Chuyên đề bồi dưỡng HSG Hình học Lớp 6 - Chuyên đề 1: Một số hình phẳng trong thực tiễn - Chủ đề 3: Hình chữ nhật

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Hình học Lớp 6 - Chuyên đề 1: Một số hình phẳng trong thực tiễn - Chủ đề 3: Hình chữ nhật

1. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN CHUYÊN ĐỀ 1 – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số tính chất của hình chữ nhật M N Q P Hình chữ nhật MNPQ có: * Hai cạnh đối bằng nhau: MN PQ;MQ NP * Hai cạnh đối MN và PQ song song với nhau; MQ và NP song song với nhau. * Hai đường chéo bằng nhau: MP NQ . M , N,P,Q * Bốn góc ở các đỉnh đều là góc vuông. 2. Công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật Hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , ta có: * Chu vi hình chữ nhật: C 2 a b * Diện tích hình chữ nhật: S ab Chú ý: * Nếu chiều dài tăng n lần, chiều rộng không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần. * Nếu chiều rộng tăng lên n lần, chiều dài không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần. * Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên n lần thì diện tích hình chữ nhật tăng n2 lần. * Nếu một chiều tăng n lần, chiều kia giảm n lần thì diện tích hình chữ nhật không đổi. * Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng không đổi thì chu vi tăng thêm 2m (đvđd).
2. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài không đổi thì chu vi tăng thêm 2m (đvđd). * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài giảm đi m (đvđd) thì chu vi không đổi. * Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng tăng thêm n (đvđd) thì chu vi tăng thêm 2 m n (đvđd). PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các bài toán về chu vi hình chữ nhật. I. Phương pháp giải * HS nắm chắc công thức chu vi, các tính chất về cạnh, đường chéo của hình chữ nhật. * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề. II. Bài toán Bài 1: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 72cm . Người ta cắt bỏ đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của hình chữ nhật. a) Tìm chu vi miếng bìa còn lại. b) Nếu phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12cm thì độ dài các cạnh của miếng bìa hình chữ nhật ban đầu là bao nhiêu xăng-ti-mét? Lời giải: a) Từ hình vẽ ta thấy chu vình của miếng bìa sau khi cắt vẫn bằng chu vi hình chữ nhật ban đầu. Vậy chu miếng bìa còn lại là 72cm b) Gọi chiều dài, rộng miếng bìa ban đầu lần lượt là x cm , y cm , cạnh hình vuông bị cắt đi là a cm Vì miếng bìa chữ nhật có chu vi 72cm nên x y 72 : 2 36 (cm) Chiều dài còn lại của miếng bìa là x 2a cm Chiều rộng còn lại của miếng bìa là y 2a cm Vì phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12cm nên x 2a y 2a 12 hay x y 12 mà x y 36 Suy ra x 24(cm); y 12(cm) . Vậy các cạnh của miếng bìa là 24(cm);12(cm)
3. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Bài 2: Một đám đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là các số tự nhiên. Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Biết hình chữ nhật có diện tích từ 60 m 2 đến 80m2 . Tính chu vi đám đất. Lời giải: Gọi chiều rộng đám đất hình chữ nhật là a m ,a ¥ Vì dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài là 3a m Diện tích đám đất hình chữ nhật là 3a.a 3a 2 m 2 Vì đám đất hình chữ nhật có diện tích từ 60 cm 2 đến 80cm2 nên 60 3a2 80 80 20 a2 27 a2 5 hay a 5 3 Chu vi đám đất là 2. 3.5 5 40 m Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi 100cm ( AB AD ). Lấy điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh CD sao cho AMND là hình vuông còn BMNC là hình chữ nhật có chu vi 60cm . a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD b) Tính diện tích tam giác DMC Lời giải: a) Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là AB BC 100 : 2 50 cm Nửa chu vi hình chữ nhật BMNC là BM BC 60 : 2 30 cm Suy ra AB BC BM BC 20 hay AM 20(cm) Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là AD AM 20(cm) (do AMND là hình vuông) Chiều dài hình chữ nhật ABCD là AB 50 20 30(cm) b) Ta có MN AM 20(cm) (do AMND là hình vuông) DC AB 30(cm) (do ABCD là hình chữ nhật) Diện tích tam giác DMC là 30.20 : 2 300 (cm 2 ) Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45m thì được chiều dài của hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu. Lời giải:
4. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0 Vì chiều dài gấp 4 chiều rộng nên chiều dài là 4.a (m) Chiều rộng mới là a 45(m) Khi tăng chiều rộng thêm 45m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài thì hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng (tức là chiều dài cũ) nên ta có a 45 4.4a a 45 16a 15a 45 hay a 3 Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 2.(3 4.3) 30(m) Bài 5: Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành hai mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi thửa đất hình chữ nhật ban đầu hơn chu vi thửa đất hình vuông là 28m . Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích thửa đất hình vuông là 224 m 2 . Tính chu vi thửa đất ban đầu. Lời giải: Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là 28: 2 14 m . Nửa chu vi hình ABCD là AD AB . Nửa chu vi hình AMND là AD AM . Do đó MB AB AM 14 cm . Diện tích hình ABCD là AB.AD AB.AM (do AD AM ) Diện tích hình AMND là AM.AM Theo đề ta có AB.AM AM.AM 224 hay AM AB AM 224 AM.14 224 AM 16 Chiều rộng BC của hình ABCD là: AD AM 16 m Chiều dài AB của hình ABCD là: 14 16 30 m Chu vi hình chữ nhật ABCD là: 2. 30 16 92 m . Bài 6: Một miếng bìa hình chữ nhật, có chiều rộng 30 cm , chiều dài 40cm . Người ta muốn cắt đi một hình chữ nhật nằm chính giữa miếng bìa trên sao cho cạnh của hai hình chữ nhật song song và cách
5. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN 1 đều nhau, đồng thời diện tích cắt đi bằng diện tích miếng bìa ban đầu. Hỏi hai cạnh tương ứng của 2 hai hình chữ nhật ban đầu và cắt đi cách nhau bao nhiêu? Lời giải: Chia miếng bìa ABCD thành các ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh là 5 cm . Số ô vuông của miếng bìa đó là: 8.6 48 (ô vuông). Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là: 6.4 24 (ô vuông) Vì 48: 24 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD . Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hình ABCD và MNPQ cách nhau 5 cm . Bài 7: Cho một hình chữ nhật, biết nếu tăng chiều dài, chiều rộng mỗi chiều 2 cm thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 50cm2 . Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (cm), b (cm) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab(cm2 ) Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 2 cm là (a 2)(b 2) ab 2a 2b 4(cm2 ) 2 Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 2 cm thì diện tích tăng thêm 50cm nên: 2a 2b 4 50 2 a + b = 46 Vậy chu vi hình chữ nhật ban đầu là 46 cm. Dạng 2: Các bài toán về diện tích hình chữ nhật. I. Phương pháp giải * HS nắm chắc công thức diện tích của hình chữ nhật. * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề. * HS vận dụng tốt tính chất tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) hoặc cùng cạnh đáy (cạnh đáy bằng nhau). II. Bài toán
6. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Bài 1: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 180 m2 , chu vi 58 m . Hãy tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó (biết số đo các cạnh là số tự nhiên)? Lời giải: Cách 1: Ta có tổng của chiều rộng và chiều dài là: 58 : 2 29 m 1 Ta phân tích diện tích hình chữ nhật thành tích của số đo chiều rộng và chiều dài được như sau: 180 =1.180 = 2.90 = 3.60 = 4.45 = 5.36 = 6.30 = 9.20 =10.18 =12.15 2 Dùng phương pháp đối chiếu, từ 1 ta thấy tổng số đo của chiều rộng và chiều dài là 29 m , đem đối chiếu với kết quả cặp số đo chiều rộng và chiều dài ở 2 ta thấy cặp số 9 và 20 thỏa mãn yêu cầu. Như vậy chiều rộng là 9m ; chiều dài là 20 m . Cách 2: Gọi số đo chiều rộng là a m ; số đo chiều dài là b m a,b ¥ ,a b Theo đề bài ta có: a b 58 : 2 29 1 , suy ra 0 a 15; 14 b 29 Lại có ab 180 2 , suy ra a hoặc b phải chia hết cho 9 . Xét TH1: a chia hết cho 9 . Vì a chia hết cho 9 và 0 a 15 nên a 9 . Với a 9 b 20 mà 9.20 180 (thỏa mãn 2 ). Xét TH2: b chia hết cho 9 ; 14 b 29 nên b 18 hoặc b 27 . – Nếu b 18 thì a 11 mà 11.18 198 (không thỏa mãn 2 ) nên TH này ta loại. – Nếu b 27 thì a 2 mà 2.27 54 (không thỏa mãn 2 ) nên TH này ta cũng loại. Vậy chiều rộng là 9 m ; chiều dài là 20 m . 2 Bài 2: Cho hình chữ nhật JKML có LO OM NM MK (như hình vẽ). Tính diện tích hình chữ 3 nhật JKML biết diện tích tam giác NJO là 18 cm2
7. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN J L O K N M Lời giải: 2 Từ đề bài: LO OM MN MK ta suy ra nếu OM NM LO a cm thì LM 2a;KM 3a 3 3 1 Ta có S S S S S a2 a2 2a2 18 4a2 18 hcn JLO MNO JKN JNO 2 2 2 2 2 2 Mà Shcn LM.KM 6a 6a 4a 18 2a 9 a 3 Vậy 2 . Shcn 6.3.3 54 cm Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 60 m . Tính diện tích của nó, biết rằng giữ nguyên chiều rộng của hình chữ nhật đó và tăng chiều dài lên 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 24 mét vuông. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m2 ) Diện tích sau khi giữ nguyên chiều rộng và tăng chiều dài lên 2m là (a 2)b ab 2b (m2 ) Vì diện tích mới tăng 24 mét vuông nên 2b 24 b 12 Chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là: 12 m Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 60 : 2 -12 = 18 m Diện tích của hình chữ nhật là: 12.18 = 216 m2 . Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu mỗi chiều tăng thêm 1 m thì được hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 26 mét vuông. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu. Lời giải: Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m2 ) Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 1 m là (a 1)(b 1) ab a b 1 (m2 )
8. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN 2 Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 1m thì diện tích tăng thêm 26 m nên a + b +1 = 26 a + b = 25 Theo bài ra: a = 1,5.b 1,5b + b = 25 2,5b = 25 b = 10 Từ đó a = 15 Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 15 m và 10 m. MB Bài 5: Tính tỉ số diện tích hình MBND với hình chữ nhật ABCD . Biết AM , BN = NC . 3 Lời giải: SABCD Ta có SABD SCBD . 2 MB 3 3 1 3 Ta có AM S .S  S S 3 MBD 4 ABD 4 2 ABCD 8 ABCD 1 1 1 1 Tương tự BN NC S .S  S S NBD 2 CBD 2 2 ABCD 4 ABCD 1 3 5 SDMBN SMBD S S S CBD 4 8 ABCD 8 ABCD S 5 Vậy DMBN . SABCD 8 Bài 6: Một miếng bìa hình vuông cạnh 24cm . Cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh ta được hai hình 4 chữ nhật có tỉ số chu vi là . Tìm diện tích mỗi hình chữ nhật đó. 5 Lời giải: A a E 24-a B 24 D F C Gọi hình vuông là ABCD . Cắt miếng bìa theo đường EF .
9. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Không mất tính tổng quát ta giả sử hình chữ nhật AEFD có chu vi lớn hơn. Gọi độ dài AE là a (cm) Khi đó EB 24 a (cm) 24 a 24 4 48 a 4 Theo bài ra ta có: 9a 144 a 16 . 24 a 5 24 a 5 Diện tích hình chữ nhật AEFD là 24.a 24.16 386 (cm 2 ) Diện tích hình chữ nhật BEFC là 24 24 a 24.8 192 (cm2 ) Vậy diện tích mỗi hình chữ nhật là 16.24 384 cm 2 và 8.24 192 cm 2 Bài 7: Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau. Biết rằng PQ 4 cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . Lời giải: Vì các hình thang vuông PQMA , QMBC , QPNC , PNDA bằng nhau nên: MQ NP QP 4 cm và CN AD . Mặt khác AD NP QM 4 4 8 cm . Do đó CN AD 8 cm . Diện tích hình thang vuông PQCN là: CN PQ NP : 2 8 4 .4 : 2 24 cm2 Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24.4 96 (cm2 ) . Bài 8: Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một mảnh nhỏ trồng rau và mảnh còn lại trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích của mảnh trồng rau. Chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5 mét. Lời giải: Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau. Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a (m) thì cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là 6a (m).
10. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Chu vi mảnh trồng rau là 2 a 5 (m) Chu vi mảnh trồng ngô là 2 6a 5 (m) Vì chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau nên 2 6a 5 4.2 a 5 12a 10 8a 40 4a 30 a 7,5 Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là: 7,5 (m) Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là: 7, 5.6 45 (m) Diện tích thửa ruộng ban đầu là: 7,5 45 .5 262,5 (m 2 ) . Bài 9: Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình vẽ. Diện tích hình nhận được 5 bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Biết diện tích phần tô màu là 18 cm2 . Tính diện tích tờ giấy 8 ban đầu. Lời giải: Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là diện tích tam giác được tô màu. 5 3 Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 diện tích hình chữ nhật ban đầu. 8 8 3 3 Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay diện tích hình chữ 8 8 nhật ban đầu bằng 18cm2 . 3 Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18: 48 (cm2 ) 8 Bài 10: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . Biết rằng diện tích tứ giác AIKD là 20 cm2 và I là điểm chia AB thành 2 phần bằng nhau. Lời giải: