Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 4: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 4: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

1. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a a .a...a ( n 0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a Chú ý: a2 còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ). a3 còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ). Quy ước: a1 a 2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số am.an am n 3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am : an am n ( a 0, m n) Quy ước a0 1 a 0 n 4. Luỹ thừa của luỹ thừa am amn 5. Luỹ thừa một tích a.b m am.bm 6. Một số luỹ thừa của 10 : - Một nghìn: 1 000 103 - Một vạn: 10 000 104 - Một triệu: 1 000 000 106 - Một tỉ: 1 000 000 000 109 Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n 100000 (có n chữ số 0 ) PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa I. Phương pháp giải
2. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số - Sử dụng tính chất Nếu am an thì m n a N *;a 1,m,n N II. Bài toán Bài 1: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 6x 216 2x b) 3 81 c) 73x 2 3.73 73.4 1 d) .35.3x 32x 1 9 Lời giải: a) 6x 216 6x 63 x 3 Vậy x 3 b) 32x 81 32x 92 34 2x 4 x 2 Vậy x 2 . c) 73x 2 3.73 73.4 73x 2 73 (3 4) 73x 2 74 x 2 Vậy x 2 . 1 d) .35.3x 32x 1 9 33.3x 32x 1 3x 3 32x 1 x 3 2x 1
3. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x 2 Vậy x 2 . Bài 2: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 5x 2 32 24 68 : 66 62 b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1 Lời giải: a) 5x 2 32 24 68 : 66 62 5x 2 9 16 62 62 5x 2 9 16 0 5x 2 25 5x 2 25 x 2 2 x 4 Vậy x 4 . b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1 3x 16 196 :195 3 1 3x 16 19 3 1 3x 16 17 3x 1 x 0 Vậy x 0 Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn 2 a)15x .152x 1 2 b) 5x .5 52x
4. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 2 c)9x .81x 729 2 d)117 x 11x .1112 Lời giải: 2 a)15x .152x 1 2 15x 2x 150 x2 2x 0 x(x 2) 0 x 0 x 0 x 2 0 Vậy x 0 2 b) 5x .5 52x 2 5x 1 52x x2 1 2x x2 2x 1 0 x2 x x 1 0 x(x 1) (x 1) 0 (x 1)(x 1) 0 x 1 0 x 1 Vậy x 1 2 c)9x .81x 729 2 9x .92x 93 2 9x 2x 93
5. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x2 2x 3 x2 2x 3 0 x2 3x x 3 0 x(x 3) (x 3) 0 (x 3)(x 1) 0 x 3 0 x 1 x 1 0 Vậy x 1 2 d)117 x 11x .1112 2 117 x 11x 12 7x x2 12 x2 7x 12 0 x2 4x 3x 12 0 x(x 4) 3(x 4) 0 (x 4)(x 3) 0 x 4 0 x 4 x 3 0 x 3 Vậy x 4;x 3 Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480 x 1 x x x b) 5 5 2.2 8.2 x x 1 x x x c) 6 6 2 2.2 4.2 x 3 0 d) 3 25 26.2 2.3 Lời giải:
6. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480 2x (1 2 22 23 ) 480 2x.15 480 2x 25 x 5 Vậy x 5 b) 5x 1 5x 2.2x 8.2x 5x (5 1) 2x (2 8) 22.5x 2x 1.5 22.5x 2x 1.5 22.5 22.5 5x 1 2x 1 x 1 0 x 1 Vậy x 1 c) 6x 6x 1 2 x 2.2x 4.2x 7.6x 7.2x 6x 2x x 0 Vậy x 0 d) 3x 25 26.23 2.30 3x 185 Vì 185 không viết được dưới dạng luỹ thừa của 3 nên không có sô tự nhiên x nào thoả mãn Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết x x 1 x 2 x 3 a) 3 3 3 3 1080 x x 1 x 2 x 3 2 b) 5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4 Lời giải: a) 3x 3x 1 3x 2 3x 3 1080 3x (1 3 9 27) 1080
7. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 3x 27 x 3 Vậy x 3 là giá trị cần tìm. x x 1 x 2 x 3 2 b) 5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4 5x 1 5 25 125 1 88 88: 2 16 5x.156 3916 16 5x.156 3900 5x 25 x 2 Vậy x 2 . Bài 6: Tìm hai số tự nhiên m, n biết 2m 2n 2m n Lời giải: m n m n 2 2 2 2m n 2m 2n 0 2m.2n 2m 2n 1 1 2m (2n 1) (2n 1) 1 (2m 1)(2n 1) 1 m m m n 2 1 1 2 2 m 1 Vì 2 1 và 2 1 nên n n 2 1 1 2 2 n 1 Vậy m n 1 3 Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16x 16x Lời giải: 3 16x 16x x x3 x(1 x2 ) 0 x 0 x 0 2 1 x 0 x 1 Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x 0; x 1
8. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 8: a) Cho A 5 52 53 ... 5100. Tìm số tự nhiên n biết 4A 5 5n 1 2 3 99 100 2n 1 b) Cho B 2 2 2 .... 2 2 . Tìm số tự nhiên n biết 2 2 B Lời giải: a)Ta có A 5 52 53 ... 5100 5A 52 53 ... 5100 5101 5A A 52 53 ... 5100 5101 5 52 53 ... 5100 4A 5101 5 4A 5 5101 Theo đầu bài ta có: 4A 5 5n 1 5101 5n 1 n 100. Vậy n 100 . b) Ta có : B 2 22 23 .... 299 2100 2B 22 23 .... 299 2100 2101 2B B 2101 2 B 2101 2 2n 1 Mà 2 2 B 2101 22n 1 2n 1 101 n 50 Vậy n 50 Bài 9: a) Cho A 4 42 43 ... 499 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 3A 4 4n 2 . b) Cho B 4 43 45 ... 499 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 15B 42n 1 4 . Lời giải a) A 4 42 43 ... 499 4A 42 43 44... 4100 4A A 42 43 44... 4100 4 42 43 ... 499
9. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 3A 4100 4 Có 3A 4 4n 2 4100 4 4 4n 2 4100 4n 2 n 2 100 n 102 Vậy n 102 . a) B 4 43 45 ... 499 42 B 43 45 47... 4101 16B B 43 45 47... 4101 4 43 45 ... 499 15B 4101 4 Có 15B 42n 1 4 4101 4 42n 1 4 4101 42n 1 2n 1 101 n 50 Vậy n 50 . 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3 Bài 10: Tìm số tự nhiên x biết: 57 131 Lời giải: 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3 57 131 7x 49 7 1 52x 1 5 125 57 131 7x 25x x 0 Vậy x 0 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: . 8n 35 35 35 25 25 Lời giải: 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 . 8n 35 35 35 25 25
10. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 4.45 65.6 . 23n 3.35 2.25 5 24 24 3n . 2 6 6 45.4 23n 212 23n 3n 12 n 4 Vậy n 4 Bài 12: Tìm hai số tự nhiên x, y thoả mãn 2x 1.3y 12x Lời giải: 2x 1.3y 12x 2x 1.3y 22x.3x 22x :2x 1 3y :3x 2x 1 3y x x 1 0 y x 0 x y 1 Vậy x y 1 Bài 13: Tìm x biết: a) 2x 2.3x 1.5x 10800 x 3 x 1 x b) 4 .5 .6 192000 Lời giải: x 2 x 1 x a) 2 .3 .5 10800 2x 2.3x 1.5x 24.33.52 x 2 4 x 1 3 x 2 x 2 Vậy x 2 . x 3 x 1 x b) 4 .5 .6 192000 4x 3.5x 1.6x 44.53.6