Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 1: Số nguyên và tập hợp số nguyên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 1: Số nguyên và tập hợp số nguyên

1. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 7 - SỐ NGUYÊN. CHỦ ĐỀ 1: SỐ NGUYÊN VÀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. - Các số tự nhiên (khác 0) 1;2;3;4;... còn được gọi là các số nguyên dương. - Các số 1; 2; 3;... gọi là các số nguyên âm. - Tập hợp ¢ gồm các số nguyên âm, số 0, số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên. ¢ ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;... - Tập hợp các số nguyên được biểu diễn trên trục số. - Cho a,b ¢ . Trên trục số, các điểm a ; b cách đều điểm 0 thì a được gọi là số đối của b và ngược lại b cũng là số đối của a , số đối của 0 là 0. 2. THỨ TỰ TRONG ¢ - Trên trục số nằm ngang, chiều dương của trục số hướng từ trái qua phải, chiều ngược lại là chiều âm. - Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a . - Cho a,b ¢ nếu điểm a nằm trước điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b (ký hiệu là a b ) - Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương. - Nếu a;blà hai số nguyên dương và a bthì a b * Nâng cao: Với a,b,c ¢ nếu a b ; b c thì a c (tính chất bắc cầu). 3. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN. - Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu " " trước kết quả. - Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0. - Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn. - Phép cộng số nguyên có các tính chất: * Giao hoán: a b b a * Kết hợp: a b c a b c * Cộng với 0: a 0 0 a a - Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b , ta cộng a với số đối của b a b a b
2. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. - Quy tắc dấu ngoặc: * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " "đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc. * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " " đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu " " đổi thành dấu " " và dấu " " đổi thành dấu " " 4. PHÉP NHÂN SỐ NGUYÊN. - Nhân hai số nguyên khác dấu: Nếu m,n ¥ * thì m. n n .m m.n - Nhân hai số nguyên cùng dấu: +) Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0. +) Nhân hai số nguyên âm: Nếu m,n ¥ * thì m . n n . m m.n - Phép nhân số nguyên có các tính chất: * Giao hoán: a.b b.a * Kết hợp: a. b.c a.b .c * Nhân với 1: a.1 1.a a * Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a. b c a.b a.c PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1: Viết tập hợp. Dạng 2: Thực hiện phép tính Dạng 3: Tìm x Dạng 1: Viết tập hợp. I.Phương pháp giải -Dựa vào các kiến thức về tập hợp, tập hợp số nguyên, thứ tự trong tập ¢ để làm bài. II.Bài toán Bài 1: Viết tập hợp 3 số nguyên liên tiếp trong đó có số 0. Lời giải: - Nếu số 0 đứng vị trí thứ nhất ta có tập hợp 0;1;2 - Nếu số 0 đứng vị trí thứ hai ta có tập hợp 1;0;1 - Nếu số 0 đứng vị trí thứ ba ta có tập hợp 2; 1;0 Bài 2: Viết các tập hợp sau bằng hai cách:
3. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. a) Tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 5. b) Tập hợp B các số nguyên nhỏ hơn 5. c) Tập hợp C các số nguyên lớn hơn -5. Lời giải: a) Cách 1: A 0;1;2;3;4 Cách 2: A x ¥ | x 5 b) Cách 1: B ...; 1;0;1;2;3;4 Cách 2: B x ¢ | x 5 c) Cách 1: C 4; 3; 2; 1;0;1;2;... Cách 2: C x ¢ | x 5 Bài 3: Viết các tập hợp sau bằng hai cách: a) Tập hợp A các số nguyên lớn hơn -100 và nhỏ hơn 100. b) Tập hợp B các số nguyên có 1 chữ số. Lời giải: a) Cách 1: A 99; 98; 97;...;97;98;99 Cách 2: A x ¢ | 100 x 100 b) Cách 1: B 9; 8; 7;...;7;8;9 Cách 2: B x ¢ | 10 x 10 Bài 4: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. a) A 1;3;5;7;9;... b) B 2; 7; 12; 17;... Lời giải: a)Tập hợp A gồm các số tự nhiên khác 0; các phần tử lập thành dãy số: 1;3;5;7;9;... Đây là dãy số cách đều, số hạng đầu là 1, khoảng cách là 2. Các số hạng của dãy là các số tự nhiên lẻ (chia 2 dư 1) nên có dạng 2n 1với n ¥ A x ¥ | x 2n 1;n ¥  b) Tập hợp B gồm các số nguyên âm; các phần tử lập thành dãy số: 2; 7; 12; 17;... 1 Xét dãy số 2;7;12;17;... 2
4. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. Dãy 2 là dãy số cách đều, số hạng đầu là 2, khoảng cách là 5. Các số này đều chia 5 dư 2 nên có dạng 5n 2 với n ¥ . Vậy các số hạng của dãy 1 có dạng là (5n 2) với n ¥ . B x ¥ | x (5n 2);n ¥  Bài 5: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. a) A 1; 5;9; 13;... b) B 1;4; 7;10;... Lời giải: a)Các phần tử của tập A lập thành dãy số 1; 5;9; 13;... 1 Trong dãy 1 , các số đứng ở vị trí lẻ mang dấu ( ) , các số đứng ở vị trí chẵn mang dấu ( ) Xét dãy số (gồm các số hạng là phần số tự nhiên của các số trên) 1;5;9;13;... 2 Dãy 2 là dãy số cách đều, số hạng đầu là 1; khoảng cách là 4. Các số này đều chia 4 dư 1 nên có dạng 4n 1 với n ¥ Từ quy luật về dấu cho các số hạng của dãy 1 , ta có dạng tổng quát cho các số hạng của dãy 1 là ( 1)n.(4n 1) với n ¥ A x ¢ | x ( 1)n.(4n 1);n ¥  b) Các phần tử của tập B lập thành dãy số 1;4; 7;10;... 3 Trong dãy 3 , các số đứng ở vị trí lẻ mang dấu ( ) , các số đứng ở vị trí chẵn mang dấu ( ) Xét dãy số (gồm các số hạng là phần số tự nhiên của các số trên) 1;4;7;10;... 4 Dãy 4 là dãy số cách đều, số hạng đầu là 1; khoảng cách là 3. Các số này đều chia 3 dư 1 nên có dạng 3n 1 với n ¥ Từ quy luật về dấu cho các số hạng của dãy 3 , ta có dạng tổng quát cho các số hạng của dãy 3 là ( 1)n 1.(3n 1) với n ¥ B x ¢ | x ( 1)n 1.(3n 1);n ¥  Dạng 2: Thực hiện phép tính I.Phương pháp giải - Áp dụng các tính chất của phép cộng, phép nhân số nguyên; quy tắc dấu ngoặc. - Áp dụng các công thức, cách tính dãy số có quy luật. II.Bài toán
5. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. Bài 1: Thực hiện phép tính: a) 319 127 312 20 b) 1152 374 1152 65 374 c) 42 .56 28. 316 . 1 2n với n ¥ * d) 53.5678910 53.5678909 Lời giải: 2n * a) 319 127 312 20 c) 42 .56 28. 316 . 1 với n ¥ 319 127 312 20 42 .56 28. 316 .1 319 312 20 127 42 .56 28. 316 27 127 100 42 .2.28 28. 316 b) 1152 374 1152 65 374 84 .28 28. 316 1152 374 1152 65 374 28. 84 316 1152 1152 374 374 65 28. 400 1152 1152 374 374 65 11200 65 d) 53.5678910 53.5678909 53. 5678910 5678909 53.1 125 Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179 c) 2.31.12 4.6.42 8.27.3 d) 2021.74 2021.27 2021 Lời giải: a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 c) 2.31.12 4.6.42 8.27.3 2.12.31 4.6.42 8.3.27 2021.2020 2021.2022 2020.2021 2020.2022 24.31 24.42 24.27 2021.2020 2020.2021 2021.2022 2020.2022 24. 31 42 27 2022. 2021 2020 24.100 2400 2022 d) 2021.74 2021.27 2021 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179
6. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. 2021.2022 2021.179 2022.2021 2022.179 2021.74 2021.27 2021 2021.2022 2022.2021 2022.179 2021.179 2021.74 2021.27 2021.1 179. 2022 2021 2021 74 27 1 179 2021.100 202100 Bài 3: Thực hiện phép tính: a) 1.2.3....9 1.2.3....8 1.2.3....7.82 b) 25 .68 34 . 250 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 với x 7 d) 20212021. 2022 20222022. 2021 Lời giải: a) 1.2.3....9 1.2.3....8 1.2.3....82 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 1.2.3...8.9 1.2.3....8.1 1.2.3....8.8 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 1.2.3...8. 9 1 8 5. x 6 0 Thay x 7 vào ta có 5. 7 6 65 b) 25 .68 34 . 250 d) 20212021. 2022 20222022. 2021 25 .2.34 34 . 250 2021.10001. 2022 2022.10001. 2021 50 .34 34.250 2021.10001.2022 2022.10001.2021 0 34. 50 250 34.200 6800 Bài 4: Thực hiện phép tính: a) A 1 2 3 ... 2021 . 12 22 32 ... 102 . 2020.111 3.5.37.404 b) B 1 5 9 ... 101 c) C 1 3 5 7 ... 2021 2023 d) D 1 2 3 4 ... 99 100 Lời giải: a) A 1 2 3 ... 2021 . 12 22 32 ... 102 . 2020.111 3.5.37.404 2 2 2 2 1 2 3 ... 2021 . 1 2 3 ... 10 . 2020.111 3.37 . 5.404 1 2 3 ... 2021 . 12 22 32 ... 102 .2020.111 111.2020
7. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. 1 2 3 ... 2021 . 12 22 32 ... 102 .0 0 b) B 1 5 9 ... 101 1 5 9 ... 101 Xét tổng 1 5 9 ... 101 Số số hạng của tổng là 101 1 : 4 1 26 Tổng là: 101 1 .26 : 2 1326 Vậy B 1326 c) C 1 3 5 7 ... 2021 2023 Số số hạng của C bằng số số hạng của dãy số 1;3;5;7;...;2023 * Số số hạng của dãy * là 2023 1 : 2 1 1012 Tổng C có 1012 số hạng, khi nhóm 2 số hạng vào một nhóm ta được 506 nhóm. Ta có C 1 3 5 7 ... 2021 2023 2 2 ... 2 2.506 1012 d) D 1 2 3 4 ... 99 100 Số số hạng của D bằng số số hạng của dãy số 1;2;3;4;...;100 ** Số số hạng của dãy ** là 100 1 :1 1 100 Tổng D có 100 số hạng, khi nhóm 2 số hạng vào một nhóm ta được 50 nhóm. Ta có D 1 2 3 4 ... 99 100 1 1 ... 1 1.50 50 Bài 5: Tính: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2019 2020 2021 2022 b) B 100 98 96 94 ... 2 99 97 95 93 ... 1 Lời giải: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022 Dãy các số tự nhiên liên tiếp 2;3;4;5;...;2021 có 2021 2 1 2020 số hạng, khi nhóm 4 số vào một nhóm ta được 505 nhóm.
8. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. Ta có A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022 1 0 0 ... 0 2022 1 0.505 2022 2023 b) B 100 98 96 94 ... 2 99 97 95 93 ... 1 100 99 98 97 96 95 ... 2 1 100 99 98 97 96 95 ... 2 1 Từ 1 đến 100 có 100 số, khi nhóm 2 số vào một nhóm ta được 50 nhóm. Vậy B 1 1 1 ... 1 1.50 50 Bài 6: Tính a) A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022 b) B 2022 2020 2018 2016 ... 2 2019 2017 2015 ... 1 Lời giải: a) A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022 Số số hạng của A bằng số số hạng của dãy 2;4;6;...;2022 A có 2022 2 : 2 1 1011 số hạng. Kể từ số hạng đầu tiên, khi nhóm hai số vào một nhóm thì ta được 505 nhóm và dư số 2022 đứng một mình. Ta có A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022 A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022 2 2 ... 2 2022 2 .505 2022 1012 b) B 2022 2020 2018 2016 ... 2 2019 2017 2015 ... 1 2022 2020 2019 2018 2017 2016 2015 ... 2 1 Từ 1 đến 2020 có 2020 số, khi nhóm 2 số vào một nhóm ta được 1010 nhóm. Vậy B 2022 1 1 1 ... 1 2022 1.1010 3032 Bài 7: Thực hiện phép tính: a) A 1 2 22 23 ... 299 2100 b) B 22018 22017 22016 22015 22014 22013 ... 22 2 1 c) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2007 2008 2009 2010 d) D 23 43 63 ... 183 với 13 23 33 ... 93 2025 Lời giải:
9. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. a) A 1 2 22 23 ... 299 2100 1 2 22 23 ... 298 299 2100 1 2 22 1 2 ... 298 1 2 2100 1 22 1 ... 298 1 2100 2100 298 296 ... 22 1 2100 298 296 ... 22 1 Đặt S 298 296 ... 22 1 Ta có 22 S 22. 298 296 ... 22 1 2100 298 ... 24 22 22 S S 2100 298 ... 24 22 298 296 ... 22 1 2100 1 3S 2100 1 S 3 2100 1 2101 1 Vậy A 2100 S 2100 3 3 b) B 22018 22017 22016 22015 22014 22013 ... 22 2 1 22018 22017 22016 22015 22014 22013 22012 22011 22010 ... 25 24 23 22 2 1 22016 22 2 1 22013 22 2 1 22010 22 2 1 ... 23. 22 2 1 1. 22 2 1 22 2 1 . 22016 22013 22010 ... 23 1 22016 22013 22010 ... 23 1 Ta có 23 B 23. 22016 22013 22010 ... 23 1 22019 22016 22013 ... 26 23 23 B B 22019 22016 22013 ... 26 23 22016 22013 22010 ... 23 1 22019 1 7B 22019 1 B 7 c) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2007 2008 2009 2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2006 2007 2008 2009 2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2006 2007 2008 2009 2010 * Từ 2 đến 2009 có 2009 2 1 2008 số, khi nhóm 4 số vào một nhóm ta được 502 nhóm, mỗi nhóm ở * đều có tổng bằng 0. Vậy ta có C 1 0 0 ... 0 2010 1 0.502 2010 2009 3 3 3 3 d) D 2 4 6 ... 18 2.1 3 2.2 3 2.3 3 ... 2.9 3 23.13 23.23 23.33 ... 23.93 23. 13 23 33 ... 93 **
10. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN. Vì 13 23 33 ... 93 2025 nên thay vào ** ta có D 23.2025 16200 Vậy D 16200 Bài 8: Cho A 550 548 546 544 ... 56 54 52 1 a) Thu gọn A . b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5n . c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100. Lời giải: a) A 550 548 546 544 ... 56 54 52 1 550 548 546 544 ... 56 54 52 1 548 52 1 544 52 1 ... 54 52 1 1 52 1 24. 548 544 ... 54 1 Đặt S 548 544 ... 54 1 Ta có 54.S 54. 548 544 ... 54 1 552 548 ... 58 54 54 S S 552 548 ... 58 54 548 544 ... 54 1 552 1 624.S 552 1 S 624 552 1 552 1 Vậy A 24. 624 26 552 1 b) Theo ý a ta có A 26A 552 1 26A 1 552 26 Mặt khác theo đề bài ta có 26.A 1 5n nên suy ra 5n 552 n 52 Vậy n 52 c) Theo ý a ta có A 24. 548 544 ... 54 1 24. 548 544 ... 54 24 6.4.52 546 542 ... 52 24 100.6. 546 542 ... 52 24 A có dạng 100k 24 ; k ¥ A chia 100 dư 24 Bài 9: Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số; y là số nguyên âm lớn nhất. Tính S 2020.x2021 2021.y2020 Lời giải: Các số nguyên có 2 chữ số là: 99; 98; 97;...;97;98;99