Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Tập hợp số tự nhiên - Chủ đề 2: Phương pháp giải các bài toán đếm

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Tập hợp số tự nhiên - Chủ đề 2: Phương pháp giải các bài toán đếm

1. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT *) Nhận xét: Đối với “Bài toán đếm số” thì không có phương pháp chung nào cho mọi bài toán ở dạng này. Mà khi gặp mỗi bài toán có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số.... đòi hỏi sự tư duy, tố chất thông minh kết hợp với những kiến thức đã học về tập hợp số tự nhiên để giải bài toán. Qua mỗi bài toán cụ thể, học sinh sẽ tích lũy được những phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải các bài toán khác ở dạng này được tốt hơn. *) Đếm số tự nhiên lập được từ m số cho trước lấy ra từ tập hợp số 0;1;2....;9 ta làm như sau: + Chọn một trong m số làm chữ số hàng cao nhất, rồi lập sơ đồ hình cây, sau đó đếm số lập được + Ví dụ: Từ các số 3, 6, 9 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? Bước 1: Chọn chữ số 3 làm hàng trăm, ta có 2 số 369 và 396. Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm bằng 3. Tương tự, ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm bằng 6, lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà có chữ số hàng trăm bằng 9. Bước 3: Vậy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 3.2 6 (số). *) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp cơ bản sau: - Phân tích cấu tạo số của một số tự nhiên. Ta có: ab 10a b abc 100a 10b c 10ab c 100a bc abcd 1000a 100b 10c d 10abc d 100ab cd 1000a 10bc d - Từ đặc điểm của số cần tìm và dữ kiện của bài toán ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường sẽ nhận xét để chỉ ra chữ số của hàng đơn vị và chữ số hàng cao nhất). PHẦN II. BÀI TẬP: I.Phương pháp giải - Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử) - Dựa vào quy luật hình thành các phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3, hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó). II.Bài toán Dạng 1: Đếm số các chữ số của dãy số Bài 1: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A .
2. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN a) Số A có bao nhiêu chữ số? b) Tính tổng các chữ số của số A? c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số của các dãy số sau: Dãy các số tự nhiên có 1 chữ số, dãy các số tự nhiên có 2 chữ số, dãy các số tự nhiên có 3 chữ số. Sau đó cộng các kết quả lại với nhau b) Viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A. Số B có: 3.1000= 3000 chữ số mà mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt 300 lần Lời giải: a) Số A có bao nhiêu chữ số? Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 9 (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2= 180 (chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3= 2700 (chữ số) Số A có: 9+ 180+ 2700= 2889 (chữ số). b) Tính tổng các chữ số của số A? Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.B có: 3.1000= 3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt: 3000:100 = 300 (lần) Tổng các chữ số của B (cũng là của A): (0 + 1+ 2 + ...+ 9).300 = 45.300 = 13500 (chữ số) c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? Cần đếm số chữ số 1 trong 11 dãy: 1, 2,3,...,999 1 Ta xét dãy: 000,001,002,...,999 2 Số chữ số 1 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy 2 có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ số, số lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9) đều có mặt 3.1000:10= 300 (lần). Vậy ở đây 1 chữ số 1 cũng được viết 300 lần. d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
3. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Ở dãy 2 chữ số 0 có mặt 300 lần. So với dãy 1 thì ở dãy 2 ta viết thêm các chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000). Vậy chữ số 0 ở dãy 1 được viết là: 300- 111= 189 (lần). Bài 2: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A. a) Số A có bao nhiêu chữ số? b) Tính tổng các chữ số của số A? c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần? d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Phân tích: a) Cần đếm số chữ số của các dãy số sau: Dãy các số tự nhiên có 1 chữ số, dãy các số tự nhiên có 2 chữ số, dãy các số tự nhiên có 3 chữ số. Sau đó cộng các kết quả lại với nhau b) Viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A. Số B có: 3.1000= 3000 chữ số mà mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt 300 lần Lời giải: a) Số A có bao nhiêu chữ số? Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 9 (chữ số) Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2= 180 (chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3= 2700 (chữ số) Số A có: 9+ 180+ 2700= 2889 (chữ số). b) Tính tổng các chữ số của số A? Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.Số B có: 3.1000= 3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có mặt: 3000:100 = 300 (lần) Tổng các chữ số của B (cũng là của A): (0 + 1+ 2 + ...+ 9).300 = 45.300 = 13500 (chữ số) c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
4. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Cần đếm số chữ số 1 trong 11 dãy: 1, 2,3,...,999 1 Ta xét dãy: 000,001,002,...,999 2 Số chữ số 1 trong hai dãy như nhau. Ở đây dãy 2 có 1000 số, mỗi số gồm 3 chữ số, số lượng mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều như nhau. Mỗi chữ số (từ 0 đến 9) đều có mặt 3.1000:10= 300 (lần). Vậy ở đây 1 chữ số 1 cũng được viết 300 lần. d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần? Ở dãy 2 chữ số 0 có mặt 300 lần. So với dãy 1 thì ở dãy 2 ta viết thêm các chữ số 0: - Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099); -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009); -Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000). Vậy chữ số 0 ở dãy 1 được viết là: 300- 111= 189 (lần). Bài 3: Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1và phải dùng tất cả 1998 chữ số. a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? b) Chữ số thứ 1010 là chữ số nào? Phân tích: Để đếm số trang sách ta cần phân số trang sách theo 3 loại Loại 1: Số trang sách mà mỗi số có 1 chữ số Loại 2: Số trang sách mà mỗi số có 2 chữ số Loại 3: Số trang sách mà mỗi số có 3 chữ số Từ đó tính số chữ còn lại để đánh dấu các trang có 3 chữ số, rồi tính được số trang sách b) Nhận thấy số 100 là số thứ nhất có 3 chữ số. Bằng việc dùng phép chia dư ta cần tìm xem chữ số thứ 1010 thuộc số thứ bao nhiêu có 3 chữ số Lời giải a) Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 phải dùng 9 chữ số (viết tắt chữ số). Từ trang 10 đến trang 99 cần (99- 10) + 1= 90 số có 2 chữ số, phải dùng 180 (chữ số)
5. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Vì còn các trang gồm các số có 3 chữ số Þ Còn lại: 1998- (180 + 9) = 1809 (chữ số) là đánh dấu các trang có 3 chữ số. Þ Có: 1809:3= 603 số có 3 chữ số. Þ Cuốn sách đó có: 603+ 99= 702 (vì trang 1® 99 có 99 trang). Cuốn sách có 702 trang. b) Vì 1010> 180+ 9 nên chữ số thứ 1010 nằm trong các số có 3 chữ số Ta có: 1010- (180+ 9)= 821 (chữ số) đánh dấu các trang có 3 chữ số tính từ trang 100 (số thứ nhất có 3 chữ số) nên có 821:3 được 273 và dư 2Þ Chữ số thứ 1010 sẽ nằm ở số thứ 274 có 3 chữ số. Số thứ 274 có 3 chữ số là 374Þ Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374. Bài 4: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có 110 trang bằng cách viết dãy số tự nhiên 1, 2,3,...,110. Bạn Tâm phải viết tất cả bao nhiêu chữ số? Lời giải: Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, phải dùng 9 chữ số. Từ trang 10 đến trang 99 có 99 10 1 90 (trang), phải dùng 180 (chữ số). Từ trang 100 đến trang 110 có 110 100 1 11(trang), phải dùng 11.3= 33 (chữ số). Vậy bạn Tâm phải viết tất cả: 9 + 180 + 33 = 222 (chữ số). Bài 5: Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn bắt đầu từ 2: 2, 4, 6,8,10,12,... Cô phải đánh tất cả 2000 chữ số. Tìm chữ số cuối cùng mà cô đã đánh. Lời giải: Đánh từ số 2 đến số 8 cần 8 2 : 2 1 4 số chẵn có 1 chữ số, phải đánh 4 (chữ số). Đánh từ số 10 đến số 98 cần (98- 10) : 2 + 1 = 45 số chẵn có 2 chữ số, phải đánh 45.2 90(chữ số). Đánh từ số 100 đến số 998 cần (998- 100) : 2 + 1 = 450 số chẵn có 3 chữ số, phải đánh 450.3 1350 (chữ số). Vì còn các số chẵn phải đánh gồm các số chẵn có 4 chữ số Þ Còn lại: 2000 (1350 90 4) 556 chữ số là đánh các số chẵn có 4 chữ số Có: 556:4 được 139Þ chữ số thứ 2000 sẽ nằm ở số chẵn thứ 139 có 4 chữ số Số chẵn thứ 139 có 4 chữ số là: (139 - 1).2 + 1000 = 1276 . Þ Chữ số thứ 2000 là chữ số 6 của số 1276.
6. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Bài 6: Bạn Mai viết dãy số lẻ 1;3;5;...;245. a) Bạn Mai phải viết tất cả bao nhiêu chữ số? b) Nếu mỗi chữ số viết mất một giây thì viết đến số 245 mất bao nhiêu giây? Sau 5 phút, bạn Mai viết đến chữ số nào? Lời giải: a) Viết từ số 1 đến số 9 cần 9 1 : 2 1 5 số lẻ có 1 chữ số, phải viết 5 chữ số. Viết từ số 11 đến số 99 cần (99- 11) : 2 + 1= 45 số lẻ có 2 chữ số, phải viết 45.2 90chữ số. Viết từ số 101 đến số 245 cần (245- 101) : 2 + 1 = 73 số lẻ có 3 chữ số, phải viết 73.3 219chữ số. Vậy bạn Mai phải viết tất cả: 5+ 90+ 219= 314(chữ số). b) Nếu mỗi chữ số viết hết một giây thì viết đến số 245 mất 314 giây. Đổi: 5 phút = 300 giây . Sau 5 phút, bạn Mai viết đến chữ số thứ 300. Vì 300> 90+ 5 nên chữ số thứ 300 nằm trong các số lẻ có 3 chữ số. Ta có: 300- (90+ 5)= 205 chữ số để viết các số lẻ có 3 chữ số tính từ số 101 (số lẻ thứ nhất có 3 chữ số) mà có 205:3 được 68 và dư 1. Þ Chữ số thứ 300 sẽ nằm ở số lẻ thứ 69 có 3 chữ số. Số lẻ thứ 69 có 3 chữ số là (69 - 1).2 + 101 = 237 Þ Chữ số thứ 300 là chữ số 2 của số 237. Dạng 2: Đếm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 4 gồm bốn chữ số, chữ số tận cùng bằng 2? Phân tích: Đây là bài toán đếm số tự nhiên có liên quan tới dấu hiệu chia hết cho 4. Trước hết ta cần viết số tự nhiên cầ n tìm dưới dạng abc2 , sau đó đếm số cách chọn mỗi chữ số tập hợp {0,1,2...,9} . Việc thực hiện số cách chọn các chữ số a,b,c có sự dang buộc lẫn nhau. Do đó nếu chữ số a có m cách chọn, chữ số b có n cách chọn, chữ số c có k cách chọn thì ta sẽ có m.n.k số có bốn chữ số thỏa mãn bài toán. Việc chọn chữ số c phải thỏa mãn điều kiện chi chia hết cho 4 là c24. Lời giải: Các số phải đếm có dạng: abc2 (a 0,0 a,b,c 9) . Chữ số a có 9 cách chọn. Với mỗi cách chọn a , chữ số b có 10 cách chọn.
7. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Với mỗi cách chọn a,b chữ số c có 5 cách chọn (1,3,5,7,9) để tạo với chữ số 2 tận cùng làm thành số chia hết cho 4. Tất cả có: 9.10.5 = 450 (số). Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5? Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5, ta cần hiểu chữ số 5 có thể là chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ra ba loại số có 3 chữ số thỏa mãn là: 5ab;a5b;ab5 . Ở mỗi loại số ta thực hiện đếm số cách chọn mỗi chữ số từ tập hợp {0,1,2,3,4,6,7,8,9} giống như bài 2. Lời giải: Ta chia ra 3 loại số: Số đếm có dạng 5ab (0 a,b 9,a 5,b 5) : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn các số thuộc loại này có: 9.9= 81 (số). Số đếm có dạng a5b (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn, các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số). Số đếm có dạng ab5 (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số). Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 81+ 72+ 72= 225 (số). Bài 3: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số: a) Chứa đúng một chữ số 4? b) Chứa đúng hai chữ số 4? c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Lời giải: a) Chứa đúng một chữ số 4? Các số phải đếm có 3 dạng: - Dạng 4bc (0 c,b 9,c 4,b 4) có 9.9= 81 (số). - Dạng a4c (0 a,c 9,a 4,c 4,a 0) có 8.9 = 72 (số). - Dạng ab4 (0 a,b 9,a 4,b 4,a 0) có 8.9 = 72 (số). Tất cả có: 81+ 72+ 72= 225 (số). b) Chứa đúng hai chữ số 4?
8. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Các số phải đếm gồm 3 dạng: - Dạng 44c (0 c 9,c 4) có 9 (số). - Dạng a44 (0 a 9,a 4,a 0) có 8 (số). - Dạng 4b4 (0 b 9,b 4) có 9 (số). Tất cả có: 9+ 8+ 9 = 26 (số). c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng abc (0 a,b,c 9,a 5,b 5,c 5,a 0) , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 1 cách chọn (là 0) gồm 8.9 = 72 (số). Vậy có 180- 72= 108 (số) phải đếm. d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3? Số phải tìm có dạng abc (0 a,b,c 9,a 3,b 3,c 3,a 0) , a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 3 cách chọn (nếu a+ b = 3k thì c = 0;6;9 , nếu a+ b = 3k + 1 thì c = 2;5;8 , nếu a+ b = 3k + 2 thì c = 1; 4;7 ) có 8.9.3= 216 (số). Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5? Phân tích: Những số có tận cùng bằng 5 luôn cách nhau 10 đơn vị, tuy nhiên bài toán đòi hỏi số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 3. Do đó ta cần xác định: Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5. Khoảng cách trong dãy này sẽ là 30. Từ đó vận dụng công thức “Số số hạng = (số cuối – số đầu): Khoảng cách + 1”. Lời giải: Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 9975 Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 1005 Ta có dãy số: 1005; 1035; 1065;....; 9975 Khoảng cách của dãy là 30 Số số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là: 9975 1005 :30 1 300 Vậy có 300 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 5: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 100, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3? b) Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3? c) Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3?
9. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: a) Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3? Các số chia hết cho 2 là: 2; 4;6;...;100 Số các số chia hết cho 2 là: 100 2 1 50 (số) 2 Các số chia hết cho 2 và 3: 6;12;18; 24;....;96 Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là: 96 6 1 16 (số) 6 Vậy từ 1 đến 100 có 50 16 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3. b) Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3? Các số chia hết cho 3 là: 3;6;9;12;15;...;99 Số các số chia hết cho 3 là: 99 3 1 33 (số) 3 Vậy các số chia cho ít nhất một trong hai số 2 và 3 là: 50 33 16 67 (số) c) Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3? Số các số không chia hết cho 2 và cho 3 là: 100 67 33 (số). Bài 6: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 1000, có bao nhiêu số: a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5? b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5? Lời giải: a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5? Gọi A, B,C, D, E,G, H là tập hợp các số từ 1 đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 2 và 3, chia hết cho 2 và 5, chia hết cho 3 và 5, chia hết cho cả 3 số. Số phần tử của các tập hợp đó theo thứ tự bằng S1, S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 Ta có: S1 1000 : 2 500;S2 1000 :3 333;S3 1000 :5 200;S4 1000 : 6 166
10. TÊN CHUYÊN ĐỀ. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN S5 1000 :10 100;S6 1000 :15 66;S7 1000 :30 33 Số các số phải tìm gồm: S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 734 (số) b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5? Còn lại 1000 734 266 (số). Bài 7: Có bao nhiêu số abcd mà ab cd ? Lời giải: Điều kiện: 1 a 9, 0 b 9 Xét các trường hợp sau: Nếu ab 10 thì cd (0 c,d 9) có thể bằng: 11, 12, ..., 99 , có 89 số. Nếu ab 11thì cd (0 c,d 9) có thể bằng: 12, ..., 99 , có 88 số. ........................................ Nếu ab 98 thì cd (0 c,d 9) có thể bằng: 98, 99 , có 2 số. Nếu ab = 98 thì cd (0 c,d 9) bằng: 99, có 1 số. Vậy có tất cả: 1 2 3 ... 89 4005 (số). Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số abcd , trong đó b a 1 ; d c 1 ? Lời giải: Chữ số a (0 a 9,a 0) có 8 cách chọn 1,2, ...,8 . Chữ số b (0 b 9) có 1 cách chọn (b a 1) . Chữ số c (0 c 9) có 9 cách chọn 0,1,2, ...,8 . Chữ số d (0 d 9) có 1 cách chọn (d c 1) . Tất cả có: 8.1.9.1 72 (số). Bài 9: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên: a) Có ba chữ số. b) Từ 1 đến 999. Lời giải: a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số không chứa chữ số 1. Số có ba chữ số là: 100,101, ...,999 , có 900 số (1).