Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Giá trị nhỏ nhất – lớn nhất (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Giá trị nhỏ nhất – lớn nhất (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - LỚN NHẤT A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. BÀI TOÁN: Tìm số nguyên n (số tự nhiên n) để biểu thức A(n) có GTLN – GTNN. a LOẠI 1: Với A = với a, b, c là các số nguyên đã biết. b.n c + Nếu a ∈ Z+ thì: A có GTLN khi b.n + c là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên A có GTNN khi b.n + c là số nguyên âm lớn nhất ứng với n nguyên + Nếu a ∈ Z- thì: A có GTLN khi b.n + c là số âm lớn nhất ứng với n nguyên A có GTNN khi b.n + c là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên a.n d LOẠI 2: Với A = với a, b, c, d là các số nguyên đã biết. b.n c a.n d f + Tách A = e (f ∈ Z) b.n c b.n c f + Việc tìm n nguyên để A có GTLN – GTNN trở thành bài toán tìm n nguyên để có GTLN b.n c hoặc có GTNN (Bài Toán LOẠI 1) LOẠI 3: Với A = |f(x)| + b hoặc A = - |f(x)| + b + Vì |f(x)| ≥ 0 => A = |f(x)| + b ≥ b => A nhỏ nhất = b khi f(x) = 0 + Vì - |f(x)| ≤ 0 => A = - |f(x)| + b ≤ b => A lớn nhất = b khi f(x) = 0 B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. 15 Bài 1. Tìm số tự nhiên n để A = có giá trị lớn nhất. n 9 HD: Ta có: 15 > 0 và không đổi. 15 Nên A = có giá trị lớn nhất khi n - 9 > 0 và có giá trị nhỏ nhất (1) n 9 Ta lại có: n N n 9 Z (2) Từ (1) và (2) => n - 9 có GTNN =1 n = 10. Vậy với n = 10 thì thỏa mãn đầu bài. 6n 3 Bài 2. Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n 6 HD: 6n 3 3(2n 3) 6 3 6 M = = 4n 6 2(2n 3) 2 2(2n 3)
2. 6 => M có GTLN khi có GTLN 2(2n 3) Với n ∈ N, thì mẫu số 2(2n – 3) có thể dương hoặc âm, nên ta xet các trường hợp sau: 6 3 1 TH1: Nếu n = 0 => 1 => M = 1 2(2n 3) 2 2 6 3 3 TH2: Nếu n = 1 => 3 => M = 3 2(2n 3) 2 2 TH3: Nếu n > 1 thì 2(2n – 3) là số nguyên dương. 6 => đạt GTLN 2(2n 3) khi 2(2n – 3) đạt giá trị dương nhỏ nhất ứng với số nguyên dương n = 2 . 3 9 => GTLN của M = 3 khi n = 2 2 2 9 Kết luận: Với ba trường hợp thì GTLN của M là khi n = 2 2 5a 17 Bài 3. Với giá trị nào của số tự nhiên a thì có giá trị lớn nhất. 4a 23 HD: 5a 17 4.(5a 17) 20a 68 5.4a 5.23 47 5(4a 23) 47 5 47 4a 23 4.(4a 23) 4(4a 23) 4(4a 23) 4(4a 23) 4 4(4a 23) Cách giải tương tự Bài tập 2: Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a – 23 là số dương nhỏ nhất ứng với số tự nhiên a = 6 5a 17 Vậy a = 6 => có GTLN = 13 4a 23 10n 3 Bài 4. Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n 10 HD: 10n 3 5(2n 5) 22 5 22 5 11 B 4n 10 2 2n 5 2 2(2n 5) 2 2n 5 11 => B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất. 2n 5 11 Vì 11 > 0 và không đổi nên đạt giá trị lớn nhất khi: 2n – 5 > 0 và đạt giá trị nhỏ nhất 2n 2n 5 - 5 = 1 n = 3 5 Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 11 13,5 khi n = 3 2 7n 8 Bài 5. Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất. 2n 3
3. HD: 7n -8 2(7n -8) 7(2n -3) 5 7 5 A= 2n -3 2(2n -3) 2(2n -3) 2 2(2n 3) 5 Đặt B = => Amax khi Bmax . 2(2n 3) Cách giải tương tự Bài tập 2: => Bài toán đưa về tìm số tự nhiên n để 2(2n – 3) là số dương nhỏ nhất ứng với số tự nhiên n = 2 => 2(2n – 3) = 2 Vậy Amax 6 n 2 1 Bài 6. Tìm x để phân số có giá trị lớn nhất. x 2 1 HD: 1 1 Vì là một phân số => x2 + 1 ∈ N* => Phân số có giá trị lớn nhất  x2 + 1 phải là số tự x 2 1 x 2 1 nhiên nhỏ nhất khác 0 => x2 + 1 = 1 => x = 0. 6n 1 Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức sau: A= (với n là số nguyên ) 3n 2 n + 1 Bài 8: Cho phân số A= (n Z) . Tìm n để A có giá trị lớn nhất. n - 3 HD: n + 1 n - 3 + 4 4 Ta có: A= = 1 n - 3 n - 3 n 3 4 Với n > 3 thì > 0 n 3 4 Với n < 3 thì < 0 n 3 Để A có giá trị lớn nhất thì n – 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất. Hay n – 3 = 1 n = 4 6n 5 Bài 9: Cho phân số: p (n N) . Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị 3n 2 lớn nhất đó. HD: 6n 5 6n 4 1 1 Ta có p 2 3n 2 3n 2 3n 2 1 p đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá trị nhỏ nhất 3n 2 vì 3n 2 2 nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n=0 hay n=0 Vậy với n=0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 2+1/2=3/2
4. Bài 10: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = | x - y | + | x + 1 | + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. HD: Vì |x - y | 0 với mọi x, y ; |x + 1 | 0 với mọi x A 2016 với mọi x,y . | x y | 0 x y 0 x y A đạt giá trị nhỏ nhất khi | x 1| 0 x 1 0 x 1 Vậy với x = y = - 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016