Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 4: Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 4: Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

1. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. TÍNH CHẤT CHUNG n ¥ 1) ab và bc thì ac 2) aa với mọi a khác 0 3) 0b với mọi b khác 0 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1 2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a,b cùng chia hết cho m thì a b chia hết cho m và a b chia hết cho m - Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. - Nếu 1 trong 2 số a,b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m. 3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m thi bội của a cũng chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: am bm 4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC: 1) 0a (a 0) 2) aa;a1 (a 0) 3) ab;bc ac 4) am;bm pa qbm 5) a : (m.n) am;an 6) am;an;(m,n) 1 amn 7) am ; bn abmn 8) abm;(b,m) 1 am 9) ab p (p là số nguyên tố) thì hoặc a p hoặc b p 5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.
2. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ. - Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn. - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. - Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI 1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số. 2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số. 3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức. Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số. I. Phương pháp giải: Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ¥ * bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau: PHƯƠNG PHÁP 1: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 ( giả thiết quy nạp) Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. PHƯƠNG PHÁP 2: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1 có nghĩa là F1  A Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 có nghĩa là Fk  A Bước 3: Ta chứng minh Fk 1 Fk  A. II. Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng: 4n 5 chia hết cho 3 với mọi n ¥ . Giải: n Đặt An 4 5 0 * Với n 0 , ta có A0 4 5 6  3 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Ak 4 5  3 k 1 k * Với n k 1, xét Ak 1 4 5 4 . 4 5 4k. (3 1) 5 4k. 3 4k 5  3  3
3. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ak 1  3 Vậy 4n 5 chia hết cho 3 với mọi n ¥ . Bài 2: Chứng minh rằng: 7n 1 chia hết cho 6 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt An 7 1 1 * Với n 1, ta có A1 7 1 6  6 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ak 7 1  6 k 1 k * Với n k 1, xét Ak 1 7 1 7 . 7 1 7k. (6 1) 1 7k. 6 7k 1  6  6 Ak 1  6 Vậy 7n 1 chia hết cho 6 với mọi n ¥ * . Bài 3: Chứng minh rằng: 9n 1 chia hết cho 8 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt An 9 1 1 * Với n 1, ta có A1 9 1 8  8 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 , suy ra Ak 9 1  8 k 1 k * Với n k 1, xét Ak 1 9 1 9 . 9 1 9k. (8 1) 1 9k. 8 9k 1  8  8 Ak 1  8 Vậy 9n 1 chia hết cho 8 với mọi n ¥ * . Bài 4: Chứng minh rằng: 13n 1 chia hết cho 6 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt An 13 1 1 * Với n 1, ta có A1 13 1 12  6 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ak 13 1  6 k 1 k * Với n k 1, xét Ak 1 13 1 13 . 13 1 13k. (12 1) 1 13k. 12 13k 1    6  6 Ak 1  6
4. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Vậy 13n 1 chia hết cho 6 với mọi n ¥ * . Bài 5: Chứng minh rằng: 16n 1 chia hết cho 15 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt An 16 1 1 * Với n 1, ta có A1 16 1 15  15 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ak 16 1  15 k 1 k * Với n k 1, xét Ak 1 16 1 16 . 16 1 16k. (15 1) 1 16k. 15 16k 1    15  15 Ak 1  15 Vậy 16n 1 chia hết cho 15 với mọi n ¥ * . Bài 6: Chứng minh rằng: 22n 1 1 chia hết cho 3 với mọi n ¥ * . Giải: 2n 1 Đặt Bn 2 1 2 * Với n 1, ta có B1 2 1 3  3 2k 1 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Bk 2 1  3 2(k 1) 1 2k 1 2 * Với n k 1, xét Bk 1 2 1 2 1 22n 1.22 1 22n 1.(3 1) 1 2k 1 2k 1 3.2 2 1  3  3 Bk 1  3 Vậy 22n 1 1 chia hết cho 3 với mọi n ¥ * . Bài 7: Chứng minh rằng: 62n 1 chia hết cho 35 với mọi n ¥ * Giải: 2n Đặt Bn 6 1 2 * Với n 1, ta có B1 6 1 35  35 2k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Bk 6 1  35 2(k 1) 2k 2 * Với n k 1, xét Bk 1 6 1 6 . 6 1 62k. (35 1) 1 62k. 35 62k 1   35  35 Bk 1  35
5. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Vậy 62n 1 chia hết cho 35 với mọi n ¥ * . Bài 8: Chứng minh rằng: 4n 15n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt Cn 4 15n 1 1 * Với n 1, ta có C1 4 15.1 1 18  9 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ck 4 15k 1  9 k 1 * Với n k 1, xét Ck 1 4 15(k 1) 1 4.4k 15k 14 4.(4k 15k 1) 45k 18 4.(4k 15k 1) 9(2 5k)    9  9 Ck 1  9 Vậy 4n 15n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Bài 9: Chứng minh rằng: 4n 6n 8 chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt Dn 4 6n 8 1 * Với n 1, ta có D1 4 6.1 8 18  9 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Dk 4 6k 8  9 k 1 * Với n k 1, xét Dk 1 4 6(k 1) 8 4.4k 6k 14 4.(4k 6k 8) 18k 18 4.(4k 6k 8) 18(1 k)    9  9 Dk 1  9 Vậy 4n 6n 8 chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Bài 10: Chứng minh rằng: 7n 3n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * Giải: n Đặt En 7 3n 1 1 * Với n 1, ta có E1 7 3.1 1 9  9 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ek 7 3k 1  9
6. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ k 1 * Với n k 1, Xét Ek 1 7 3(k 1) 1 7.7k 21k 7 18k 9 7.(7k 3k 1) 9(2k 1)    9  9 Ek 1  9 Vậy 7n 3n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * Bài 11: Chứng minh rằng: 4n 15n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt En 4 15n 1 1 * Với n 1, ta có E1 4 15.1 1 18  9 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ek 4 15k 1  9 k 1 * Với n k 1, xét Ek 1 4 15(k 1) 1 4.4k 15k 15 1 3.4k 15 4k 15k 1 k 3. 4 5 Ek Mà 4k 5  3 3. 4k 5  9 Ek 1  9 Vậy 4n 15n 1chia hết cho 9 với mọi n ¥ * . Bài 12: Chứng minh rằng: 16n 15n 1chia hết cho 225 với mọi n ¥ * . Giải: n Đặt Fn 16 15n 1 1 * Với n 1, ta có F1 16 15.1 1 0  225 k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Fk 16 15k 1  225 k 1 * Với n k 1, xét Fk 1 16 15(k 1) 1 16.16k 15k 16 16k 15k 1 15 16k 1 k Fk 15 16 1 Ta có : 16k 1  15 15 16k 1  225 Fk 1  225 Vậy 16n 15n 1chia hết cho 225 với mọi n ¥ * .
7. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2n 1 n 2 Bài 13: Chứng minh rằng Bn 3 2 chia hết cho 7 với mọi n ¥ . Giải: 1 2 * Với n 0 , ta có B0 3 2 7  7 2k 1 k 2 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Bk 3 2  7 2(k 1) 1 k 1 2 * Với n k 1, xét Bk 1 3 2 32.32k 1 2.2k 2 9 32k 1 2k 2 7.2k 2 9.B 7.2k 2 k  7  7 2n 1 n 2 Vậy Bn 3 2 chia hết cho 7 với mọi n ¥ . n 1 2n 1 * Bài 14: Chứng minh rằng Bn 11 12 chia hết cho 133 với mọi n ¥ . Giải: 2 1 * Với n 1, ta có B1 11 12 133  133 k 1 2k 1 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Bk 11 12  133 k 1 2 2(k 1) 1 * Với n k 1, xét Bk 1 11 12 11.11k 1 122k 1.122 11.11k 1 122k 1(11 133) 11. B 133.122k 1 k   133  133 Bk 1  133 n 1 2n 1 Vậy Bn 11 12 chia hết cho 133. Bài 15: Chứng minh rằng: 4.32n 2 32n 36 chia hết cho 32 với mọi n ¥ . Giải: 2n 2 Đặt Gn 4.3 32n 36 2 * Với n 0 , ta có G0 4.3 32.0 36 0  32 2k 2 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Gk 4.3 32k 36  32 2(k 1) 2 * Với n k 1, xét Gk 1 4.3 32(k 1) 36 9.4.32k 2 32k 4 9 4.32k 2 32k 36 32 8k 32
8. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 9G 32 8k 32 k    32  32 Gk 1  32 Vậy 4.32n 2 32n 36 chia hết cho 32 với mọi n ¥ . Bài 16: Chứng minh rằng: 33n 3 26n 27 chia hết cho 169 với mọi n ¥ . Giải: 3n 3 Đặt Gn 3 26n 27 3 * Với n 0 , ta có G0 3 26.0 27 0  169 3k 3 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Gk 3 26k 27  169 3(k 1) 3 * Với n k 1, xét Gk 1 3 26(k 1) 27 27.33k 3 26k 26 27 27 33k 3 26k 27 26.26k 676 27 G 169 4k 4 k    169  169 Gk 1  169 Vậy 33n 3 26n 27 chia hết cho 169 với mọi n ¥ . Bài 17: Chứng minh rằng: 32n 3 5 chia hết cho 8 với mọi n ¥ Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 2n 3 Đặt Gn 3 5 3 * Với n 0 , ta có G0 3 5 32  8 2k 3 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Gk 3 5  8 2(k 1) 3 2n 3 * Xét Gk 1 Gk 3 5 3 5 32k 5 32k 3 9.32k 3 32k 3 32k 3 (9 1) 32k 3. 8  8 Vậy 32n 3 5 chia hết cho 8 với mọi n ¥ . Bài 18: Chứng minh rằng: 10n 18n 1chia hết cho 27 với mọi n ¥ . Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 n Đặt Gn 10 18n 1 * Với n 0 , ta có G0 1 18.0 1 0  27
9. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ k * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Gk 10 18k 1  27 k 1 k * Xét Gk 1 Gk 10 18(k 1) 1 10 18k 1 10k (9 1) 18 9. 10k 2 k Đặt Hk 10 2 0 k Ta có H0 10 2 3  3 và Hk 1 Hk 9.10  3 k Nên: Gk 1 Gk 9. 10 2  27 Vậy 10n 18n 1chia hết cho 27 với mọi n ¥ . Bài 19: Chứng minh rằng: 32n 3 40n 27 chia hết cho 64 với mọi n ¥ . Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 2n 3 Đặt Gn 3 40n 27 3 * Với n 0 , ta có G0 3 40.0 27 0  64 2k 3 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 0 , suy ra Gk 3 40k 27  64 2(k 1) 3 2k 3 * Xét Gk 1 Gk 3 40(k 1) 27 3 40k 27 32k 5 32k 3 40 8.32k 3 40 8. 32k 3 5 Mà 32k 3 5 chia hết cho 8 với mọi n ¥ (bài 17) 2k 3 Nên: Gk 1 Gk 8. 3 5  64 Vậy 32n 3 40n 27 chia hết cho 64 với mọi n ¥ . Bài 20: Chứng minh rằng: 32n 1 40n 67 chia hết cho 64 với mọi n ¥ * Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 2n 1 Đặt Gn 3 40n 67 3 * Với n 1, ta có G1 3 40.1 67 0  64 2k 1 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Gk 3 40k 67  64 2(k 1) 1 2k 1 * Xét Gk 1 Gk 3 40(k 1) 67 3 40k 67 32k 3 32k 1 40 8.32k 1 40 8. 32k 1 5
10. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2k 1 Đặt Hk 3 5 3 2(k 1) 1 2k 1 Ta có H1 3 5 32  8 và Hk 1 Hk 3 5 (3 5) 32k 3 32k 1 8.32k 1  8 2k 1 Nên: Gk 1 Gk 8. 3 5  64 Vậy 32n 3 40n 27 chia hết cho 64 với mọi n ¥ * . Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số. I. Phương pháp giải: Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ¥ * bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau: PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n k 1 ( giả thiết quy nạp) Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 Ta dùng một số Hằng đẳng thức sau: 2 1. a b a2 2ab b2 2 2. a b a2 2ab b2 3 3. a b a3 3a2b 3ab2 b3 3 4. a b a3 3a2b 3ab2 b3 II. Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng với n ¥ * thì n3 n chia hết cho 3. Giải: 3 Đặt An n n 3 * Với n 1, ta có A1 1 1 0  3 3 * Giả sử mệnh đề đúng với n k 1, suy ra Ak k k  3 3 * Với n k 1, xét Ak 1 (k 1) (k 1) k 3 3k 2 3k 1 k 1 k 3 k 3 k 2 k    3  3 Ak 1  6 Vậy với n ¥ * thì n3 n chia hết cho 3.