199110 b, 12.131313 và 13.121212 HD : a, Ta có : 199010 19909 19909 1990 1 1991.19909 Và 199110 1991.19919 Mà : 1991.19909 1991.19919 b, Ta có : 12.131313 12.13.10101 và 13.121212 13.12.10101 Bài 19: So sánh: A 222333 và B 333222 HD : 111 111 111 111 Ta có : 222333 2223 23.1113 8.111.1112 888.1112 111 111 111 và 333222 3332 32.1112 9.1112 Bài 20: So sánh : 200920 và 2009200910 Bài 21: So sánh : 269 và 531 HD: 7 3 269 263.26 29 . 22 5127.43 7 Và 531 528.53 54 .53 6257.53 Bài 22: So sánh: A 1 2 3 ... 1000 và B 1.2.3.4....11 HD: 1 1000 .1000 Ta có: A 1 2 3 ... 1000 103.103 106 2 Và B 2.5 3.4 6.7 8.9 10.11 103.103 106 Bài 23: So sánh : 17 26 1 và 99 HD: Ta có : 17 16 4; 26 25 5 nên 17 26 1 4 5 1 10 100 99 Bài 24: So sánh: a, 98.516 và 1920 b, 7150 &3775 HD: a, Ta có: 98.516 316.516 1516 1916 1920 b, Ta có: 7150 7250 8.9 50 2150.3100 3775 3675 4.9 75 2150.3150 Bài 25: So sánh các số sau đây: a/ 1619 và 825 b/ 2711 và 818 c/ 6255 và 1257 d/ 523 và 6.522 e/ 7.213 và 216 f/ 32n và 23n (n ∈ N*) g/ 2100 và 3200 h/ 5100 và 3500 i/ 230 330 430 và 3.2410
5. HD: a/ 1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275 276 275 1619 825 b/ 2711 (33 )11;81 (34 )8 332 333 332 2711 818 c/ 625 5 (54 )5 205 ;125 (53 )7 521 1257 6255 d/ 5 23 5.522 6.522 6.522 523 e/ 7.2 13 8.213 23.1213 216 216 7.213 f/ 3 2 9;23 8 9 8 32 23 (32 ) n (23 ) n (vi : n N * 32n 23n ) g/ 2 100 (23 )100 8100 & 3200 (32 )100 9100 2300 3200 h/ 5300 (53 )100 125100 & 3500 (33 )100 243100 5300 3500 i/ 430 (22 )30 (2.2)30 230.230 (23 )10 .(22 )15 810.315 810.310.3 (8.3)10 .3 2410.3 Vậy 230 330 430 3.2410 Bài 26: So sánh các số sau: a/ 199 20 &200315 b/ 3 39 &1121 c/ A= 72 45 7244 & B 7244 7243 HD: a/ Ta có: 199 20 20020 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 260.540 2003 15 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 => 2 60 .545 260.540 => 2003 15 19920 b/ Ta có: 3 39 340 (34 )10 8110 11 21 1120 (112 )10 12110 12110 1120 1121 339 c/ Ta có A= 72 44 (72 1) 7244.71 và B 7243 (72 1) 7243.71 => A > B Bài 27: So sánh e, 9920 và 999910 b, 3500 và 7300 f, 111979 và 371320 c, 85 và 3.47 g, 1010 và 48.505 d, 202303 và 303202 h, 199010 + 1990 9 và 199110 HD: e) Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 d) Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1) 371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 g) Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 h) Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài 28: Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 HD:
6. Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 Bài 29: So sánh : a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 HD: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài 30: Chứng minh rằng : 21995 < 5863 HD: Có 210 =1024, 55 =3025 210 . 3 <55 21720 . 3172 <5860 Có 37 =2187 ; 210 =1024 37 >211 3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270 21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860 Vậy 21990 <5860 và 25 < 53 21995 <5863 Bài 31: Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714 HD: 10 2 1025 238 238 210 3.73 210 3238 . 73 22380 3238 .7714 3 7 343 28 256 35 28 5 3 243 47 47 3238 33 .3235 33 . 35 33 28 25.2376 2381 3238 2381 Mà 2380 238 714 2 3 .7 22380 2381 .7714 21999 7714 Bài 32: So sánh: a) 3200 và 2300 b) 7150 và 3775 HD: a) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 ; 2300 = (23)100 = 8100 mà 8100 2300 < 3200 b) Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 (2) mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 Bài 33: So sánh các số: 50 20 &255010 ;99910 & 9999995 HD: 10 50 20  50 2  250010 255010 520 255010 5 999 10  999 2  9980015 9999995 99910 9999995 Bài 34: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 và 550 HD:
7. 2100 (22 )50 450 550 (1) 375 (33 ) 27 25 375 550 (2) 550 (55 ) 25 2525 (3) Từ(1),(2) và (3) => 2100 550 375 Bài 35: So sánh: 8 5 7 9 1 1 1 1 1 1 a, 300 và 200 b, và c, và 2 3 4 8 32 16 HD : 100 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, Ta có : 300 100 100 và 200 100 100 , Mà : 100 100 2 8 8 8 3 9 9 9 8 9 8 5 1 1 1 1 1 1 1 1 b, Ta có : 8 16 và 5 15 , mà : 16 15 4 4 2 8 8 2 2 2 7 9 1 1 1 1 1 1 1 1 c, Ta có : 7 35 và 9 36 mà : 35 36 32 32 2 16 16 2 2 2 Bài 36: So sánh: 9 13 100 500 1 1 1 1 2009 2999 a, và b, và c, (2008 2007) và (1997 1998) 243 83 16 2 HD: 9 13 13 9 1 1 1 1 1 1 1 a, Ta có : 45 và 52 45 243 3 83 81 3 3 243 100 500 1 1 1 1 1 1 1 b, Ta có : 100 400 và 500 , mà: 400 500 16 16 2 2 2 2 2 c, Ta có : 2008 2007 2009 12009 1 và 1997 1998 2999 1 2999 1, Mà: 1>-1 Bài 37: So sánh : 15 20 1 1 1 3 a, 199 và 300 b, và 5 3 10 10 Bài 38: So sánh: 7 6 5 3 1 1 3 5 a, và b, và 80 243 8 243 HD: 7 7 6 1 1 1 1 1 a, Ta có: 28 và 30 80 81 3 243 3 5 3 3 35 243 5 53 125 243 243 b, Ta có: 15 15 và 15 15 15 15 8 2 2 243 3 3 3 2 1 1 1 1 11 Bài 39: So sánh: M 1 1 1 ... 1 với 4 9 16 100 19 9 13 Bài 40: So sánh: 32 và 18 Bài 41: So sánh: a, 2711 và 818 b, 6255 và 1257 c, 536 và 1124 d, 7.213 và 216
8. e, 2115 và 275.498 g, 19920 và 200315 h, 399 và 1121 i, 7245 7244 và 7244 7243 Bài 42: So sánh: 230 330 430 và 3.2410 HD: 10 15 Ta có: 430 230.230 23 . 22 810.315 810.310 .3 2410.3 Vậy 230 330 430 3,224 Bài 43: So sánh: 4 33 và 29 14 HD: Ta có: 4 36 29 33 14 => 36 33 29 14 Bài 44: So sánh: A 20 20 20 ... 20 ( 2018 dấu căn) với B 5 HD: Ta có: 20 4 A 20 4 , Ta lại có: 20 25 5 A 20 20 20 .... 25 5 , vậy A B 5 Bài 45: Chứng minh rằng: A 6 6 6 ... 6 (2018 dấu căn) là 1 số không nguyên Bài 46 : Chứng minh rằng : B 56 56 56 .... 56 (2018 dấu căn) là 1 số không nguyên
