Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Bất đẳng thức (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Bất đẳng thức (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA Phương pháp: So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại 1 1 1 1 Bài 1: Chứng minh rằng: A ... 1 22 32 42 1002 HD: Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau: 1 1 1 1 1 A ... 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 1 1 A 1 1 100 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng: ... 6 52 62 72 1002 4 HD: Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh: 1 1 1 1 1 1 A ... và Chứng minh A 52 62 72 992 1002 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 1 1 96 96 1 A đến đây, ta sẽ so sánh với như sau: 5 101 505 505 6 96 96 1 1 Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số 505 576 6 6 96 96 1 cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A (1) 505 567 6 1 1 1 1 1 1 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A ... 52 62 72 992 1002 4 Ta làm tương tự như sau : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 1 1 => A (2) 4 100 4 1 1 Từ (1) và (2) ta có : A 6 4 1 1 1 1 3 Bài 3: Chứng minh rằng: ... 22 32 42 1002 4 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta biến đổi: A ... ... 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 1 1 1 3 1 3 A 4 2 100 4 100 4 Page 1
2. 1 1 1 1 1 Bài 4: Chứng minh rằng: A ... 22 42 62 1002 2 HD : Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 2 2 ... 2 1 ... 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 => A 1 1 4 50 2 200 2 1 2 3 100 Bài 5: Chứng minh rằng: A ... 2 2 22 23 2100 HD : Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được, 2 3 4 99 100 Ta tính tổng A như sau: 2A 1 ... 2 22 23 298 299 Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được : 3 1 1 1 100 1 1 1 1 A ... , đặt B ... và tính tổng B theo cách như trên ta 2 22 23 299 2100 22 23 24 299 1 1 3 1 1 100 được : B , thay vào A ta được : A 2 2 299 2 2 299 2100 1 2 3 100 3 Bài 6: Chứng minh rằng: A ... 3 32 33 3100 4 HD : 1 1 1 1 100 Tính tượng tự như bài 5, ta có: 2A 1 ... , 3 32 33 999 3100 1 1 1 1 Đặt B ... , và tính B rồi thay vào tổng A ta được 3 32 33 399 1 1 1 1 100 1 3 3 B 2A 1 2A 1 A 2 2.399 2 2.399 3100 2 2 4 1 1 1 1 Bài 7: Chứng minh rằng: A ... 1 22 32 42 n2 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : A .... ... 1 1 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n 1 n n 1 1 1 1 1 Bài 8: Chứng minh rằng: A ... 42 62 82 (2n)2 4 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : A ... ... 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n 4 1.2 2.3 n 1 n 4 n 4 4n 4 1 1 1 1 1 Bài 9: So sánh A ... với 22 42 62 (2n)2 2 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 3 ... 2 1 1 2 2 2 n 4 n 2 4n 2 Page 2
3. 1 1 1 1 1 Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì A ... không là số tự nhiên 12 22 32 42 n2 HD : 1 1 1 Ta có : A 1 ... 2 mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1<A<2 1.2 2.3 n 1 n 1 1 1 1 2004 Bài 11: Chứng minh rằng: A ... 22 32 42 20052 2005 HD : 1 1 1 1 1 2004 A ... 1 1.2 2.3 3.4 2004.2005 2005 2005 1 1 1 1 100 Bài 12: Chứng minh rằng: A ... 12 22 32 1002 101 HD : 100 A 1 101 1 1 2 3 2016 1 Bài 13: Chứng minh rằng: ... 4 5 52 53 52016 3 HD : 1 1 1 2016 4A 1 2 ... 