Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Số chính phương (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Số chính phương (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A/ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (chẳng hạn: 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ). I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Nhìn chữ số tận cùng. 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa: Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2. Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu: + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương. HD: Vì chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương. Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. HD: Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. HD: Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương: 16
2. a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau: Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán: Bài 6: Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương. HD: Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta có 74 - 1 = 2400  100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7 n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7 r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4. Bài 7: Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương. HD: - Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). - Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Chú ý: Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương. Bài 8: Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. HD: Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương. Bài 9: Tổng sau có là số chính phương hay không A = 3 + 32 + 33 + + 320 HD: Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. A chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3 , do đó A không là số chính phương. Bài 10: Chứng minh tổng sau không là số chính phương: B = 11 + 112 + 113 HD: B tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương Bài 11: Chứng minh 1010 + 5 không là số chính phương 16
3. HD: 1010 + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương. Bài 12: Chứng minh 10100 + 1050 +1 không là số chính phương HD: 10100 + 1050 + 1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. Bài 13: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương a) abab b) abcabc c) ababab HD: Giả sử các số trên đều là số chính phương. Ta có a) n2 abab ab.102 ab 101ab ab101 (vô lí ) b) n2 abcabc abc.103 abc 1001abc 3.11.13.abc Vì 3, 11, 13 là số nguyên tố nên abc1001 (vô lí ) c) n2 ababab ab.104 ab.102 ab 10101ab ab3.7.13.37 Vì 3, 7, 13, 37 là số nguyên tố nên ab10101 (vô lí) Vậy các số trên đều không phải là số chính phương. Bài 14: Cho A 1 2 22 23 ... 233 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao? HD: Ta có A 1 2 22 23 24 25 ... 230 231 232 233 3 22. 1 2 22 23 ... 230. 1 2 22 23 3 2.30 ... 229.30 3 2 ... 229 .3.10 . Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3. Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương. Vậy A không là số chính phương. Bài 15: Cho A 102012 102011 102010 102009 8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. HD: Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 Nên A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 16
4. Bài 16: Chứng minh rằng tổng sau: P = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 361 + 362 không là số chính phương. HD: P = (1 + 3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ... + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34. 40 + ... + 356. 40) + 360 + 361 + 362. - Các số hạng trong ngoặc đều có tận cùng là 0. - Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận cùng là 1. - Số 361 = 3.360 => có chữ số tận cùng là 3. - Số 362 = 9.360 => có chữ số tận cùng là 9. Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 => P không là số chính phương. Bài 17: Cho A= 1 2 22 23 ... 22010 22011 . Hỏi số A 8 có phải là số chính phương không? HD: Tính được A 8 22012 1 8 24.503 7 ....6 7 ....3 Vì SCP không có tận cùng bằng 3, nên A+8 không phải là SCP. II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dùng tính chất của số dư Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư 0 hoặc 1 Bài 18: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương. HD: * Phân tích: - Khi nói đến tổng các chữ số thì chúng ta nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng bài toán này “không giống” như bài toán 3. - Với bài toán này mặc dù chúng ta vẫn nghĩ tới chia cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó chúng ta phải dựa vào số dư của phép chia cho 3 “số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1” (tự chứng minh) Giải chi tiết: - Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. Bài 19: Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. Bài 20: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương. Bài 21: Chứng minh số: n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương. Phân tích Nếu xét n chia cho 3 thì số dư là 1 => không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng thì chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. 16
5. => Do đó chúng ta cần kiểm tra số dư của phép chia n cho 4 vì “Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư 0 hoặc 1” (các em tự chứng minh). HD: Vì số này chia cho 4 dư 3 nên số này không là số chính phương. Bài 22: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương. HD: a) Ta có 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1 Có 2N  3 => 2N – 3 ⋮ 3 => 2N – 3 = 3k => 2N - 1 = 3k + 2 (k N) => 2N – 1 chia cho 3 dư 2 => 2N - 1 không là số chính phương. b) 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn. Ta có N lẻ (vì N là tích các số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho 2 => Mặc dù 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4. => 2N không là số chính phương. c) 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1 2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1. => 2N + 1 không là số chính phương. Bài 23: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương. HD: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (trong đó có 2 là số nguyên tố chẵn, còn lại tất cả là các số nguyên tố lẻ) => p2 và p không thể chia hết cho 4 (1) a) Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m N). Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ. Đặt m = 2k + 1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1 => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)  4 mâu thuẫn với (1). => p + 1 không phải là số chính phương. b) p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p – 3 ⋮ 3 => p – 3 = 3k => p - 1 = 3k + 2. => p – 1 chia cho 3 dư 2 => p - 1 không là số chính phương. Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương. Bài 24: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương. HD: 16
6. a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m N). => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4 (k2 + k + m2 + m) + 2 => a2 + b2 chia cho 4 dư 2 => a2 + b2 không thể là số chính phương. III/ PHƯƠNG PHÁP 3: “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương. Bài 25: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. Phân tích Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Nên các cách làm trước đều không vận dụng được. => cần giải theo một hướng khác (dùng phương pháp 3). HD: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. Bài 26: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Nhận xét Đây là biểu thức khá quen thuộc, nhận thấy A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó đọc lời giải. HD: Ta có: A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. Mặt khác: (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A. Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. => A không là số chính phương. Bài 27: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương. HD: n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương. Bài 28: Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương. 16
7. Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4. Bài 29: Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho 4. Bài 30: Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương. Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho một chục (?) B/ CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Dựa vào định nghĩa. “số chính phương là bình phương của một số tự nhiên”: Bài 31: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. HD: 2 2 Ta có: an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n + 3n) (n + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên Theo định nghĩa, an là số chính phương. Bài 32: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. HD: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 => Tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dựa vào tính chất đặc biệt. “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”. Bài 33: Chứng minh rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m 2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương. HD: Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n  4(m2 - n2) + (m - n) = m2  (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 là số chính phương (*) Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d. Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 16
8. III/ PHƯƠNG PHÁP 3: VẬN DỤNG CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN. n n 1 N an an 1...a1a0 10 an 10 an 1 ... 10a1 a0 a a n Đặc biệt : a.a...a a1 1...1 (9 9...9) (10 1) n so 1 9 n so 9 9 Công thức bổ trợ: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Bài 34: Chứng minh rằng số sau là một số chính phương N 11111...1.10000...05 1 1995 so 1 1994 so 0 HD: Ta có : 101995 1 N 101995 5 1 9 101995 1 101995 5 9 9 2 101995 4.101995 4 9 2 101995 2 3 2 101995 1 1 3 2 3 1995 2 10 1 1 33333...3 4 9 1994 so 3 Vậy số N là một số chính phương * Bài 35: Cho m N , A 11111....1 , B =11111...1 , c =666...6 . 2m so 1 m+1 so 1 m so 6 Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phương với m N * HD: Ta có : 16
9. 1 A 102m 1 9 1 m 1 B 10 1 9 1 C 10m 1 9 1 2m 1 m 1 6 m Vậy A B C 10 1 10 1 10 1 8 9 9 9 1 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 9 1 102m 16.10m 64 9 1 2 10m 8 9 2 1 10m 8 9 Là một số chính phương Bài 36: Chứng minh rằng A 244999...91000...09 là số chính phương n 2 so 9 n so 0 HD: Ta có: A 244999...91000...09 n 2 so 9 n so 0 2n n 2 n 1 244.10 999...9.10 10 9 n 2 so 9 2n n 2 n 2 n 1 244.10 10 1 10 10 9 244.102n 90.10n 9 2 5.10n 3 (5.10n – 3)2 là bình phương của một số tự nhiên . Vậy A là số chính phương Bài 37: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì A = (10n + 10n-1 + + 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1 Là số chính phương nhưng không thể là lập phương của một số tự nhiên được HD: Đặt B = 10n+1 ta có 16
10. 10n 1 1 B 1 A 10n 1 5 1 B 5 1 10 1 9 (1) 2 2 B 4B 4 B 2 2 A 3.3.3...34 9 32 2 2 2 Ta có A 3.3.3...34 2 . 1666...6 7 (2) n 1 so 6 Từ (1) ta thấy A là một số chính phương nhưng từ (2) ta lại thấy A chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên được. C/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC ĐÃ CHO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Công thức nâng cao dùng để khai triển: A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 + 2A + 1 = (A + 1)2 A2 - 2A + 1 = (A - 1)2 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Bài 38: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589 HD: a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương. k n 1 11 k 6 => Ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 k n 1 1 n 4 b) đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)2 – 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương 2n 2a 3 9 n 1 Ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n 2a 3 1 a 2 c) Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16 16