Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 2+3: So sánh hai lũy thừa bằng phương pháp so sánh trực tiếp và phương pháp so sánh gián tiếp

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 2+3: So sánh hai lũy thừa bằng phương pháp so sánh trực tiếp và phương pháp so sánh gián tiếp

1. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh: + Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. a m a n a 1 m n Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (nhỏ hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn. a m a n a 1 m n Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. a n bn n 0 a b Khi cơ số bằng 1, thì hai lũy thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên + Để so sánh 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc A M B Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được + Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho: A X Y B Hoặc A X Y B Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ Bài 1: Hãy so sánh: a. 1619 và 825 b. 2711 và 818 . Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì 16 và 8 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2, ở câu b) thì 27 và 81 liên quan tới lũy thừa cơ số 3. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau. b) Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1
2. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA a) Ta có 1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275 Vì 276 275 1619 825 b) Ta có 8 8 4 32  81 3 3 818 2711 11  11 3 33 27 3 3  Bài 2: Hãy so sánh: a. 1287 và 424 b. 536 và 1124 c. 3260 và 8150 d. 3500 và 7300 . Lời giải: a) Ta có : a) Ta có : 1287 (27 )7 249 424 (22 )24 248 Vì 249 248 Nên 1287 424 b) Ta có: 536 12512  536 1124 24 12  11 121  c) Ta có : 3260 2300 8100  3260 8150 50 200 100  81 3 9  d) Ta có: 3500 243100  3500 7300 300 100  7 343  Bài 3: Hãy so sánh: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2
3. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA a) 1619 và 825 b) 6255 và 1257 . Lời giải: a) Ta có:1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275 Vì 276 275 1619 825 5 4 5 20 3 7 21 b) Ta có: 625 (5 ) 5 ;125 (5 ) 5 20 21 5 7 Vì 5 5 625 125 Bài 4: Hãy so sánh: a) 3210 và 2350 b) 231 và 321 c) 430 và 3.2410. Lời giải: a) Ta có: 3210 2770 350 70 2 32 3210 2350 b) Ta có: 231 2.230 2.810 21 20 10 3 3.3 3.9 321 231 c) Ta có: 430 230.230 (23 )10.(22 )15 810.415 810.315 3.2410 3.(3.8)10 810.311 Mà 810.315 810.311 nên 810.415 810.311 hay 430 3.2410 Bài 5: Chứng minh rằng 527 263 528 . Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3
4. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 27 9  5 125 27 63  5 2 (1) 63 7 9 9 2 (2 ) 128  63 9 7 7  2 (2 ) 312 63 28  2 5 (2) 28 4 7 7 5 (5 ) 625  Từ (1) và (2) 527 263 528 Bài 6: Hãy so sánh: a) 32n và 23n n N * b) 5300 và 3500 . Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũa n, ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 100. Do đó để soa sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau. b) Lời giải: a) Ta có: n 32n 32 9n n 23n 23 8n mà 9 8 32 23 Vậy 32n 23n b) Ta có: 100 5300 53 125100 100 3500 33 243100 5300 3500 Bài 7: Hãy so sánh: 2 a) 32n n 2 và 9 n 1 b) 256n và 16n 5 (với n N ). Lời giải: a) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 4
5. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 2 32n(n 2) 9n(n 2) 9n 2n 2 2 9(n 1) 9n 2n 1 n2 2n 1 n2 2n 2 9(n 1) 9n.(n 2) 2 9(n 1) 32n(n 2) (n N) b) Ta có 256n 162n , suy ra bài toán trở thành so sánh 2n và n 5 +) Nếu 2n n 5 n 5 256n 162n +) Nếu 2n n 5 n 5 256n 162n +) Nếu 2n n 5 n 5 256n 162n Bài 8: Hãy so sánh 3.275 và 2435 . Lời giải: Ta có: 5 2435 35 325 5 3.275 3. 33 3.315 316 Vì 316 325 3.275 2435 Dạng 2: Đưa về một tích trong đó có thừa số giống nhau Bài 1: Hãy so sánh 202303 và 303202 . Lời giải: Ta có: 202303 (2.101)303 2303.101303 2303.1013.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101 303202 (3.101)2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101 202303 303202 Bài 2: Hãy so sánh 2115 và 275.498 . Lời giải: Ta có: 2115 315.715 275.498 315.716 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Mà 715 716 Vậy 2115 275.498 Bài 3: Hãy so sánh 20152015 20152014 và 20152016 20152015 . Lời giải: Ta có: 20152015 20152014 20152014 (2015 1) 2014.20152014 20152016 20152015 2014.20152015 Mà 20152015 20152014 20152016 20152015 20152015 20152014 Bài 4: Hãy so sánh 201510 20159 và 201610 . Lời giải: Ta có: 201510 20159 20159 (2015 1) 2016.20159 201610 2016.20169 Mà 2015 2016 201610 201510 20159 Bài 5: Hãy so sánh A 7245 7244 và B 7244 7243 . Lời giải: Ta có: A 7244 (72 1) 7244.71 B 7243 (72 1) 7243.71 A B Mà 44 43 A B Bài 6: Hãy so sánh 3775 và 7150 . Lời giải: Ta có: 7150 7250 8.9 50 2150.3100 1 3775 3675 4.9 75 2150.3150 2 Mà 2150.3150 2150.3100 3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 6
7. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Từ (1)(2)(3) suy ra 3775 7150 Bài 7: Hãy so sánh: a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 1512 và 813.1255. Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy trong các số lũy thừa cần so sánh thì số mũ của chúng đề không có ước chung, hoặc cơ số của chúng không thể biểu diễn dưới dạng chung một cơ số. Do đó việc đưa các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số (hoặc số mũ) để so sánh có vẻ không khả quan. Tuy nhiên các cơ số trong các lũy thừa đều có ước chung, nên việc tách các lũy thừa thành tích, để xuất hiện thừa số chung rồi so sánh thừa số riêng có vẻ khả quan. Để làm được điều này ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi an về dạng c.d k , biến đổi bm về dạng e.d k rồi so sánh hai số e và c. Từ đó so sánh được hai số an và bm b) Lời giải: a) Ta có: 523 5.522 6.522 6.522 523 b) Ta có: 7.213 8.213 23.213 216 216 7.213 3 5 c) Ta có: 813.1253 34 . 53 1512.53 mà 1512.53 1512 813.1255 1512 c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích các lũy thừa sẽ giúp nhìn ra thừa số chung của các lũy thừa, từ đó việc so sánh hai lũy thừa chỉ còn dựa vào việc so sánh các thừa số riêng. Bài 8: Hãy so sánh 9920 và 999910 . Lời giải: Ta có: 10 9920 992 99.99 10 999910 99.101 10 Vì 99.99 10 99.101 10 Nên 992 999910 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 7
8. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Bài 9: Hãy so sánh: a) 85 và 3.47 b) 1010 và 48.505 . Lời giải: a) Ta có: 85 215 2.214 3.47 3.214 Vì 2 3 Nên 2.214 3.214 Vậy 85 3.47 b) Ta có: 1010 210.510 2.29.510 48.505 3.24 . 25.510 3.29.510 Vì 2 3 Nên 2.29.510 3.29.510 1010 48.505 Bài 10: Hãy so sánh 430 và 3.2410 . Lời giải: 30 10 15 Ta có: 430 22 2.2 30 230.230 23 . 22 810.415 2410.3 8.3 10 .3 810.310.3 810.311 Vì 311 415 810.311 810.415 430 3.2410 Bài 11: Hãy so sánh 199010 19909 và 199110 . Lời giải: Ta có: 199010 19909 19909 1990 1 1991.19909 199110 1991.19919 Vì 19909 19919 199010 19909 199110 Bài 12: Hãy so sánh 7812 7811 và 7811 7810 . Lời giải: Ta có: 7812 7811 7811 78 1 7811.77 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 8
9. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 7811 7810 7810 78 1 7810.77 Vì 7811 7810 7811.77 7810.77 7812 7811 7811 7810 Dạng 3: So sánh thông qua một lũy thừa trung gian I. Phương pháp giải: Để so sánh 2 lũy thừa A và B , ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc A M B Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được II. Bài toán Bài 1: Hãy so sánh 230 330 430 và 3.2410 . Lời giải: 30 10 15 Ta có: 430 22 2.2 30 230.230 23 . 22 810.315 810.310.3 8.3 10 .3 2410.3 Vậy 230 330 430 3.2410 Bài 2: Hãy so sánh: a) 2225 và 3151 b) 19920 và 200315 c) 291 và 536 . Lời giải: 2225 (23)75 875 975 (32 )75 3150 3151 a) Ta có  A B M 2225 3151 b) Ta có: 19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 (23.52 )20 260.540 ; 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 260.545 260.540 200315 19920 291 290 (25 )18 3218 2518 536 c) Ta có:   A M B 291 536 Bài 3: Hãy so sánh: a) 9920 và 910.1130 ' b) 96142 và 100.2393 . TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 9
10. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Lời giải: a) Ta có 9920 [(99)2 ]10 980110 (223 )10 2230 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 mà 810.1130 910.1130 Nên 9920 910.1130 b) Ta có: 96142 100042 10126 100.10124 100.10124 100.(104 )31 100.(233 )31 100.2393 96142 100.2393 Bài 4: Hãy so sánh: a) 10750 và 7375 b) 3339 và 1121 . Lời giải: a) Ta có 10750 10850 (4.27)50 2100.3150 7375 7275 (8.9)75 2225.3150 7375 10750 b) Ta có: 339 340 (34 )10 8110 1121 1120 (112 )10 12110 1121 339 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 263 528 . Lời giải: Gợi ý: Hãy chứng tỏ 527 263 và 263 528 9 Ta có: 263 27 1289 9 527 53 1259 263 527 1 9 Lại có: 263 27 1289 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10