2005 2016 , Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có : 5 5 5 5 1 1 1 4B 1 B , thay vào A ta được : 52015 4 4.52015 1 1 2016 5 5 5 1 4A 1 A (1) 4 52015 52016 4 16 15 3 1 2 2016 1 2 7 7 1 Mặt khác : A ... (2) 5 52 52016 5 25 25 28 4 Từ (1) và (2) ta được ĐPCM 1 2 3 4 99 100 3 Bài 14: Chứng minh rằng: A ... 3 32 33 34 399 3100 16 HD : 1 1 1 1 100 Tính tổng A , ta được : 4A (1 .... ) , Đặt tổng trong ngoặc bằng B 3 32 33 399 3100 3 1 3 1 100 3 3 B 4A A 4 4.399 4 399.4 3100 4 16 3 5 7 19 Bài 15: Chứng minh rằng: A ... 1 12.22 22.32 32.42 92.102 HD : 22 12 32 22 102 92 1 1 1 1 1 1 Ta có : A 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 1 .2 2 .3 9 .10 1 2 2 3 9 10 1 A 1 1 102 3 5 7 4019 Bài 16: CMR : ... 1 12.22 22.32 32.42 20092.20102 HD : 22 12 32 22 42 32 20102 20092 Ta có : A ... 12.22 22.32 32.42 20092.20102 1 1 1 1 1 1 1 A ... 1 1 12 22 22 32 20092 20102 20102 Page 3
4. 1 1 1 1 1 1 1 Bài 17: Chứng minh rằng: S ... 22 24 26 28 22002 22004 5 HD : 1 1 1 1 1 1 1 S 5S 1 1 1 1 S ... => S S 22 24 26 28 210 22004 22006 4 4 22 22006 4 5 1 1 1 1 1 Bài 18: Chứng minh rằng: B ... 3 32 33 32005 2 HD : 1 1 1 1 1 1 2B 1 1 1 1 B ... B B => B 3 32 33 34 32006 3 3 3 32006 3 2 1 2 3 2015 Bài 19: Chứng minh rằng: M ... có giá trị không nguyên 3 32 33 32015 HD : 3 Tính M M nên M 0 vậy M không có giá trị nguyên 4 2 2 2 2 1003 Bài 20: Chứng minh rằng: A ... 32 52 72 20072 2008 HD : 2 2 2 2 1 1 1003 A .. 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2 2008 2008 3 3 3 Bài 21: Chứng minh rằng: S ... 1 1.4 4.7 n(n 3) HD : 1 1 1 1 1 1 S 1 ... 1 1A 4 4 7 n n 3 n 3 1 1 1 1 1 Bài 22: Chứng minh rằng: B 1 ... 22 32 42 20042 2004 HD: 1 1 1 1 B 1 2 2 2 ... 2 , Đặt tổng trong ngặc bằng B ta có: 2 3 4 2004 1 1 1 1 1 1 A ... 1 A 1 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 1 1 B 1 A 1 1 B 2004 2004 1 1 1 1 1 Bài 23: Chứng minh rằng: ... 0,2 22 24 26 22002 22004 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... A A 4 24 26 28 22004 22006 4 22 22006 4 5A 1 1 A =0.2 4 4 5 1 1 1 1 4 Bài 24: Chứng minh rằng: A ... thì A 32 42 502 4 9 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 1 Ta có : A ... ... 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 3 51 153 192 4 Mặt khác : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4 A ... ... 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9 Page 4
5. 1 4 Vậy A 4 9 1 1 1 7 5 Bài 25: Cho A ... , CMR: A 1.2 3.4 99.100 12 6 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CMR: A ... => A ... ... 51 52 100 51 52 75 76 77 100 1 1 1 1 7 1 1 1 1 5 TH1: A .25 .25 TH2: A .25 .25 75 100 3 4 12 50 75 2 3 6 1 1 1 Bài 26: Cho A ... , CMR: A < 2 12 22 502 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... 1 ... 2 2 1 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Bài 27: CMR: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3 a, b, ... 2 4 8 16 32 64 3 3 32 33 34 399 3100 16 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, Ta có: A 2A 1 2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32 1 1 Nên 2A A 3A 1 1 A 64 3 1 1 1 1 1 100 b, Ta có: 3A A 4A 1 ... 3 32 33 34 399 3100 1 1 1 1 1 3 1 Đặt B 1 ... B , Thay vào A ta được: 3 32 33 34 399 4 3.399 3 1 100 3 3 4A A 4 399.4 3100 4 16 1 1 1 1 1 Bài 28: CMR : ... 72 74 798 7100 50 HD: 1 1 1 1 1 1 Đặt A ... Nhân 49 A =>50A 1 1 A 72 74 798 7100 7100 50 1 1 1 1 1 1 1 Bài 29: Cho A ... , CMR: A 72 74 76 78 798 7100 50 3 5 7 4019 Bài 30: CMR : ... 1 12.22 22.32 32.42 20092.20102 1 1 1 1 1 Bài 31: CMR: A ... 5 52 53 599 4 2012 2012 2012 2012 Bài 32: CMR: 1 ... 2 20112 1 20112 2 20112 3 20112 2011 HD: 2012 2012 2012 2012 Ta có: , , tương tự như vậy : 20112 1 20112 20112 2 20112 2012 2012 2012 2012.2011 2012 A ... 2 A 2 20112 20112 20112 20112 2011 2012 2012 2012 2012 Mặt khác: , , 20112 1 20112 2011 20112 2 20112 2011 Tương tự như vậy: Page 5
6. 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 A ... 1 20112 2011 20112 2011 20112 2011 20112 2011 2011 2011 1 1 1 1 1 Bài 33: CMR: CMR : ... 10 1 2 3 100 HD: 1 1 1 1 1 1 Ta có : ; ;...; vậy 1 10 2 10 100 10 1 1 1 1 1 1 1 100 ... ... 10 1 2 3 100 10 10 10 10 3 8 15 2499 Bài 34: CMR: E ... > 48 4 9 16 2500 HD: 1 1 1 1 E 1 1 1 ... 1 4 9 16 2500 1 1 1 1 49 2 2 2 ... 2 48 2 3 4 50 1 1 1 7 5 Bài 35: Cho A ... , CMR: A 1.2 3.4 99.100 12 6 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CMR: A ... => A ... ... 51 52 100 51 52 75 76 77 100 1 1 1 1 7 1 1 1 1 5 TH1: A .25 .25 TH2: A .25 .25 75 100 3 4 12 50 75 2 3 6 1 1 1 Bài 36: CMR : 1 ... 45 2 3 2025 1 1 1 1 Bài 37: CMR: 1 ... 100 2 3 4 2500 HD: 1 2 2 Xét số hạng tổng quát: 2 n n 1 , n 1 n n n n n 1 1 1 1 Do đó: 1 .... 2 n n 1 ... 2 1 1 0 2 3 n 1 1 1 Với n=2500 ta có: A 1 ... 2. 2500 100 2 3 2500 1 1 1 1 1 Bài 38: Chứng minh rằng: A ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4 HD: 1 1 1 1 1 2A C 1.2 19.20 4 19.40 4 36 36 36 36 Bài 39: Chứng minh rằng: D ... 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 HD: 4 4 4 4 1 1 1 D 9 ... 9 3 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 1.3 27.29 3.29 1 1 1 1 3 Bài 40: CMR: ... 22 32 42 19902 4 Page 6
7. 99 1 1 1 1 1 99 Bài 41: CMR: ... 202 22 32 42 992 1002 100 1 1 1 1 1 Bài 42: Chứng minh rằng: A = ... 3 32 33 399 2 HD: Dùng công thức tính tổng theo quy luật S = 1 + a + a2 + a3 + .+ an để tính tổng rồi so sánh. 1 1 1 1 Ta có: 3A = 1 ... 3 32 33 398 1 Nên 3A - A = 1 - 399 1 1 1 1 Hay 2A = 1 - A = . 399 2 2.399 2 1 Vậy A < 2 1 2 3 4 99 100 3 Bài 43: Chứng minh rằng: ... 3 32 33 34 399 3100 16 HD: 1 2 3 4 99 100 Đặt A = ... 3 32 33 34 399 3100 2 3 4 99 100 3A= 1 - ... 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 100 4A = 3A + A = 1- ... 3 32 33 398 399 3100 1 1 1 1 1 4A < 1- ... (1) 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 Đặt B = 1- ... 3 32 33 398 399 1 1 1 1 3B = 2+ ... 3 32 397 398 1 3 4B = B + 3B = 3 - < 3 B < (2) 399 4 3 3 Từ (1) và (2) 4A < B < A < 4 16 B Bài 44: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499, B = 4100. Chứng minh rằng A < 3 HD: Ta có: 4A = 4 + 42 + 43 + .... + 4100 ; B = 4100 => 4A – A = 4100 - 1 < B B => 3A A < 3 Bài 45: Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + + 201271 + 201272 B = 201273 - 1. So sánh A và B. HD: Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + + 201271 + 201273 Lấy 2012A – A = 201273 – 1 Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1. Page 7