9. Dạng 2: SO SÁNH BIỂU THỨC PHÂN SỐ Phương pháp chính: Tùy từng bài toán mà ta có cách biến đổi a a a m + Cách 1: Sử dụng tính chất: 1 và ngược lại, b b b m (Chú ý ta chọn phân số có mũ lớn hơn để biến đổi ) + Cách 2: Đưa về hỗn số + Cách 3: Biến đổi giống nhau để so sánh Bài 1: So sánh: 19 2005 72 98 a, và b, và 19 2004 73 99 Bài 2: So sánh qua phân số trung gian: 18 15 72 58 b, và b và 31 37 73 99 HD: 18 18 18 15 a, Xét phân số trung gian là: , Khi đó ta có: 37 31 37 37 72 72 72 58 b, Xét phân số trung gian là , Khi đó ta có: 99 73 99 99 n n 1 Bài 3: So sánh : và n 3 n 2 HD : n Xét phân số trung gian là : n 2 Bài 4: So sánh: 12 13 64 73 19 17 67 73 a, và b, và c, và d, và 49 47 85 81 31 35 77 83 d, Xét phần bù Bài 5: So sánh : 456 123 2003.2004 1 2004.2005 1 149 449 a, và b, và c, và 461 128 2003.2004 2004.2005 157 457 Bài 6: So sánh: 20082008 1 20082007 1 100100 1 100101 1 a, A và B b, A và B 20082009 1 20082008 1 10099 1 100100 1 HD: 2007 20082008 1 20082008 1 2007 20082008 2008 2008 2008 1 a, A 1 A B 20082009 1 20082009 1 2007 20082009 2008 2008 20082008 1 100 100101 1 100101 1 99 100101 100 100 100 1 b, Ta có : B 1 B A 100100 1 100100 1 99 100100 100 100 10099 1 Bài 7: So sánh: 1315 1 1316 1 19991999 1 19992000 1 a, A và B b, A và B 1316 1 1317 1 19991998 1 19991999 1 HD:
10. 15 1316 1 1316 1 12 1316 13 13 13 1 a, B 1 B A Vậy A>B 1317 1 1317 1 12 1317 13 13 1316 1 1999 19992000 1 19992000 1 1998 19992000 1999 1999 1999 1 b, B 1 B =A 19991999 1 19991999 1 1998 19991999 1999 1999 19991998 1 Bài 8: So sánh: 100100 1 10098 1 1011 1 1010 1 a, A và B b, A và B 10099 1 10097 1 1012 1 1011 1 HD: 2 98 100100 1 100100 1 9999 100100 102 100 100 1 a, A 1 A B Vậy A>B 10099 1 10099 1 9999 10099 102 1002 10097 1 10 1011 1 1011 1 11 1011 10 10 10 1 b, A 1 A B 1012 1 1012 1 11 1012 10 10 1011 1 Bài 9: So sánh: 107 5 108 6 108 2 108 a, A và B b, A và B 107 8 108 7 108 1 108 3 HD: 107 5 107 8 13 13 a, A 1 107 8 107 8 107 8 108 6 108 7 13 13 13 13 B 1 mà: A B 108 7 108 7 108 7 107 8 108 7 108 2 108 1 3 3 b, A 1 108 1 108 1 108 1 108 108 3 3 3 3 3 B 1 Mà: A B 108 3 108 3 108 3 108 1 108 3 Bài 10: So sánh: 1920 5 1921 6 1002009 1 1002010 1 a, A và B b, A và B 1920 8 1921 7 1002008 1 1002009 1 HD: 1920 5 1920 8 13 13 a, A 1 1920 8 1920 8 1920 8 1921 6 1921 7 13 13 13 13 B 1 , Mà: A B 1921 7 1921 7 1921 7 1920 8 1921 7 2009 1002010 1 1002010 1 99 100 100 1 b, B 1 B A, vậy A<B 1002009 1 1002009 1 99 100 1002008 1 Bài 11: So sánh: 1015 1 1016 1 102004 1 102005 1 a, A và B b, A và B 1016 1 1017 1 102005 1 102006 1 HD: 15 1016 1 1016 1 9 10 10 1 a, B 1 B A Vậy: A>B 1017 1 1017 1 9 10 1016 1 2004 102005 1 102005 1 9 10 10 1 b, B 1 B A Vậy A>B 102006 1 102006 1 9 10 102005 1