Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Điền chữ số còn thiếu trong phép tính (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Điền chữ số còn thiếu trong phép tính (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ ĐIỀN CHỮ SỐ CÒN THIẾU TRONG PHÉP TÍNH Các bài toán về điền chữ số không chỉ yêu cầu kĩ năng tính toán đúng mà còn đòi hỏi cả lập luận chính xác và hợp lí. Bài 1. Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp: a b c + a c b b c a HD: So sánh cột hàng đơn vị và hàng chục, ta thấy c + b có nhớ. Do đó ở cột hàng chục : b + c +1 (nhớ) = 10 b = 9. ở cột hàng trăm: a + 1 + 1 (nhớ) = 9 a = 4. ở cột hàng đơn vị: c + 9 = 14 c = 5. Các chữ số được điền đầy đủ như sau: 495 + 459 954 Bài 2: Tìm các chữ số a, b, c, biết rằng tổng a + b + c bằng tổng của bốn số chẵn liên tiếp và các chữ số a, b, c thỏa mãn cả hai phép trừ sau: a b c b a c - - c b a a b c 9 9 2 7 0 HD: * Xét phép trừ thứ nhất: ở cột hàng trăm ta có a c nên phép trừ ở hàng đơn vị và hàng chục có nhớ. Do đó ở cột hàng trăm: a - c -1 (nhớ) = 0 c = a - 1 (1) * Xét phép trừ thứ hai: ở cột hàng trăm ta có b a nên phép trừ ở hàng chục có nhớ. Do đó ở cột hàng trăm: b - a -1 (nhớ) = 2 a = b -3 (2)
2. Từ (1) và (2) suy ra: c = b - 4 (3) Từ (2) và (3) suy ra : a + b + c = (b - 3) + b + (b - 4) = 3b - 7 20. Số không quá 20 và là tổng của bốn số chẵn liên tiếp có thể bằng: 0 + 2 + 4 + 6 = 12 hoặc 2 + 4 + 6 + 8 = 20. Trường hợp 3b - 7 =12 cho 3b = 19, (loại). Trường hợp 3b - 7 = 20 cho 3b = 27 nên b = 9. Từ đó: a = 9 - 3 = 6; c = 9 - 4 = 5. Ta được: 695 965 - - 596 695 99 270 Bài 3. Thay các dấu * bằng các chữ số thích hợp trong phép chia sau: * * * * * * * A * * * B 0 0 0 * * * * 8 C * * 0 0 HD: Gọi thương là ab8, ta thấy a nhân với số chia được tích riêng A có ba chữ số, còn 8 nhân với số chia được tích riêng C có hai chữ số. Do đó a > 8, vậy a = 9. Ở dòng B, ta hạ liền hai chữ số ở số bị chia xuống, do đó b = 0. Số chia nhân với 9 được tích riêng A có ba chữ số nên số chia lớn hơn 11. Số chia nhân với 8 ta được tích riêng C có hai chữ số nên số chia nhỏ hơn 13. Vậy số chia bằng 12. Số bị chia bằng 908 . 12 = 10896. Toàn bộ phép tính là: 10896 12 108 908 00096 96 00 Bài 4. Thay các chữ a, b, c bằng các chữ số thích hợp khác nhau thích hợp trong phép nhân sau:
3. ab.cc.abc abcabc. HD: Biến đổi đẳng thức đã cho thành: ab.11.c abcabc : abc 1001 ab.c 1001:11 91. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 91 = 7.13, do đó ab.c chỉ có thể là 13. 7 hoặc 91. 1. Trường hợp thứ nhất cho ab 13,c 7 . Trường hợp thứ hai cho ab 91,c 1, loại vì b = c =1. Vậy ta có 13. 17. 137 = 137137. Bài 5. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng trong hai cách viết: viết thêm số 5 vào đằng sau số đó hoặc viết thêm chữ số 1 vào đằng trước số đó thì cách viết thứ nhất cho số lớn gấp 5 lần so với cách viết thứ hai. HD: Gọi số phải tìm là abc , ta có: 1 a b c 5 a b c 5 Nếu lần lượt tìm từng chữ số, chẳng hạn tìm c ở số bị nhân thì c có thể bằng 1, 3, 5, 7, 9 nên lời giải sẽ phức tạp. Để giải gọn hơn, ta có thể đặt abc x , ta có 100 x .5 10x 5 . Tìm x từ đẳng thức này ta được x 999 . Số phải tìm là: 999. Bài 6. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ số trong phép nhân sau: a b c d m n 2 c d m n a b HD: Ở bài toán này, nếu tìm lần lượt từng chữ số thì lời giải rất phhức tạp. Đặt ab x , cdmn y , ta có: 2. 10000x y 100y x  19999x 98y  2857x 14y . Như vậy 14y chia hết cho 2857, mà (14, 2857) = 1 nên y chia hết cho 2857. Chú ý rằng y là số có 4 chữ số nên có các trường hợp: y = 2857, x = 14; y = 5714, x = 28; y = 8571, x = 42.
