Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết

1. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phép chia hết Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a b.q 2. Tính chất chung 1) a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c 2) a ⋮ a với mọi a khác 0 3) 0 ⋮ b với mọi b khác 0 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1 3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu - Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m. - Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. - Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m. 4. Tính chất chia hết của 1 tích - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n. - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý: an bn (a b)n 2 an bn (a b)n chẵn 5. Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) - Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). - Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c) Dấu hiệu chia hết cho 5 - Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5. d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) - Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
2. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) - Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f) Dấu hiệu chia hết cho 11 - Một số chia hết cho 11 khi và chi khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN CHIA HẾT Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số I. Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m. - Viết biểu thức A thành một tổng (hiệu) các số trong đó mỗi số đều chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m. - Viết biểu thức A thành một tích các thừa số trong đó có thừa số chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m. - Viết m thành một tích các thừa số nguyên tố cùng nhau và chỉ ra biểu thức A chia hết cho các thừa số của m từ đó suy ra A chia hết cho m. - Viết biểu thức A và m thành một tích các thừa số và chỉ ra mỗi thừa số của A chia hết cho một thừa số của m từ đó suy ra A chia hết cho m. - Viết A thành một tổng hoặc hiệu các số mà có tổng hoặc hiệu các số dư chia hết cho m từ đó suy ra A chia hết cho m. Cụ thể ta có thể vận dụng các PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A là một số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; 11 ; ... để chứng minh. + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hoặc hiệu các số, ta cần phân tích số A để đưa số A về hoặc hiệu hoặc tích của các số có dấu hiệu chia hết rồi áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) hoặc tích để chứng minh. + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A cho p. + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tìm chữ số tận cùng của A để chứng minh A chia hết cho một số. + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m và A ⋮ n, đồng thời m và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì A chia hết cho tích m.n II. Bài toán Bài 1: Tìm tất cả các cặp số x; y sao cho a) 34x5y36 b) 423x7y45 c) 1x8y236 4,9
3. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ d) 21xy60 Lời giải: a) Ta có 34x5y36 4,9 5y4 y 2;6 x 4;0;9 Vậy các căp số x; y 4;2 ; 0;6 ; 9;6 b) Ta có 423x7y45 5,9 y 0;5 x 2;6 c) Ta có 1x8y236 4,9 y24 y 1;3;5;7;9 x 6;4;2;0;9;7 có 6 cặp số x; y thỏa mãn bài toán d) Ta có 21xy60 hay 2100 xy60 xy 00; xy 60 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9, biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau a) Là số có ba chữ số b) Là số chia hết cho 5 c) Tổng của chư x số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9 d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chữ số hàng chục là số chia hết cho 4 Lời giải: Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5 nên tận cùng là 5 Mà tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4 Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 Mà a 44 a 0;4;8 Tổng của hai số đó là: 405 202 203;445 222 333;485 242 243 Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45 Lời giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b  45 a56b 5; 9
4. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Xét a56b  5 b 0; 5 Nếu b 0 ta có số a56b 9 a 5 6 0 9 a 11 9 a 7 Nếu b 5 ta có số a56b 9 a 5 6 5 9 a 16 9 a 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 a = 2 và b = 5 ta có số 2560 Bài 4: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9. Lời giải: Gọi số đã cho là a Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư 5a a 9 4a 9 a 9 Vậy a 9 Bài 5: CMR số 111  111 81 81 sè 1 Lời giải: Ta thấy: 1111111119 72 63 9 Có 111  111 111111111 10 10 ..... 10 1 81 sè 1 72 63 9 Mà tổng 10 10 ..... 10 1 có tổng các chữ số bằng 9  9 1072 1063 ..... 109 1 9 Vậy: 111  111 81 81 sè 1
5. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 6: Tìm các chữ số x, y sao cho a. 34x5y  4; 9 b. 2x7817 Lời giải: a) Để 34x5y  4 5y  4 y 2, 6 Nếu y 2 ta có số 34x5y 9 3 4 2 5 x 9 x 14 9 x 4 Nếu y 6 ta có số 34x5y 9 x 5 6 6 9 x 17 9 x 1 Vậy: x = 1 và y = 6 ta có số 34156 x = 4 và y = 2 ta có số 34452 b) 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = 2 Bài 7: Cho số N = dcba CMR a. N  4 a 2b  4 b. N 16 a 2b 4c 8d 16 với b chẵn c. N  29 a 3b 9c 27d  29 Lời giải: a. Ta có: N  4 ba  4 10b a  4 8b 2b a 4 2b 4 b. N 1 6 1 0 0 0 d 1 0 0 c 1 0b a 1 6 992d 96c 8b 8d 4c 2b a 16 a 2b 4c 8d 16 với b chẵn
6. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ c.Ta có: 100 d 3c 9b 27 a dbca  29 1000; 29 1; dbca  29 d 3c 9b 27 a  29 Bài 8: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó. Lời giải: Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có: ab 10a b 2ab(1) ab 2 b 0; 2; 4; 6;8 Thay vào (1) a 3; b 6 Bài 9: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A 192021...7980 . Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Lời giải: Có 1980 2 2.32.5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5 A  4; 5 Tổng các số hàng lẻ 1 2 3 .. 7 .10 8 279 Tổng các số hàng chẵn 9 0 1 .. 9 .6 0 279 Có 279 279 5589 A 9 279 279 011 A 11 Bài 10: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? Lời giải: Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46. Bài 11: Chứng tỏ rằng số 11  11 22  22 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. 100 sè 1 100 sè 2 Lời giải:
7. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Có 11  11 22  22 =11  11 100  02 100 sè 1 100 sè 2 100 sè 1 99 sè 0 Mà 100  02 = 3. 33  34 99 sè 0 99 sè 3 11  11 22  22 = 33  33 33  34 (Đpcm) 100 sè 1 100 sè 2 100 sè 3 99 sè 3 Dạng 2: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một biểu thức. I. Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích của các biểu thức nhỏ trong đó có biểu thức chia hết cho biểu thức chia. II. Bài toán Bài 1: Cho n ¥ ,n 2. Chứng minh rằnga) 10n 23 9 b) 10n 2618 c) 92n 1 110 Lời giải: a) Ta có: 10n 23 9 có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 b) Ta có 10n 26 100...026 (n-2 chữ số 0) có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 và là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy chia hết cho 18 2n 1 c) Ta có 9 1 có tận cùng là 0 suy ra chia hết cho 10. Vì 92n 1 tận cùng là 9 do 2n 1 lẻ. Bài 2: Cho n ¥ * . Chứng minh rằng: A (210 1)11 25 b) B 391001 211000 10 Lời giải: Ta có A (210 1)11 102511 25 Bài 4: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng a) a S(a)9 b) Nếu S a S 2a thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không? Lời giải: n a) Đặt a anan 1...a1a0 an.10 .... a1.10 a0 S(a) an an 1 an 2 ... a1 a0 a S(a) a .(10n 1) a .(10n 1 1) ... 9a n  n 1  1 (10 1) (10 1) 9
8. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a S(a)9 b. S(a) S(2a) a 2a S(2a) a S(a)   9 9 a9 Ví dụ: a 18 S(a) 9 a S(a) 99;2a 36 S(2a) 9 Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấp 3 lần số A. Chứng minh rằng B27 Lời giải: B 3A B3 S(A)3 S(A)3 A3 B 3A Mà  B9 S(B)9 S(A)9 A9 A3  B 3A Và  B27 đpcm. A9  Bài 6: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Số A có chia hết cho 99 không? Lời giải: Ta có 90 số thảo mãn bài toán: 10,11,.....;99 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: (0 1 2 ... 9).9 45.9 405 Tổng các chữ số hàng chục là: (1 2 ... 9).10 45.10 450 Tổng các chữ số của A là: 405 450 855 9 A 9 Bài 7: Chứng minh với mọi n là STN lẻ thì số A n2 4n 5/ 8 Lời giải: Vì n lẻ, ta đặt n 2k 1 (k ¥ ) A (2k 1)2 4(2k 1) 5 4k(k 1) 8(k 1) 2 - Ta có k và k 1 là hai số TN liên tiếp có một số chẵn nên 4k(k 1)8 Lại có 8(k 1)8;28 A chia 8 dư 2. Dạng 3: Cho một biểu thức chia hết cho m chứng minh một biểu thức khác chia hết cho m.
9. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ I. Phương pháp giải - Vận dụng tính chất: AC ; BC pA qBC từ đó tìm giá trị p và q thích hợp. II. Bài toán Bài 1: Chứng minh 495a 1035b 45 với mọi a , b là số tự nhiên. Lời giải: Vì 4959 nên 1980.a9với mọi a. Vì 10359 nên 1035.b9 với mọi b. Nên: 495a 1035b 9 Chứng minh tương tự ta có: 495a 1035b 5với mọi a, b. Mà 9;5 1 495a 1035b 45 với mọi a , b là số tự nhiên. Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu ab cd11 thì abcd11 Lời giải a, Ta có: ab cd a.10 b 10c d (a c)10 b d (a c)(b d)11 hay a c b d 11 Khi đó abcd11 vì có a c b d 11 Bài 3: Chứng minh rằng: a, CMR: ab 2.cd abcd67 b, Cho abc27 cmr bca27 Lời giải: a, Ta có: abcd 100ab cd 200cd cd 201cd67 b, Ta có : abc27 abc027 1000a bc027 999a a bc027
10. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 27.37a bca27 Nên bca27 Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu (ab cd eg)11 thì abcdeg11 b, Nếu abc deg37 thì abc deg37 c, Nếu abcd99 thì ab cd99 Lời giải: a, Ta có : abcdeg 10000.ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg)11 b, Ta có : abcdeg 1000abc deg 999abc (abc deg)37 c, Ta có : abcd 100.ab cd 99.ab ab cd 99 ab cd9 Câu 5: Chứng minh rằng: với n ¢ . 2 A n3 n2 7 36n 7 Lời giải 2 Ta có: A n3 n2 7 36n 2 2 n n n 7 6 n n 7 6 n n3 7n 6 n3 7n 6 n n3 n 6n 6 n3 n 6n 6 2 2 n n 1 6 n 1 n n 1 6 n 1 n n 1 n2 n 6 n 1 n2 n 6 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp A7 n ¢ Câu 6: Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải