Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Phương pháp đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Phương pháp đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

1. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n a.a...a ( n thừa số a với a 0; n N ). 2. QUI ƯỚC: a0 1 (a 0) và a1 a a2 : Bình phương của a a 0 a3 : Lập phương của a a 0 Các chữ cái là biến số cần đưa vào mathtype 3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA: + Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: am.an am n + Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: am : an am n (a 0; m n) + Luỹ thừa của một thương: (a :b)n an :bn (b 0) + Luỹ thừa của luỹ thừa: (am )n am.n n n + Luỹ thừa tầng: am a(m ) 1 + Luỹ thừa với số mũ âm: a n (a 0) an PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI I. Phương pháp giải Nội dung bài toán: Tìm x để VT x VP , ta đi đánh giá như sau + Nếu x x0 VT x VP + Nếu x x0 VT x VP + Nếu x x0 VT x VP Kết luận: x x0 là giá trị cần tìm. II. Bài toán Bài 1: Tìm các số nguyên n thỏa mãn 364 n48 572
2. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Phân tích: số cần tìm đóng vai trò cơ số, phần số mũ đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng số mũ để có thể so sánh được phần cơ số với nhau. Ta có: Hai lũy thừa đầu có số mũ là 64, 48 cùng chia hết cho 16 . Hai lũy thừa sau có số mũ 48, 72 cùng chia hết cho 24 Lời giải Với n Z , ta có: 364 n48 16 16 n3 34 16 n3 8116 n3 81 n 4 1 Mặt khác, với n Z , ta có: n48 572 24 24 n2 53 24 n2 12524 n2 125 11 n 11 n Z 2 Từ (1); (2) 4 n 11 , mà n Z n 5; 6; 7;8;9;10;11 Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11 Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 64 2n 512 b) 243 3n 9 Phân tích: số cần tìm đóng vai trò số mũ trong lũy thừa, phần cơ số đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng cơ số để có thể so sánh được phần số mũ với nhau. Lời giải a) Ta có: 64 2n 512 26 2n 28 6 n 8 mà n Z n 7 b) Ta có: 243 3n 9 3 5 3 n 32 5 n 2
3. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN mà n Z n 2;3;4 Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng: a) 32 2n 512 b) 318 n12 208 Phân tích: Nhận xét tương tự bài 1 và bài 2. Câu a phân tích đưa về lũy thừa có cùng cơ số để so sánh số mũ. Câu b phân tích đưa về lũy thừa có cùng số mũ để so sánh cơ số. Lời giải a) Với n N, ta có: 32 2n 25 2n 5 n 1 2n 512 2n 29 n 9 2 Từ 1 và 2 5 n 9 , mà n  n 6;7;8 Vậy n 6;7;8 6 6 b) Với n N , ta có: 318 n12 33 n2 33 n2 27 n2 Vì 52 27 62 , nên 62 n 2 6 n (1) 4 4 Với n N , ta có: n12 208 n3 202 n3 202 n3 400 Vì 73 400 8 3 , nên n3 73 n 7 (2) Từ (1) và (2) , suy ra 6 n 7 , mà n N n 6;7 Bài 4: Tìm số tự nhiên x 0 thỏa mãn a) 4 x 1 4 x 5 b) 3x 32 x 1 2268 Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa về cùng cơ số để nhóm, rút gọn đơn giản phép tính. Dễ dàng thực hiện được câu a. Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm x . Câu b làm theo cách 1 thì sẽ gặp phải vấn đề xuất hiện bình phương trong phép tính khó thu gọn ở câu 4. Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 ở câu a. Lời giải a) 4 x 1 4 x 5 Cách 1.
4. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x 1 x 4 4 5 4 x : 4 4 x 5 1 4x. 4x 5 4 5 4x. 5 4 4 x 4 x 1 Vậy x 1 là giá trị cần tìm. Cách 2. Theo đề, x số tự nhiên x 0 x 1 + TH1: x 1 Ta có: x 1 x 1 0 4x 1 41 1 x 1 4 4 4 4x 1 40 x 4 4 4x 1 1 x 4 4 4 x 1 4 x 5 x 1 không thỏa mãn + TH2: x 1 4 x 1 4 x 40 41 5 VP (thỏa mãn) Vậy x 1 là giá trị cần tìm. b) 3x 32 x 1 2268 Ta có: + Nếu x 4 34 32.4 1 2268 VT VP (thỏa mãn) + Nếu x 4 3x 32x 1 34 37 2268 (không thỏa mãn) + Nếu x 4 3x 32x 1 226 VP (không thỏa mãn) Vậy x 4 là giá trị cần tìm. Bài 5: Tìm số tự nhiên x 0 thỏa mãn
5. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) 2 x 5x 7 x 14 b) 2 x x 20 c) 2 x 46 3x Phân tích: Câu a các lũy thừa không cùng cơ số nên không thu gọn biến đôi được biểu thức vế trái. Nhận thấy tổng các cơ số 2 5 7 14 nên x 1 là một giá trị thỏa mãn. Đánh giá với các giá trị x 1 (vì x 0 theo đề bài nên loại) và x 1 Câu b và c số cần tìm xuất hiện ở số mũ trong lũy thừa và cả ở biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải a) 2 x 5x 7 x 14 Ta có: + Nếu x 0 thì 20 50 70 3 14 x 0 (loại) + Nếu x 1 thì 21 51 71 14 x 1 (thỏa mãn) + Nếu x 1 thì 2 x 5x 7 x 21 51 71 14 (loại) Vậy x 1 là giá trị cần tìm. b) 2 x x 20 Ta có: + Nếu x 4 thì 24 4 20 (thỏa mãn) + Nếu x 4 thì 2x x 24 4 20 (loại) + Nếu 0 x 4 thì 2 x x 24 4 20 (loại) Vậy x 4 là giá trị cần tìm. c) 2 x 46 3x Ta có: 2 x 46 3x 2 x 3x 46 + TH1: x 5 2 x 25 21 mà 3x 3.5 15 2 x 3x 47 46 x 5 (không thỏa mãn) + TH2: 0 x 4 2x 24 16; mà 3x 3.4 12 2x 3x 28 46 (loại)
6. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết 3x 3x 1 2 x 2 388 (1) Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải + TH1: 0 x 4 3x 3x 1 2 x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2 x 2 388 VT (1) VP(1) 0 x 4 không thỏa mãn + TH2: x 4 3x 3x 1 2 x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2 x 2 388 VT (1) VP(1) x 4 không thỏa mãn + TH3: x 4 3x 3x 1 2 x 2 34 34 1 24 2 3x 3x 1 2 x 2 388 VT (1) VP(1) x 4 thỏa mãn Vậy x 4 là giá trị cần tìm. Bài 7: Tìm x, y, z N , biết x y z và 2 x 3 y 5z 156 1 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta nhận thấy 2 x 3 y 5z 156 5z 156 z 3 z 0;1;2;3. Chia các trường hợp của x để tìm x, y. Lời giải Cách 1: Ta có: 2 x 3 y 5z 156 5z 156 z 3
7. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN z 0;1;2;3. Vì x y z nên ta xét trường hợp sau: TH1: z 0 x y 0 hay x y z 0 , thay vào (1) ta được: VT 1 20 30 50 3 156 (loại) TH2: z 1 x y 1 , thay vào (1) ta được: VT 1 156 (loại) TH3: z 2 x y 2, thay vào (1) ta được: VT 1 22 32 52 156 (loại) TH4: z 3 x y 3, thay vào (1) ta được 2x 3y 125 156 2x 3y 31 (2) Ta có 3 y 31 và y 3 + Nếu y 3, thay vào (2) ta được 2x 4 x 2 (thỏa mãn) + Nếu y 0,1,2 thay vào (2) ta không tìm được giá trị của x thỏa mãn. Vậy x 2; y 3; z 3 Cách 2: Ta có: 5z 156 z 3 + Nếu z 2 x y 2, thay vào (1) ta được: VT 1 22 32 52 156 loại trường hợp z 2 + Nếu z 3 x y 3 , thay vào (1) ta được: 2x 3y 53 156 2x 3y 31 * + Nếu y 2 x 2 2x 3y 22 32 13 31 (loại) y 3 2x 33 31 2x 4 x 2. Vậy x; y; z 2;3;4 2 Bài 8: Tìm x, y, z N , thỏa mãn 2x 2 32 y 1 5z 40 và 2 x 3 y 5z 156 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thấy x2 2 x2 2 5 2 2 x 0 2 32 2 2 x 2 5 x 3 x 1 Chia các trường hợp của x để tìm y,z Lời giải 2 Với x, y, z N , mà 2x 2 32 y 1 5z 40 (1) , nên ta có: 2 2 2x 2 32 2x 2 25 x2 2 5
8. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x2 3 x 0 x 1 TH1: x 0 Với x 0 , từ 1 ta có 22 32 y 1 5z 40 32 y 1 5z 36 2 Ta có vế trái của (2) không chia hết cho 3 và vế phải của (2) chia hết cho 3 nên x 0 loại TH2: x 1 Với x 1, từ 1 ta có: 23 32 y 1 5z 40 32 y 1 5z 32 (3) Ta có 32 y 1 32 2y 1 3 y 1 + Nếu y 1 thay vào 3 ta được 27 5 z 32 z 1 (thỏa mãn) + Nếu y 0 thay vào 3 ta được 3 5z 32 5z 29 (loại) Vậy x y z 1 Bài 9*: Tìm x, y, z N , thỏa mãn 2x 2y 2z 210 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số giống nhau, vai trò của x, y, z sẽ như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z từ đó đánh giá được x 8. Tiếp tục để đánh giá lần lượt được y và z ta biến đổi phân tích đặt 2x ra ngoài làm thừa số chung để đánh giá được y x và z x . Nhận xét nếu y x 0 vô lí nên ta có được y x , thay vào biểu thức nhận xét và tìm được giá trị của z Từ đó tìm được x và y Lời giải Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z Ta có: 210 1024 Mà x y z 2 x 2 y 2 z 3.2 x 3.2 x 210 x 8 Lại có: 2x 2y 2z 210 2 x 1 2 y x 2 z x 210 1 2 y x 2 z x 210 : 2 x 1 2 y x 2 z x 210 x Mà x 8 1 2 y x 2 z x 210 x 210 8
9. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 1 2y x 2z x 210 x 4 * + Nếu y x y x 0 y x 1; z x 1 Ta có VT(*) là số lẻ và VP(*) là số chẵn loại trường hợp y x , do vậy y x , thay vào (*) ta được: * 1 20 2z x 210 x 210 8 ** + Nếu z x 0 VT (**) 3 còn VP(**) là số chẵn nên loại z x 1 Do đó (**) 2 2z x 210 x 1 2z x 1 29 x (***) + Nếu z x 1 1 VT (***) là số lẻ và VP(***) là số chẵn loại z x 1 0 Từ (***) 2 29 x x 8 y 8; z 9 Vậy x 8; y 8; z 9 Bài 10: Tìm các số nguyên dương x sao cho 3x 4 x 5x Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá. Để dễ dàng đánh giá thì ta biến đổi một vế không chứa x bằng cách chia cả hai vế cho5x . Lời giải x x x x x 3 4 Ta có 3 4 5 1 5 5 1 1 3 4 7 + Với x 1 , ta có: 1 5 5 5 x 1 không thỏa mãn; 2 2 3 4 9 16 25 + Với x 2 , ta có: 1 5 5 25 25 25 x 2 thỏa mãn; 3 4 + Với x 2 , mà các cơ số < <1 5 5
10. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN x 2 3 3 5 5 x 2 4 4 5 5 x x 2 2 3 4 3 4 1 5 5 5 5 x 2 không thỏa mãn; Vậy x 2 là giá trị cần tìm. Bài 11: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 5x3 3 y 317 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau đều chứa số cần tìm, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá. Lời giải + Nếu y 0 5x3 1 không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn + Nếu y 1 x 4 (thỏa mãn) + Nếu y 2 thì 3y chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2 và 5x3 3y 317 nên 5x3 chia 9 dư 2 Điều này mẫu thuẫn vì 5x3 chia 9 dư 0 hoặc 4 Vậy x 4; y 1 thỏa mãn bài toán Bài 12: Tìm x N , biết a) 16x 1284 x x 1 x 2 18 b) 5 .5 .5 100.............0 : 2 18 chuso0 Phân tích: Câu a các lũy thừa có cơ số khác nhau, nhưng đều đưa được về lũy thừa cơ số 2 . Dùng công thức lũy thừa đưa về cùng cơ số để so sánh. Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa số sau đó so sánh để tìm ra giá trị của x . Lời giải a) Theo đề, ta có:16x 1284 x 4 24 27