8. 1 2 3 4 5 99 16 Bài 46: Chứng minh .... 3 32 33 34 35 399 9 HD: 1 3 5 99 2 4 98 Đặt A = .... ; B = .... 3 33 35 399 32 34 398 2 5 99 2 1 1 1 1 99 3 A = 3 1 3 .... 97 => 3 A – A = 8A = 4 2 3 5 ... 97 99 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Đặt C = ... => 32C – C = 33 35 397 3 397 1 1 => 8C C 3 24 1 49 => 8A < 4 + 2. = 24 12 Làm tương tự với biểu thức B, ta có 8B < 4 1 16 16 => 8A – 8B = A B 12 9 9 1 1 1 1 1 1 Bài 47: Chứng minh rằng: A = + ... + - + ... + - < 0,1 32 34 34n 2 34n 398 3100 HD: 1 1 1 1 1 1 A = + ... + - + ... + - 32 34 34n 2 34n 398 3100 1 1 1 1 1 => 9A + A = 1 - + ... + - + ... + - 32 34n 4 34n 2 396 398 1 => 9A + A = 1 - 10A A < 0,1 3100 2 3 4 2016 2017 Bài 48: Cho tổng T = + + +.............. + + . So sánh T với 3 21 22 23 22015 22016 HD: 2 3 4 2016 2017 T = + + +.............. + + 21 22 23 22015 22016 3 4 2016 2017 2T = 2 + + +.............. + + 21 22 22014 22015 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2T –T= 2 + - + - + .+ - + - - 21 21 22 22 22014 22014 22015 22015 22016 1 1 1 2017 T= 2+ + + + - 21 22 22015 22016 1 1 1 Đặt N = + + + 21 22 22015 1 1 1 Ta có 2N = 1+ + + + 21 22 22014 1 2N - N= 1- 22015 Vậy N < 1 2017 2017 Nên T < 2+1- =3- 22016 22016 Vậy T < 3 1 2 3 n 2007 Bài 49: So sánh tổng S = ... ... với 2. ( n N*) 2 22 23 2n 22007 HD: Page 8
9. 1 2 3 n 2007 So sánh tổng S = ... ... (1) với 2. ( n N*): 2 22 23 2n 22007 1 2 3 n 2006 2007 Ta có 2S= ... ... (2) . 1 2 22 2n 1 22005 22006 Trừ từng vế của (2) cho (1) được 1 1 1 2007 2007 S=1+ + + .+ - =1+B- (3), 2 22 22006 22007 22007 1 1 1 với B= + + .+ . 2 22 22006 Ta lại có 1 1 1 1 2B= 1+ + + .+ B=1- . 2 22 22005 22006 1 2007 Thay vào (3) ta có: S=2- - <2 22006 22007 4 10 28 398 1 Bài 50: Cho B = ... . Chứng minh B < 100 3 9 27 398 HD: 4 10 28 398 1 4 10 28 398 1 B = ... ... 3 9 27 398 3 32 33 398 4 10 28 398 1 4 10 28 398 1 => B – 98 = 1 1 1 ... 1 ... 3 32 33 398 3 9 27 398 1 1 1 1 ... (Dạng tổng quen thuộc) 3 32 33 398 1 1 1 1 => 3(B – 98) = 1 ... 3 32 33 397 1 => 3(B – 98) – (B – 98) = 1 - 98 97 97 97 => 2(B – 98) = B 98 B 98 100 98 196 196 2 22 23 2n 1 22006 Bài 51: Cho S 2 ... n ... 2005 2005 1 20052 1 20052 1 20052 1 20052 1 1 So sánh S với 1002 HD: m m mk m mk m 2m m m 2m k 1 k 1 (k 1)(k 1) k2 1 k 1 k 1 k2 1 Áp dụng vào bài toán với m {2; 2 2 , ., 2 2006 } và 22006 k { 2005, 2005 2 , 2005 } ta có: 2 2 22 2005 1 2005 1 20052 1 22 22 23 2 2 2 2005 1 2005 1 20052 1 Tương tự với các số hạng tiếp theo, sau đó thực hiện tính tổng 5 5 5 5 5 Bài 52: Cho B = ... . Chứng minh B 4 42 43 499 3 HD: Page 9
10. 5 5 5 5 B = ... 4 42 43 499 5 5 5 5 4B = 5 ... 4 42 43 498 5 => 4B – B = 3B = 5 499 5 5 5 => B = 3 3.499 3 5 8 11 302 5 1 Bài 53: Cho G ... . Chứng minh 2 G 3 3 32 33 3100 9 2 HD: 5 8 11 296 299 302 G ... 3 32 33 398 399 3100 8 11 14 299 302 3G 5 ... 3 32 33 398 399 8 11 14 299 302 5 8 11 296 299 302 => 3G – G = 2G = 5 2 3 ... 98 99 2 3 ... 98 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 5 11 8 14 11 299 296 302 299 302 5 2 2 3 3 ... 98 98 99 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 302 5 1 .... 3 32 397 398 3100 1 1 1 1 Đặt B = .... 3 32 397 398 1 1 1 => 3B – B = 2B = 1 - 98 => B = 1 98 3 2 3 1 1 302 1 1 302 1 305 => 2G 5 1 1 98 100 6 99 100 6 100 2 3 3 2 3 3 2 3 1 305 => G = 3 4 2.3100 1 1 1 Ta có G < 3 3 3 4 2 2 5 1 23 305 25 305 25 1 5 Xét G - 2 = 3 0 => G > 2 9 4 9 2.3100 36 2.3100 36 2 9 1 1 1 1 1 Bài 53: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: A ... 23 33 43 n3 4 HD: 1 1 Dùng đánh giá: n3 (n 1).n.(n 1) 1 1 23 1.2.3 1 1 33 2.3.4 1 1 43 3.4.5 ..... 1 1 n3 (n 1).n.(n 1) Page 10