Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 1: Các tính chất của lũy thừa

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 1: Các tính chất của lũy thừa

1. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a : an a.a.....a ( n thừa số a ) ( n ¥ * ) a được gọi là cơ số. n được gọi là số mũ. 2. MỘT VÀI QUY ƯỚC 1n 1 ví dụ : 12021 1 a0 1 ví dụ : 20210 1 3. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ am.an am n Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ. 4. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ am : an am n a 0;m 0 Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau. 5. LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA n am am.n 4 Ví dụ : 22 22.4 28 6. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ am.bm a.b m ví dụ : 23.43 2.4 3 83 7. LŨY THỪA TẦNG n n am a(m ) 2 32 3 9 Ví dụ: 3 3 3 8. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ
2. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN am :bm a :b m ví dụ : 84 : 44 8: 4 4 24 9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG a :b n an :bn b 0 Ví dụ: (8: 4)2 82 : 42 64 :16 4 PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI DẠNG 1: Viết gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa I. Phương pháp giải: Sử dụng các công thức sau: an a.a.....a ( n thừa số a ) n ¥ * am.an am n am :bm a :b m a 0;m 0 n am am.n am.bm a.b m n n am a(m ) am :bm a :b m II. Bài toán: Bài 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa a) 2.4.8.8.8 b) 25.43.162 c) 34.274.812 d) 10.100.1003.10005 e) 3y.3y.3y y 0 f) x1.x2....x100 ( x 0) g) z1.z4.z7....z100 ( z 0) h) ( m1 )2.( m2 )3.( m3 )4....( m99 )100 ( m 0) Lời giải a) Ta có: 2.4.8.8.8 2.22.23.23.23 212 3 2 b) Ta có: 25.43.162 25. 22 . 24 25.26.28 219 4 2 c) Ta có: 34.274.812 34. 33 . 34 34.312.38 324
3. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 3 5 d) Ta có: 10.100.1003.10005 10.102. 102 . 103 10.102.106.1015 1024 e) Ta có: 3y.3y.3y y 0 3y 3 f) Ta có: x1.x2....x100 x1 2 ... 100 x5050 x 0 g) Ta có: z1.z4.z7....z100 ( z 0) z1 4 7 ... 100 z(100 1).34:2 z101.17 1 2 3 4 100 .99.100.101 h) Ta có: m1 . m2 . m3 .... m99 m 0 m1.2.m2.3....m99.10 m3 m 0 Bài 2: Viết kết quả phép chia dưới dạng lũy thừa. a) 108 :103 :104 b) 625:53 c) 75 :343 d) 1000000 :103 e) 243:33 :3 f) 265: 25 : 4 8 4 2 3 10 g) 4x2 : 4x2 : 4x2 x 0 h) a100 :a15 :a62 a 0 i) y50 : y5 : y2 Lời giải a) Ta có: 108 :103 :104 10 b) Ta có: 625:53 54 :53 5 c) Ta có: 75 :343 75 : 73 72 d) Ta có: 1000000 :103 106 :103 103 e) Ta có: 243:33 :3 35 :33 :3 3 f) Ta có: 265: 25 : 4 28 : 25 : 22 2 8 4 2 2 2 g) Ta có: 4x2 : 4x2 : 4x2 4x2 2x 2 2x 2 x 0 3 10 i) Ta có: y50 : y5 : y2 y50 : y15 : y20 y15 Bài 3: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng lũy thừa. 3 2 1 1 1 c) 25.53. .53 a) . ; 4 8 625 2 3 1 b) 4 .32 : 2 ; d) 56. .22.33 :125 . 20 Lời giải 3 2 2 3 3 2 6 6 12 1 1 1 1 1 1 1 a) . . . 4 8 2 2 2 2 2
4. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 2 b) 42.32: 23 22 .25 : 23 24.25 : 23 29 : 23 26 1 1 510 c) 25.53. .55 52.53. .55 56 625 54 54 1 1 1 56.22.33 22.33.56 d) 56. .22.33 :125 56. .22.33. 33.52 675 20 20 125 22.5.53 22.54 Bài 4: Cho A 1 21 22 ... 22015.viết A 1 dưới dạng lũy thừa của 8. Lời giải 672 Ta có: A 1 21 22 ... 22015 22016 1 A 1 22006 23 8672 DẠNG 2: Tính giá trị của một biểu thức lũy thừa. I. Phương pháp giải: Áp dụng công thức: an a.a.....a ( n thừa số a ) n ¥ * am.an am n am :bm a :b m a 0;m 0 n am am.n am.bm a.b m n n am a(m ) am :bm a :b m và làm các phép tính như thông thường. II. Bài toán: Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a) 217 172 . 915 315 . 24 42 b) 82017 82015 : 82104.8 c) 13 23 34 55 . 13 23 33 43 . 38 812 d) 28 83 : 25.23 Lời giải a) 217 172 . 915 315 . 24 42
5. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 217 172 . 915 315 . 16 16 217 172 . 915 315 .0 0 b) 82017 82015 : 82104.8 82017 82015 :82015 82017 :82015 82015 :82015 82 1 64 1 63 c) 13 23 34 45 . 13 23 33 43 . 38 812 3 3 4 5 3 3 3 3 8 4 2 1 2 3 4 . 1 2 3 4 . 3 (3 ) 13 23 34 45 . 13 23 33 43 . 38 38 13 23 34 45 . 13 23 33 43 .0 0 d) 28 83 : 25.23 8 3 3 8 2 ( 2 ) : 2 28 29 : 28 28 : 28 29 : 28 1 2 3 Bài 2. Thực hiện phép tính: 3 2 3 0 3 1 1 9 12 9 a) . ; c) . : ; 2 4 4 9 8 2 2 2 1 7 3 8 5 b) . ; d) 3 . .2 . 7 3 9 Lời giải
6. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 3 2 1 1 13 13 1 1 1 a) . 3 . 2 . 2 4 2 4 8 16 128 2 2 1 7 1 72 1 b) . 2 . 2 7 3 7 3 9 3 2 3 0 2 2 2 6 2 6 23 6 6 9 12 9 3 9 3 8 3 3 .2 2 c) . : .1: . 6 . 2 6 4 3 9 4 9 8 2 8 2 9 2 32 2 .3 2 2 3 3 6 3 8 2 1 3 .2 2 5 3 d) 3 . .2 3 . 2 . 5 4 5 9 32 2 3 .2 3 Bài 3: Thực hiện phép tính a. 1024 : (17.25 15.25 ) b. 53.2 23 40 : 23 c. 5.35 17.34 : 62 Lời giải 5 5 10 5 10 5 5 a. Ta có: 1024 : (17.2 15.2 ) 2 : 2 (17 15) 2 : 2 .2 1 b. Ta có: 53.2 23 40 : 23 53.2 24 : 23 250 3 253 4 5 2 3 .2 5 4 2 4 4 2 2 c. Ta có: 5.3 17.3 : 6 3 5.3 17 : 3.2 3 .32 :3 .2 2 2 9.8 72 3 .2 Bài 4: Thực hiện phép tính a) 102 112 122 : 132 142 b) 23.94 93.45 : 92.10 92.3 Lời giải a) Ta có: 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 365:365 1 b) Ta có: 8 4 3 4 3 2 2 3 8 8 4 4 3 8 5 3 .13 4 2 .9 9 .45 : 9 .10 9 .3 2 .3 3 .5 : 3 .10 3 .3 4 3 81 3 .13 13 Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau: 310.10 310.6 11.322.37 915 a) A 2 b) B 2 39.22 2.314 3610.2515 212.14.126 c) C d) D 308 355.6
7. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 4 11.322.37 915 49.36 64 e) E 2 f) F 4 2.314 100.16 Lời giải 310.10 310.6 310. 10 6 310.24 a) Ta có: A 2 3 39.22 39.24 39.24 11.322.37 915 11.329 330 329 11 3 3.8 b) Ta có: B 2 28 28 6 2.314 4.3 4.3 4 10 15 2 2 3610.2515 6 . 5 620.530 c) Ta có: C 612.522 308 6.5 8 68.58 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74 2 d) Ta có: D 355.6 35.75.2.3 2.36.75 32.7 11.322.37 915 e) Ta có: E 2 2 2.314 4 10 2 49.36 64 49.4.9 412 4 . 9 4 f) Ta có: F 4 100.164 100.48 48.100 5.230.318 22.320.227 Bài 6. Thực hiện phép tính: 9 19 19 29 18 5.2 .2 .3 7.2 .3 Lời giải 5.230.318 22.320.227 229.318 5.2 3 2 5.29.219.319 7.229.318 228.318 5.3 7.2 Bài 7: Tính các tổng sau: a) A 1 21 22 ... 22015 b) B 1 31 32 ... 32016 c) C 1 32 34 36 ... 32020 d) D 31 32 33 ..... 32021 Lời giải a) Ta có: A 1 21 22 ...22015 2A 2 22 23 ... 22016 2A A A 22016 1 b) Ta có: B 1 31 32 ... 32016 3B 3 32 ... 32017
8. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 2B 32017 1 32017 1 B 2 c) Ta có: C 1 32 34 36 ... 32020 32 C 32 1 32 34 36 ... 32020 9C 32 34 36 ... 32022 9C C 32 34 36 ... 32022 1 32 34 36 ... 32020 8C 32022 1 32022 1 C 8 d) D 31 32 33 ... 32021 3A 32 33 ... 32021 2A 3A A 32021 3 32021 3 A 2 Bài 8: Tính S 1 2 4 8 ... 8192 Lời giải Ta có: S 20 21 ... 213 2S 2 22 ... 214 S 214 1 16383 Bài 9: Cho biết: 12 22 32 ... 102 385 . a) Tính A 22 42 62 ... 202 ; b)Tính B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 . Lời giải a) Ta có A 22 42 62 ... 202 2 2 2 2 1.2 2.2 2.3 ... 2.10 4 12 22 32 ... 102 4.385 1540 b) B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 2 122 1 142 32 162 52 182 72 202 92
9. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 12 1 12 1 14 3 14 3 16 5 16 5 18 7 18 7 20 9 20 9 11.13 11.17 11.21 11.25 11.25 11.29 11 13 17 21 25 29 11.125 1375 Bài 10: Tính tổng sau a) A 12 32 52 ... 992 Lời giải Ta có: A 12 22 322 42 52 ... 992 1002 22 42 62 ... 1002 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Đặt C 1 2 3 4 5 ... 99 100 ’ D= 2 4 6 ... 100 Tính C, ta có: C 12 22 32 42 52 ... 992 1002 C 1.1 2.2. 3.3 4.4 5.5 ... 99.99 100.100 C 1. 2 1 2. 3 1 3. 4 3 4. 5 4 5. 6 5 ... 99. 100 1 100. 101 1 C (1.2 2.3 3.4 4.5 ... 99.100 100.101) (1 2 3 4 5 ... 99 100) Đặt M 1.2 2.3 3.4 4.5 ... 99.100 100.101, N=1 2 3 4 5 ... 99 100 Tính M M 1.2 2.3 3.4 4.5 ... 100.101 3M 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4 5 2 4.5. 6 3 ... 100.101 102 99 3M 1.2.3 1.2.0 2.3.4 2.3.1 3.4.5 3.4.2 4.5.6 3.4.5 ... 100.101.102 99.100.101 3M 100.101.102 100.101.102 M 3 Tính N N 1 2 3 4 5 ... 100 100.101 N 2 100.101.102 100.101 Ta có C 3 2 Tương tự tính D ta có:
10. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN D= 22 42 62 ... 1002 D 22 (12 22 32 ... 502 ) 2 50.51.52 50.51 D 2 . 4. 50.52.17 25.51 3 2 100.101.102 100.101 Vậy A 4. 50.52.17 25.51 3 2 DẠNG 3: Xét tính chia hết của một biểu thức lũy thừa. I. Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính lũy thừa và tính chất chia hết, các dấu hiệu chia hết II. Bài toán: Bài 1: Cho S 1 2 22 23 24 25 26 27 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 3. Lời giải S 1 2 22 23 24 25 26 27 1 2 22 23 24 25 26 27 3 22 1 2 24 1 2 26 1 2 3 2.3 24.3 26.3 3 1 2 24 26 Bài 2: Cho A 2 22 23 ... 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 6. Lời giải A 2 22 23 24 ... 259 260 2 22 22 2 22 ... 258 2 22 6 22.6 ... 258.6 A6 Bài 3: Cho biểu thức A 2 22 23 24 25 26 ... 22014 22015 22016 . Chứng minh rằng A chia hết cho 7. Lời giải A 2 22 23 24 25 26 ... 22014 22015 22016 (Tổng A có 2016 số hạng, chia A thành 672 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng)