Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên

1. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. DÃY SỐ TỰ NHIÊN + Cho dãy số tự nhiên : S a1 a2 a3  an - a1 : số hạng thứ 1 . - a2 : số hạng thứ 2 . - a3 : số hạng thứ 3 . - an : số hạng thứ n . - S tổng dãy số tự nhiên có n số hạng. 2. DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU + Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi. - an an 1 d (hằng số). S a1 a2 a3 ... an S n a1 an : 2 PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều S a1 a2 a3 ... an I. Phương pháp giải Cần tính tổng: S a1 a2 a3 ... an . (1) Với a2 a1 a3 a2 ... an an 1 d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d ) Số số hạng của tổng là n an a1 : d 1 với a1 là số hạng thứ nhất; an là số hạng thứ n . Tổng S n a1 an : 2 . Số hạng thứ n của dãy là an a1 n 1 d .
2. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN II.Bài toán Bài 1: Tính tổng S 1 2 3 4 ... 2019 2020 . Lời giải: Số số hạng của dãy là 2020 1 :1 1 2020 . Tổng S 1 2020 .2020 : 2 2041210 . Bài toán tổng quát: Tính tổng S 1 2 3 ... n . Số số hạng của dãy là n 1 :1 1 n . Tổng S n 1 n : 2. Bài 2: Tính tổng S 1 3 5 ... 2019 2021. Lời giải: Số số hạng của dãy là 2021 1 : 2 1 1011. Tổng S 1 2021 .1011: 2 1022121. Bài 3: Tính tổng S 5 10 15 ... 2015 2020 . Lời giải: Số số hạng của dãy là 2020 5 :5 1 404 . Tổng S 5 2020 .404 : 2 409050 . 3 5 4039 Bài 4: Tính tổng S 1 2 ... 2020 . 2 2 2 Lời giải: 1 Số số hạng của dãy là 2020 1 : 1 4039. 2 Tổng S 1 2020 .4039 : 2 4081409,5 . Bài 5: Tính tổng S 10,11 11,12 12,13  98,99 100 . Lời giải:
3. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Số số hạng của dãy là 100 10,11 :1,01 1 90 . Tổng S 10,11 100 .90 : 2 4954,95 . Bài 6: Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số? . Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số là 10;11;12;...;99 Số các số này là:99 10 1 90 số Ta có: A 10 11 12 ... 99(1) A 99 98 ... 11 10 (2) Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta được: A A 10 99 11 98 ... 98 11 99 10 109 109 ... 109 109 Nên 2A 109.90 A 109.90 : 2 45.109 4905 Cách 2: 99 10 Số số hạng của dãy: 1 90 1 (khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99) 99 10 Tổng của dãy: A .90 4905 2 Bài 7: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? . Phân tích: Để giải bài toán ta cần xác định được quy luật cách đều của các số lẻ liên tiếp. Tuy nhiên các số hạng trong tổng đã biết nên ta chỉ cần áp dụng công thức tính tổng như đã nêu trong phương pháp Lời giải Tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41 Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp Các số hạng liên tiếp trong tổng cách đều nhau một giá trị d 2 và trong tổng có 21 số hạng nên: 41 1 .21 S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41 441 2 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau, ta thấy: 1 41 42 3 39 42 5 37 42 7 35 42....
4. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng là 42 Số cặp số là: 20 : 2 10 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21 Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 42.10 21 441 1 5 7 101 103 Bài 9: Tính tổng S 1 3 ... 35. 3 3 3 3 3 Lời giải 1 5 7 101 103 1 3 5 7 ... 101 103 105 Ta có S 1 3 ... 35 3 3 3 3 3 3 Xét tổng 1 3 5 .... 101 103 105 là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị. Tổng này có: n 105 1 : 2 1 53 số hạng. 105 1 .53 1 3 5 .... 101 103 105 2809 2 2809 Ta có tổng S 3 Dạng 2: Tổng có dạng S 1 a a2 a3 ... an (1) I. Phương pháp giải TH 1: Nếu a 1 thì S 1 n . TH 2: Nếu a 1 để tính tổng S ta làm như sau Bước 1: Nhân hai vế của 1 với số a ta được aS a a2 a3 a4 ... an 2 an 1 1 Bước 2: Lấy 2 trừ 1 vế theo vế ta được aS S an 1 1 S a 1 II. Bài toán Bài 1: Tính tổng S 2 22 23 24 ... 220 . Lời giải: Ta có 2S 22 23 24 25 ... 221 Vậy 2S S S 221 2 . Bài 2: Tính tổng S 1 2 22 23 24 ... 2100 .
5. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Ta có 2S 2 22 23 24 25 ... 2101 Vậy 2S S S 2101 1. Bài 3: Tính tổng S 6 62 63 64 ... 699 . Lời giải: Ta có 6S 62 63 64 65... 6100 . Vậy 6S S 5S 6100 6 . 6100 6 Suy ra S . 5 1 1 1 1 1 Bài 4: Tính tổng S 1 ... . 2 22 23 299 2100 1 *) Phân tích: Đặt a bài toán trở về dạng đã cho. 2 1 Kể từ số hạng thứ nhất, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Do đó nếu ta 2 1 1 nhân 2 vào tổng S thì ta có tổng 2S với các số hạng từ đến , giống như trong tổng S, khi đó nếu lấy 2 299 1 1 tổng 2S trừ đi tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và tính được tổng S. 2 299 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có S 1 ... 2S 2 1 ... 2 22 23 299 2100 2 22 23 299 1 2S S S 2 2100 5 5 5 5 Bài 5: Tính tổng S 1 ... . 7 72 73 755 5 5 5 *) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều có cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số 7 755 7 1 hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng S thì ta được tổng 7S 7
6. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 5 5 có các số hạng từ đến giống như trong tổng S. Do đó nếu lấy tổng 7S trừ đi tổng S thì các số hạng 7 754 5 5 từ đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng S. 7 754 Lời giải: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Ta có S 1 2 3 ... 55 7S 7 7. 2 3 ... 55 7 5 2 3 ... 54 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 11 5 7S S 6S 11 S 755 6 6.755 1 1 1 1 Bài 6: Tính tổng S . 18 18.9 162.9 1458.9 *) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì khá phức tạp. Nhận thấy các số 18, 162, 1458 đều chia hết cho 9, do đó ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đó để xem có xuất hiện 1 1 1 tổng theo quy luật ... hay không, từ đó có hướng tính S a a2 a3 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có S 2 3 4 2 3 4 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2 9 9 9 9 1 1 1 1 Nhân 2 vào tổng S ta được: 2S 9 92 93 94 1 1 1 Nhân 9 vào tổng 2S ta được: 19S 1 9 92 93 1 94 1 94 1 410 Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được: 18S 2S 16S 1 16S S 94 94 16.94 6561 Dạng 3: Tính tổng có dạng A 1 a2 a4 a6 ....... a2n (1) I. Phương pháp giải Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với a2 ta được: a2.A a2 a4 a6 a8 ....... a2n 2 (2) Bước 2: Lấy 2 1 theo vế ta được:
7. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN a2.A A a2 a4 a6 a8 ....... a2n 2 1 a2 a4 a6 ....... a2n 2n 2 2 2n 2 a 1 A a 1 a 1 A 2 a 1 II. Bài toán Bài 1: Tính tổng sau: A 1 22 24 26 .. 298 2100 (1) Lời giải: Nhân vào hai vế với 22 ta được: 22.A 22 24 26 28 .. 2100 2102 (2) Lấy 2 1 theo vế : 22.A A 22 24 26 28 .. 2100 2102 1 22 24 26 .. 298 2100 2102 1 3A 2102 1 A 3 1 1 1 1 1 Bài 2: Tính tổng sau: B .... (1) 9 9 81 729 32018 Lời giải: 1 1 1 1 1 Đặt C .... B C 9 81 729 32018 9 1 1 1 1 Ta có: C .... 32 24 36 32018 1 1 1 1 1 .C .... 32 34 26 38 32020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C 2 .C 2 4 6 .... 2018 4 6 8 .... 2020 3 3 2 3 3 3 2 3 3 8 1 1 9 1 1 32018 1 .C 2 2020 C . 2 2020 2018 9 3 3 8 3 3 8.3 256 1 Bài 3: Tìm giá trị của x biết: 1 52 54 ..... 52x 24 Lời giải: Đặt A 1 52 54 ..... 52x (1)
8. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Nhân vào hai vế với 52 ta được: 52.A 52 54 56 58 .. 52x 2 (2) Lấy 2 1 theo vế : 52.A A 52 54 56 58 .. 22x 2 1 52 54 .....52x 52x 2 1 24.A 52x 2 1 A 24 256 1 512 1 52x 2 1 512 1 Vì 1 52 54 .....52x x 5 . 24 24 24 24 Vậy x 5 là giá trị cần tìm. 2022 2 4 2020 17 1 Bài 4: Tìm giá trị của x biết: 1 x 1 x 1 ..... x 1 , với x 2 x 1 2 1 Lời giải: 2 4 2020 Đặt B 1 x 1 x 1 ..... x 1 (1). 2 2 2 4 6 2022 Nhân cả hai vế của (1) với x 1 ta được: B. x 1 x 1 x 1 x 1 ....... x 1 (2). Lấy 2 1 theo vế ta được: B. x 1 2 B x 1 2 x 1 4 x 1 6 ....... x 1 2022 1 x 1 2 x 1 4 ..... x 1 2020 2022 2 2022 x 1 1 B. x 1 1 x 1 1 B x 1 2 1 2022 172022 1 x 1 1 172022 1 Theo bài cho: B 2 x 1 2 1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 17 x 18 (thỏa mãn). Vậy x 18. Bài 5: Chứng minh rằng: 1 52 54 ..... 540 chia hết cho 26. Lời giải: Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 26 .
9. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có: 1 52 54 ..... 540 1 52 54 56 ..... 538 540 1 52 54. 1 52 ......538. 1 52 26 54.26 ......538.26 Vậy 1 52 54 .....540 chia hết cho 26 . Bài 6: Chứng minh rằng: 1 22 24 ..... 2100 chia hết cho 21. Lời giải: Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21. Ta có: 1 22 24 ..... 2100 1 22 24 26 28 210 ..... 296 298 2100 1 22 24 26. 1 22 24 .... 296. 1 22 24 21 26.21 ...... 296.21 Do đó: 1 22 24 ..... 2100 chia hết cho 21 Bài 7: Chứng minh rằng: 1 32 34 ..... 3100 chia hết cho 82. Lời giải: Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82. Ta có: 1 32 34 ..... 3100 1 34 32 36 ..... 390 394 396 3100 1 34 32. 1 34 ....... 390. 1 34 396. 1 34 82 32.82 ..... 390.82 396.82 Vậy 1 32 34 ..... 3100 chia hết cho 82. 542 2 Bài 8: So sánh: 1 52 54 ..... 540 với . 23 Lời giải: Đặt A 1 52 54 ..... 540
10. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 52.A 52 54 56 ..... 542 52.A A 52 54 56 ..... 542 1 52 54 ..... 540 542 1 542 2 542 2 24.A 542 1 A 24 24 23 542 2 Vậy 1 52 54 ..... 540 . 23 7102 2019 Ví dụ 9: So sánh: 1 72 74 ..... 7100 với . 2021 Lời giải: Đặt A 1 72 74 ..... 7100 72.A 72 74 76 .... 7102 72.A A 72 74 76 .... 7102 1 72 74 ..... 7100 7102 1 7102 2019 7102 2019 48.A 7102 1 A 48 48 2021 Dạng 4: Tính tổng S a a3 a5 ... a2n 1 , với n 1, n N;a 1. I. Phương pháp giải S a a3 a5 ... a2n 1 1 Bước 1: Nhân cả 2 vế của 1 với a2 ta được: a2S a3 a5 ... a2n 1 a2n 1 2 2n 1 2 2n 1 a a Bước 2: Lấy 2 1 ta được: a 1 S a a S 2 a 1 a2n 1 a Vậy a a3 a5 ... a2n 1 a2 1 II. Bài toán 3 5 51 Bài 1: Tính tổng S1 2 2 2 ... 2 . Lời giải: a2n 1 a Áp dụng công thức a a3 a5 ... a2n 1 với n 26; a 2 ta được: a2 1 252 2 252 2 S 2 23 25 ... 251 . 1 22 1 3