4. Ta có ba đáp số: 142857 285714 428571 2 2 2 285714 571428 857142 Bài 7. Điền các chữ số thích hợp vào các dấu * trong phép nhân sau * *. * * = * * * Biết rằng cả hai thừa số đều chẵn và tích là số có ba chữ số như nhau. HD: Gọi tích là aaa , ta có aaa a.111 a.3.37 nên tích chia hết cho 37 mà 37 là số nguyên tố, do đó phải có một thừa số chia hết cho 37. Thừa số này là số chẵn và có hai chữ số nên bằng 74. Mặt khác tích chia hết cho 4 (vì mỗi thừa số chia hết cho 2) nên aa chia hết cho 4, do đó a 4,8 . Xét hai trường hợp: 444 : 74 = 6 (loại) 888 : 74 = 12 (thỏa mãn) Ta có đáp số: 74 . 12 = 888. Bài 8. Tìm các chữ số a và b, biết rằng: 900 : (a b) ab . HD: Biển đổi đẳng thức đã cho thành phép nhân: ab.(a b) 900 . Như vậy ab và a b là các ước của 900. Ta có các nhận xét: a) a b 18 ; b) ab 100 nên a b 9 ; c) Tích ab(a b) chia hết cho 3 nên tồn tại một thừa số chia hết cho 3. Do ab và a b có cùng số dư trong phép chia cho 3 nên cả hai cùng chia hết cho 3. Từ ba nhận xét đó, ta có a b bằng 12, hoặc 15 hoặc 18. Nếu a + b = 12 thì ab 900 :12 75 , thỏa mãn 7 + 5 = 12. Nếu a + b = 15 thì ab 900 :15 60 , loại. Nếu a + b = 18 thì ab 900 :18 50 , loại. Ta có đáp số : a = 7,b = 5. Bài 9. Hãy thay chữ bằng chữ số thích hợp trong phép nhân sau đây: HANOI HANOI *****HANOI . HD: Để cho gọn ta đặt số HANOI m , thế thì m2 m m(m 1) tận cùng bằng năm chữ số 0 nên chia hết cho 100 000 = 55.25.
5. Vì các số m và m - 1 không có ước chung nên một trong chúng chia hết cho 5 5 = 3125 và số kia chia hết cho 25 = 32. Trước hết ta xét trường hợp m chia hết cho 3125 và m - 1 chia hết cho 32. Từ sơ đồ phép nhân ở trên ta thấy ngay A = 0. Do mỗi số trong hai số H 0NOI và H 0000 chia hết cho 625 nên hiệu của chúng là NOI cũng chia hết cho 625. Vậy NOI 625 . Nhưng số H 0625 10000H 625 khi chia cho 625 cho thương là 16 H + 1và để cho thương này chia hết cho 5 thì chữ số H phải là 4 hoặc 9. Với H = 4 ta được số 40 625 không thỏa mãn bài ra. Với H = 9 ta được số 90 625 thích hợp. Trường hợp thứ hai cũng xét tương tự, nhưng không cho nghiệm mới. Tóm lại ta có: 90 625 90 625 = 8 212 890 625. Bài 10. Thay dấu * bằng các chữ số thích hợp theo sơ đồ phép chia ở dưới: 3 * * * * 3 * 3 * 3 * * * * 0 HD: Nhìn vào sơ đồ ta thấy ngay rằng: chữ số đầu tiên của thương phải là 1, chữ số đầu tiên của số chia là phải là 2. Như thế số chia là 23, còn thương bây giờ là 1 * *. Do chữ số cuối cùng của thương nhân với 23 phải * 3 *, nên chữ số cuối của thương là 6 (vì 6 . 23 = 138). Từ đó suy ra thương là 136, số chia là 23. Vậy số bị chia là 3128. Bài 12. Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp: a) abc ab a 874; b) abc ab a 1037 . HD: a) Đổi các chữ số ở cùng một cột:
6. Do bb c 110 nên: 874 aaa 874 110 764 aaa 777 . Suy ra: bb c 874 777 97 . Ta có: 97 bb 97 10 87 bb 88 . Do đó: c = 97 - 88 = 9. Ta được: 789 + 78 + 7 = 874. b) Tương tự như trên, ta cũng viết đẳng thức thành: aaa bb c 1037 rồi lần lượt tìm được a = 9, b = 3, c = 5. Bài 13. Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp: abc ca ca ac . HD: Ta có: abc ca ca ac (1) Vế phải của (1) nhỏ hơn 100 nên abc ca 100 , do đó a = 1. Ta có: 1bc c1 c1 1c (2). Xét vế phải của (2): c > 1. Phép trừ ở cột đơn vị của vế phải là 11 - c, phép trừ ở cột đơn vị của vế trái là c - 1. Do đó c - 1 = 11 - c, suy ra c = 6. Ta có: 106 - 61 = 61 - 16. Bài 14. Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp abcd abc 3576 . HD: Ta viết lại dưới dạng 3576 abc abcd . Thêm chữ số d vào cuối của số bị trừ và số trừ: 3576d abcd abcd0 3576d 11.abcd Thực hiện phép chia 3576d cho 11, ta tìm được d = 1. Từ đó ta tìm được abc 325 . Ta có: 3251 + 325 = 3576. Bài 15: Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp. a) ab.b 1ab . b) 260abc : abc 626 . HD: Ta thấy: 1abab 100 abab 100ab ab 10,20,25,50. Dễ thấy b 0 nên ab 25. Thử: 25. 5 = 125, đúng. b) Áp dụng tính chất chia một tổng cho một số: 260000 abc : abc 626 => 260000 : abc 1 626 => 260000 : abc 625
7. abc 260000 : 625 abc 416 . Vậy 260416 : 416 = 626. Bài 16. Tìm chữ số a và số tự nhiên x, sao cho: 12 3x 2 1a96 . HD: 2 2 2 12 3x 3 4 x 9 4 x . Như vậy 1a96 chia hết cho 9 a = 2. Suy ra 4 x 2 1296 :9 144 122 . Vậy a = 2, x = 8. Bài 17. Tìm số tự nhiên x có chữ số tận cùng bằng 2, biết rằng x, 2x, 3x đều là các số có ba chữ số và chín chữ số của ba số đó đều khác nhau và khác 0. HD: Đặt x ab2 , ta có: a, b, c, d, e, g khác nhau và nhận các giá trị 1, 3, 5, 7, 8, 9 Vì d chẵn nên d = 8. Từ (1/) suy ra b = 9. Từ (2) suy ra g = 7. Do đó a,c,e 1;3;5. Dễ thấy a < c < e nên a = 1; c = 3; e = 5. Thử lại: 1 9 2 1 9 2 2 3 3 8 4 5 7 6 Bài 18. Tìm số tự nhiên x có sáu chữ số, biết rằng các tích 2x, 3x, 4x, 5x, 6x cũng là số có sáu chữ số gồm cả sáu chữ số ấy. a) Cho biết sáu chữ số của số phải tìm là 1, 2, 4, 5, 7, 8. b) Giải bài toán nếu không cho điều kiện a. HD: a) Ta có: x = * * * * * * 2x = * * * * * * 3x = * * * * * * 4x = * * * * * *
8. 5x = * * * * * * 6x = * * * * * * Ta chú ý rằng trong sáu số trên, hiệu của hai số bất kì là một trong sáu số ấy. Mỗi chữ số 1, 2, 4, 5, 7, 8 không thể có mặt hai lần ở cùng một cột. Thật vậy, nếu một chữ số a có ở cùng một cột của số 5x và 2x chẳng hạn thì hiệu của hai số này (là 3x) phải có chữ số 0 hoặc 9 ở cột đó (chữ số 0 ứng với trường hợp phép trừ không có nhớ ở cột bên phải sang, chữ số 9 ứng với trường hợp ngược lại). Điều này vô lí vì các chữ số 0 và 9 không thuộc tập các số đã cho. Do đó mỗi chữ số 1, 2, 4, 5, 7, 8 có mặt đúng một lần ở mỗi cột. Tổng các chữ số ở mỗi cột bằng: 1 + 2 + 4 +5 +7 + 8 = 27. Suy ra: x + 2x + 4x +5x +7x + 8x = 27. 111111 21x = 2999997 x = 142857. Các số 2x, 3x, 4x, 5x, 6x thứ tự bằng 285714, 428571, 571428, 714285, 857142. b) Gọi x = abc deg . Ta có a = 1 để 6x vẫn có 6 chữ số . Xét sáu số x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, chữ đầu tiên của số sau lớn hơn chữ số đầu tiên của số trước ít nhất là 1 nên sáu chữ số đầu tiên của sáu số trên đều khác nhau và khác 0. Các chữ số đầu tiên này cũng là các chữ số của x, do đó sáu chữ số của x đều khác nhau, khác 0, trong đó có chữ số 1. Các chữ số tận cùng của x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x cũng phải khác nhau (vì nếu có hai số tận cùng giống nhau thì hiệu của chúng tận cùng bằng 0, tức là có một trong sáu số tận cùng bằng 0, trái với nhận xét ở trên). Do đó phải có một chữ số tận cùng bằng 1. Các số 2x, 3x, 4x, 5x, 6x hiển nhiên không tận cùng bằng 1, còn x cũng vậy vì các chữ số đầu tiên của x đã bằng 1. Vậy 3x tận cùng bằng 1, do đó x tận cùng bằng 7. Suy ra 2x, 3x, 4x, 5x, 6x theo thứ tự tận cùng bằng 4, 1, 8, 5, 2. Như vây số x gồm sáu chữ số 4, 1, 8, 5, 2, 7. Sau đó giải tiếp như câu a. 2 Bài 19. Tìm số có 6 chữ số abc deg (abc deg) . HD: Đặt abc A,deg B(100 A; A, B 999) . Ta có: 100A B A B 2
9. 999A (A B) A B 1 (1). Do A 999 nên A B A B 1 9992 Suy ra: A B 999. Nếu A + B = 999 thì từ (1) ta suy ra A = 998; B = 1. Từ đó abc deg 998001. Nếu A + B < 999. Ta có: 999 = 27. 37. Mặt khác A B , A B 1 1 nên trong hai số A + B và A + B -1 có một số chia hết cho 27 và số kia chia hết cho 37. A B27 Xét hai trường hợp: A B 137 Ta có A + B -1 = 37m (m N ) hay 37m 127 10m 127 80m 827 . Mặt khác 81m27 . Từ đó suy ra m 827 hay m 27n 8(n N*) . Do đó có : A B 1 37 27n 8 (n N*) . Nhưng 0 < A + B -1 997 nên suy ra: A + B -1 = 296. Kết hợp với (1) ta có : A = 88 (loại). A B37 Xét trường hợp A B 127 Ta có: A + B = 37k ( k N ) hay 37k 127 10k 127 80k 827 . Mặt khác: 81k27 suy ra k 827 hay k 27r 8(r N) . Do đó có A + B = 37(27r -8) = 999r - 296. Với r = 1 ta có A + B = 703. Kết hợp với (1) ta có A = 494; B = 209. Từ đó ta có abc deg 494209 . Vậy hai số có 6 chữ số thỏa mãn đề bài là: abc deg 998001 và 494209. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Thay các dấu * và các chữ bởi các chữ số thích hợp (từ bài 1 đến bài 11). Bài 1. a) acc.b dba (biết a là chữ số lẻ).
10. b) ac.ac acc c) ab.ab acc . Bài 2. a) 1ab.2 abc8; b) ab 9.b . Bài 3. abc deg.4 gabcde và abcde g 15930 . Bài 4. * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * biết rằng số bị nhân có tổng các chữ số bằng 18 và không đổi khi đọc từ phải sang trái. Bài 5. * * * 8 * * * * * 9 * * * * * * * * Bài 6. a) ab.cb ddd . b) ab.cd bbb . c) * * . * = * * * biết tích là số có ba chữ số như nhau. Bài 7. abc deg.6 deg abc . Bài 8. 20 * * : 13 = * * 7. Bài 9. a) b) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 8 * * * * * * * 2 * * * * * * * *