Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 6: Dãy phân số theo quy luật

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 6: Dãy phân số theo quy luật

1. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6. CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT PHẦN I. TểM TẮT Lí THUYẾT Lý thuyết nờu trong từng dạng bài tập ở phần II. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI k Dạng 1: Tổng dóy phõn số cú dạng . a. a k 1 1 1 1 1) Tớnh tổng : S = + + + ...+ a1.a2 a2 .a3 a3.a4 an- 1.an Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an - an- 1 = 1 Phương phỏp: 1 a - a 1 1 Ta cú: = 2 1 = - ; a1.a2 a1.a2 a1 a2 1 a - a 1 1 = 3 2 = - ; a2 .a3 a2 .a3 a2 a3 .................................... 1 a - a 1 1 = n n- 1 = - ; an- 1.an an- 1.an an- 1 an Do đú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = - + - + - + ...+ - = - a1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an a1 an 1 1 1 Bài 1: Tớnh tổng: A ... 1.2 2.3 2014.2015
2. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 A ... 1 .... 1 1.2 2.3 2014.2015 2 2 3 2014 2015 2015 2015 2014 Vậy A 2015 1 1 1 1 Bài 2: Tớnh tổng B = + + + ...+ 1.2 2.3 3.4 100.101 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú: B = + + + ... + = - + - + - + ... + - 1.2 2.3 3.4 100.101 1 2 2 3 3 4 100 101 1 1 100 = - = 1 101 101 100 Vậy B 101 1 1 1 Bài 3: Tớnh tổng S = + + ...+ 9.10 10.11 2004.2005 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 S = + + ...+ 9.10 10.11 2004.2005 1 1 1 1 1 1 1 1 1996 S ... 9 10 10 11 2004 2005 9 2005 18045 1996 Vậy S 18045 1 1 1 1 2) Tớnh tổng : S = + + + ...+ a1.a2 a2 .a3 a3.a4 an- 1.an Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an - an- 1 = k > 1 thỡ: Phương phỏp:
3. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ k a - a 1 1 Ta cú: = 2 1 = - ; a1.a2 a1.a2 a1 a2 k a - a 1 1 = 3 2 = - ; a2 .a3 a2 .a3 a2 a3 .................................... k a - a 1 1 = n n- 1 = - ; an- 1.an an- 1.an an- 1 an Do đú: 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 1 ổ1 1 ử S = ỗ - + - + - + ...+ - ữ= ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ k ốa1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an ứ k ốa1 an ứ 2 2 2 2 Bài 4: Tớnh tổng A = + + + ...+ 1.3 3.5 5.7 99.101 Lời giải: Ta cú: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 A = + + + ...+ = - + - + - + ...+ - = - = 1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101 100 Vậy S 101 1 1 1 1 1 Bài 5: Tớnh tổng S ... 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 S ... 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
4. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 1 1 S ... 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 2 2 2 2 2 S ... 2 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ... 2 1 3 3 5 5 7 7 9 97 99 1 1 1 S 2 1 99 1 98 S . 2 99 49 S 99 49 Vậy S 99 Bài 6: Tớnh nhanh tổng sau : 32 32 32 32 32 4 4 4 4 a) A = + + + + b) B = + + + ...+ 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: a) Ta cú : 32 32 32 32 32 A = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 A = + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 ổ3 3 3 3 3 ử A = 3ỗ + + + + ữ ốỗ2.5 5.8 8.11 11.14 14.17ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử A = 3ỗ - + - + - + - + - ữ ốỗ2 5 5 8 8 11 11 14 14 17ứữ ổ1 1 ử A = 3ỗ - ữ ốỗ2 17ứữ 15 A = 3. 34 45 A = 34 45 Vậy S 34
5. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ b) Ta cú : 4 4 4 4 B = + + + ...+ 11.16 16.21 21.26 61.66 ổ 1 1 1 1 ử B = 4ỗ + + + ...+ ữ ốỗ11.16 16.21 21.26 61.66ứữ ổ 5 5 5 5 ử ị 5B = 4ỗ + + + ...+ ữ ốỗ11.16 16.21 21.26 61.66ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 5B = 4ỗ - + - + - + ...+ - ữ ốỗ11 16 16 11 21 26 61 66ứữ ổ1 1 ử 55 4 2 5B = 4ỗ - ữị 5B = 4. ị B = = ốỗ11 66ứữ 11.66 66 33 2 Vậy B 33 Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức : ổ3 3 3 3 ử ổ 25 25 25 ử A = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + ...+ ữ ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ứữ ốỗ50.55 55.60 95.100ứữ Lời giải: 3 3 3 3 Đặt B = + + + ...+ 1.8 8.15 15.22 106.113 Ta cú : ổ7 7 7 7 ử 7B = 3ỗ + + + ...+ ữ ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 7B = 3ỗ - + - + - + ...+ - ữ ốỗ1 8 8 15 15 22 106 113ứữ ổ1 1 ử 112 3.112 48 7B = 3ỗ - ữ= 3. ị B = = ốỗ1 113ứữ 113 7.113 113 25 25 25 Đặt C = + + ...+ 50.55 55.60 95.100 Ta cú :
6. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 5 5 5 C = + + ...+ 5 50.55 55.60 95.100 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + ...+ - 5 50 55 55 60 95 100 1 1 1 1 C = - = 5 50 100 100 1 ị C = 20 48 1 847 Khi đú A = B - C = - = 113 20 2260 847 Vậy A . 2260 9 9 9 1 Bài 8: Tớnh nhanh : A = + + + ...+ 9.19 19.29 29.39 1999.2009 Lời giải: 9 9 9 1 A = + + + ...+ 9.19 19.29 29.39 1999.2009 ổ10 10 10 10 ử 10A = 9ỗ + + + ...+ ữ ốỗ9.19 19.29 29.39 1999.2009ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 10A = 9ỗ - + - + - + ...+ - ữ ốỗ9 19 19 29 29 39 1999 2009ứữ ổ1 1 ử 10A = 9ỗ - ữ ốỗ9 2009ứữ 2000 2000 200 10A = 9. = ị A = 9.2009 2009 2009 200 Vậy A . 2009 1 1 1 1 1 Bài 9: Thực hiện phộp tớnh : A = 3. - 5. + 7. - ...+ 15. - 17. 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 Lời giải: Ta cú :
7. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 1 1 A = 3. - 5. + 7. - ...+ 15. - 17. 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 3 5 7 15 17 A = - + - ...+ - 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9 ổ1 1ử ổ1 1ử ổ1 1ử ổ1 1ử ổ1 1ử A = ỗ + ữ- ỗ + ữ+ ỗ + ữ- ...+ ỗ + ữ- ỗ + ữ ốỗ1 2ứữ ốỗ2 3ứữ ốỗ3 4ứữ ốỗ7 8ứữ ốỗ8 9ứữ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + - - + + - ...+ + - - 1 2 2 3 3 4 7 8 8 9 1 1 A = - 1 9 8 A = 9 8 Vậy A . 9 A 1 1 1 1 Bài 10: Tớnh tỉ số biết: A = + + + ...+ và B 1.300 2.301 3.302 101.400 1 1 1 1 B = + + + ...+ 1.102 2.103 3.104 299.400 Lời giải: Ta cú: 299 299 299 299 299A = + + + ...+ 1.300 2.301 3.302 101.400 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử 299A = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ...+ ỗ - ữ ốỗ1 300ứữ ốỗ2 301ứữ ốỗ3 302ứữ ốỗ101 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử 299A = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + + ...+ ữ ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 302 400ứữ 101 101 101 101 101B = + + + ...+ 1.102 2.103 3.104 299.400 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử 101B = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ...+ ỗ - ữ ốỗ1 102ứữ ốỗ2 103ứữ ốỗ3 104ứữ ốỗ299 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử 101B = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + + ...+ ữ ốỗ1 2 3 299ứữ ốỗ102 103 104 400ứữ ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 ử 101B = ỗ + + ...+ ữ- ỗ + + ...+ ữ ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 400ứữ
8. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 101 Khi đú 299A = 101B ị = . B 299 1 1 1 1 1 1 Bài 11: Rỳt gọn : A = - - - - ...- - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 1 1 A = - - - - ...- - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 ổ 1 1 1 1 1 ử A = - ỗ + + + ...+ + ữ 100 ốỗ100.99 99.98 98.97 3.2 2.1ứữ 1 ổ1 1 1 1 1 ử A = - ỗ + + ...+ + + + ữ 100 ốỗ1.2 2.3 97.98 98.99 99.100ứữ 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử A = - ỗ - + - + ...+ - + - + - ữ 100 ốỗ1 2 2 3 97 98 98 99 99 100ứữ 1 ổ1 1 ử A = - ỗ - ữ 100 ốỗ1 100ứữ 1 1 - 49 A = - 1+ = 100 100 50 49 Vậy A . 50 Dạng 2: Tổng dóy phõn số cú mẫu là tớch n số tự nhiờn liờn tiếp n 3 . 1 1 1 1) Tớnh tổng sau: S = + + ...+ 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) Nhận xột đề bài: + Tử cỏc số hạng đều là 1. + Mẫu cỏc số hạng đều là tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp. 1 + Số hạng tổng quỏt cú dạng: n(n + 1)(n + 2)
9. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Ta cú: 1 1 2 1 (k + 2)- k 1 ộ 1 1 ự = . = . = ờ - ỳ k (k + 1)(k + 2) 2 k (k + 1)(k + 2) 2 k (k + 1)(k + 2) 2 ởờk (k + 1) (k + 1)(k + 2)ỷỳ Do đú: 1 1 ổ1 1 ử = .ỗ - ữ 1.2.3 2 ốỗ1.2 2.3ứữ 1 1 ổ1 1 ử = .ỗ - ữ 2.3.4 2 ốỗ2.3 3.4ứữ ........................ 1 1 ổ 1 1 ử = ỗ - ữ n(n + 1)(n + 2) 2 ốỗn(n + 1) (n + 1)(n + 2)ứữ Cộng vế với vế cỏc đẳng thức trờn ta được: 1 ổ1 1 1 1 1 1 ử S = ỗ - + - + ...+ - ữ n 2 ốỗ1.2 2.3 2.3 3.4 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)ứữ 1 ổ1 1 ử ị S = ỗ - ữ n 2 ốỗ1.2 (n + 1)(n + 2)ứữ • Nhận xột kết quả: Nếu mẫu là tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp thỡ tổng bằng tớch nghịch đảo của (3- 1) với hiệu nghịch đảo của tớch hai thừa số cú giỏ trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tớch hai thừa số cú giỏ trị lớn nhất. 1 ổ1 1 ử S = ỗ - ữ n 2 ốỗ1.2 (n + 1)(n + 2)ứữ 1 1 1 Bài 1: Tớnh A ... 1.2.3 2.3.4 37.38.39
10. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: Ta cú: 1 1 1 A ... 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39 1 1 1 1 1 1 1 A ... 2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1 1 1 A 2 1.2 38.39 185 A 741 185 Vậy A . 741 1 1 1 1 Bài 2: Tớnh tổng S ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: Ta cú: 1 1 1 1 2 2 2 2 S ... 2S ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2S ... 2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425 2S . . . . . . ... . . . 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851 2425 S 9702 2425 Vậy A . 9702 1 1 1 2) Tớnh tổng sau: S = + + ...+ 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - Nhận xột đề bài: + Tử cỏc số hạng đều là 1.