Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 10: Số thập phân - Chủ đề 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 10: Số thập phân - Chủ đề 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

1. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM a) Khái niệm: a Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b, nếu phép chia a cho b b khơng bao giờ chấm dứt 2 17 Ví dụ: 0,6666... ; 1,5454...; 3 11 Tuy phép chia khơng chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia cĩ một nhĩm chữ số lặp đi lặp lại vơ hạn lần. Ta nĩi số thập phân thu được là số thập phân vơ hạn tuần hồn và nhĩm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nĩ. b) Cách viết: Để viết số thập phân vơ hạn tuần hồn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn: 2 0,6666... 0, 6 ; 3 17 1,5454... 1, 54 ; 11 7 0,2121... 0, 21 ; 33 7 0,31818... 0,3 18 22 Chú ý: Số thập phân vơ hạn tuần hồn chia thành hai dạng - Số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. VD: 0, 6 ; 0, 21 ; 1, 54 - Số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp nếu chu kì khơng bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, VD: 0,3 18 cĩ chu kì là 18 và phần bất thường là 3. 2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN ĐƠN HAY TẠP. - Nếu một phân số tối giản mà mẫu cĩ ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đĩ viết thành số thập phân vơ hạn tuần hồn. Đặc biệt +) Nếu mẫu khơng cĩ ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn.
2. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN +) Nếu mẫu cĩ một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp. 7 +) Ví dụ: khi chia 7 cho 33 được số thập phân vơ hạn, Ta cĩ: 0, 212121... 0, 21 33 7 Số cũng cĩ thể viết dưới dạng 0, 2121 hoặc 0,2 12 . So với cách viết 0, 21 cĩ chu kì 21 thì 33 cách viết thứ hai cĩ chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba cĩ chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta khơng chọn những cách viết này. +) Số thập phân vơ hạn tuần hồn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0, 21 ; gọi là tạp nếu chu kì khơng bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, ví dụ 0,3 18 cĩ chu kì là 18 và phần bất thường là 3. 3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ: - Quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số: + Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, cịn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ: 6 2 21 7 0, 6 ; 0, 21 9 3 99 33 + Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, cịn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. Chẳng hạn: 16 1 1 5,1 6 5 5 ; 90 6 318 3 315 7 0,3 18 990 990 22 a1a2...an - Tổng quát: 0, a1a2...an . 99...9 n b1b2...bk a1a2...an b1b2...bk 0,b1b2...bk a1a2...an 9 9...90 0...0 n k PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn I.Phương pháp giải: a Để viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a:b b II.Bài tốn:
3. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN Bài 1: Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn? Tại sao? Hãy viết các phân số dưới dạng đĩ. 10 5 2 13 5 ; ; ; ; . 15 11 13 22 24 Lời giải: 10 5 a) Xét phân số 15 3 10 mẫu của phân số cĩ ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn. 15 10 Vậy: 0, 666... 0, (6) 15 5 b) Xét phân số 11 5 mẫu của phân số cĩ ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn. 11 5 Vậy: 0,454545... 0, (45) 11 2 c) Xét phân số 13 2 mẫu của phân số cĩ ước nguyên tố là 13 nên viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn. 13 2 Vậy: 0,153846153846... 0, (153846) 13 13 13 d) Xét phân số 22 2.11 13 mẫu của phân số cĩ ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn. 22 13 Vậy: 0,590909... 0,5(90) 22 5 5 e) Xét phân số 24 23.3 5 mẫu của phân số cĩ ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn. 24 5 Vậy: = 0, 208333... 0, 208(3) 24 Bài 2:
4. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN 5 a) Khi viết phân số dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2021 sau dấu phẩy là chữ số nào? 7 17 b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 900 24 c) Tìm chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 27 Lời giải: 5 a) Ta cĩ: 0, 714258 714258... 0, 714258 7 Số thập phân 0, 714258 là số thập phân vơ hạn tuần hồn cĩ chu kì gồm 6 chữ số. Mà: 2021 6.336 5 , như vậy 2021 chia cho 6 dư 5 nên chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu phẩy của 0, 714258 là chữ số 5. 17 b) Ta cĩ: 0, 018888... 0,01(8) 900 Số thập phân 0, 01(8) là số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp mà phần bất thường cĩ hai chữ số và chu kì cĩ 1 chữ số là 8 . Ta lại cĩ: 100 2 nên chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của số 0, 01(8) là chữ số 8 . 24 c) Ta cĩ: 1, (4117647058823529) là số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn mà chu kì gồm 16 chữ số. 27 Mà: 210 1024 64.16 , suy ra 210 chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy là chữ số 9. Dạng 2: Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số I.Phương pháp giải: - Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn dưới dạng phân số với + Tử: là chu kì + Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. 6 2 21 7 0, 6 ; 0, 21 9 3 99 33 a1a2...an Tổng quát: 0, a1a2...an . 99...9 n - Muốn viết phần thập phân của số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp dưới dạng phân số với + Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường. + Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. 16 1 1 5,1 6 5 5 ; 90 6
5. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN 318 3 315 7 0,3 18 990 990 22 - Tổng quát: b1b2...bk a1a2...an b1b2...bk 0,b1b2...bk a1a2...an 9 9...90 0...0 n k II.Bài tốn: Bài 3: Viết các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: 0, 27 ; 0, 703 ; 0, 571428 ; 2,01 6 ; 0,1 63 ; 2,41 3 ; 0,88 63 Lời giải: 27 3 a) 0, 27 99 11 703 19 b) 0, 703 999 27 571428 4 c) 0, 571428 999999 7 16 1 15 1 d) 2,01 6 2 2 2 900 900 60 163 1 9 e) 0,1 63 990 55 413 41 31 f) 2,41 3 2 2 900 75 8863 88 39 g) 0,88 63 9900 44 Bài 4: Các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau cĩ bằng nhau khơng ? 0,(a1a2 ) ; 0,(a1a2a1a2 ) ; 0,a1(a2a1) Lời giải: a a Ta cĩ: 0,(a a ) 1 2 1 2 99 a a a a 101.a a a a 0,(a a a a ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9999 101.99 99 a a a a a a 0 a a .10 a a 0,a (a a ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 990 990 99.10 99 Vậy 0,(a1a2 ) = 0,(a1a2a1a2 ) = 0,a1(a2a1)
6. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN a a Nhận xét: Như vậy từ phân số 1 2 ta cĩ thể viết được các dạng nhiều số thập phân vơ hạn tuần hồn 99 khác nhau như 0,(a1a2 ) ; 0,(a1a2a1a2 ) ; 0,a1(a2a1) ; nhưng cách viết 0,(a1a2 ) thuận tiện hơn, do đĩ người ta chọn cách viết này. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số I.Phương pháp giải: Để thực hiện các phép tính về số thập phân vơ hạn tuần hồn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số tối giản rồi thực hiện các phép tốn trên phân số. II.Bài tốn: Bài 5: Tính: a) 0,1 6 1, 3 8 b) 1, 3 0,1 2 .2 11 c) 10, 3 0, 4 8, 6 d) 12, 1 2,3 6 : 4, 21 Lời giải: 16 1 3 a) 0,1 6 1, 3 1 90 9 15 12 1 8 90 9 6 6 9 3 6 2 8 3 12 1 30 b) 1, 3 0,1 2 .2 1 . 11 9 90 11 12 11 30 . 9 90 11 12 3 15 5 9 9 9 3 3 4 6 c) 10, 3 0, 4 8, 6 10 8 9 9 9 93 4 78 9 9 9 19 9
7. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN 1 33 21 d) 12, 1 2,3 6 : 4, 21 12 2 : 4 9 90 99 67 21 9 : 4 90 99 877 99 9647 . 90 417 4170 Bài 6: Tìm x, biết: a) 0, 37 0, 62 .x 10 b) 0, 12 :1, 6 x : 0, 4 3 0, 3 0, 384615 x 50 c) 13 0,0 3 13 85 Lời giải: a) 0, 37 0, 62 .x 10 37 62 x 10 99 99 99 x 10 99 x 10 Vậy x 10 . b) 0, 12 :1, 6 x : 0, 4 12 6 4 :1 x : 99 9 9 4 12 9 x : . 9 99 15 4 4 x : 9 55 4 4 x . 55 9 16 x 496 16 Vậy x 496
8. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN 3 0, 3 0, 384615 x 50 c) 13 0,0 3 13 85 3 384615 3 x 50 9 999999 13 3 13 85 90 1 5 3 x 10 3 13 13 391 17 30 28 3 10 391 x . 39 13 17 30 28 3 10 391 x . 39 13 17 30 3 23 28 x 13 3 39 3 271 x 13 39 271 3 x : 39 13 271 13 x . 39 3 271 1 x 30 9 9 271 Vậy x . 9 Bài 7: Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp: 0, x y 0, y x 8.0,0 1 , biết rằng x y 9 Lời giải: Ta cĩ: 0, x y 0, y x 8.0,0 xy x yx y 8 90 90 90 xy x yx y 8 10x y x 10 y x y 8 10x y x 10 y x y 8 8x 8 y 8
9. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN x y 1 Mà x y 9 Do đĩ: x 5, y 4 . Vậy 0,5 4 0, 4 5 8.0, 0 1 Bài 8: 1 Cho A (số chia cĩ 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính A với 300 chữ số thập phân. 1,00...01 Lời giải: 100chữsố 0 1 1 1 0...0 Ta cĩ: A . 1,00...01 1, 0 ...0 1 1 0 ...0 1 99chữsố 0 99chữsố 0 100 100 9...90...0 Nhân cả tử và mẫu với 9 9...9 , ta được: A . 100chữsố 9 9 ...99 ...9 100 100 Theo quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn thành phân số thì số 0, 9...90...0 viết thành phân 100 100 số trên. Vậy A 0,9 ...90 ...09 ...9... 100 100 100 Bài 9: Cho số x 0,12345...998999 trong đĩ ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau. Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao? Lời giải: Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x . Gọi chữ số thứ 2003là a . Chia dãy số trên thành ba nhĩm: 1234567891011...99100101...x nhóm I nhóm II nhóm III Nhĩm I cĩ 9 chữ số, nhĩm II cĩ 180 chữ số, nhĩm III cĩ: 2003 9 180 1814 (chữ số). Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư 2 . Số thứ 604 kể từ 100 là: 100 604 1 703. Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ). Vậy a 0 . Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0 Bài 10:
10. CHUYÊN ĐỀ 10: SỐ THẬP PHÂN – CHỦ ĐỀ 2 SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: Lời giải: Xét phép trừ thứ hai, ta cĩ: *** ** * số bị trừ cĩ dạng 10* số bị trừ *** 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập phân của thương). Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab; c,deg ; mn Ta thấy 10 : ab 0,deg nên 10000 ab.deg . (Với d 0 (vì nếu d 0 thì ab.eg 10000), g 0 (vì nếu d 0 thì thương đã dừng lại ở e )) deg là ước của 10 000 và cĩ ba chữ số. Suy ra deg bằng 53 125 hoặc 54 625 . Tương ứng ab bằng 80 hoặc 16 + Trường hợp ab 80 thì mn 80 , trái với 80 10 *** (số bị chia), loại + Trường hợp ab 16 thì c 6,mn 96 , số bị chia là 96 10 106 Vậy ta cĩ 106 :16 6,625