Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

1. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q . - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên. 3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦CLN(a,1) 1;BCNN a,1 a - Nếu ab ¦CLN(a,b) b;BCNN a,b a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm - Nếu ¦CLN(a,b) d; ¦CLN(m,n) 1; b dn
2. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 10 2.5 Ví dụ ¦CLN(10,15) 5; ¦CLN(2,3) 1 15 3.5 c am - Nếu BCNN a,b c; ¦CLN(m,n) 1; c bn 30 10.3 Ví dụ BCNN 10,15 30; ¦CLN(2,3) 1 30 15.2 - ab ¦CLN(a,b).BCNN a,b PHẦN II. BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số: I. Phương pháp giải Bài toán: Tìm ¦CLN a1,a2 ,...,an Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦CLN a1,a2 ,...,an d a1 d a2 d d ? ... an d II.Bài toán Bài 1: Cho n N * . Chứng minh rằng a) ¦CLN n 3,2n 5 1 b) ¦CLN 3n 3,4n 9 1 Lời giải: a) Gọi ¦CLN(n 3,2n 5) d(d N* )
3. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN n 3d 2n 6d 2n 5d 2n 5d 2n 6 2n 5 d 2n 6 2n 5 d 1d d 1 Vậy n 3;2n 5 1. * 4(3n 7)7 12n 28d b) Gọi ¦CLN(3n 3,4n 9) d(d N ) 3(4n 9)d 12n 27d 12n 28 12n 27 d 12n 28 12n 27 d 1d d 1 Vậy ¦CLN 3n 3,4n 9 1 . Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N . Chứng minh rằng ¦CLN(a,ab 128) 1. Lời giải: ad Đặt d ¦CLN(a,ab 128) và d lẻ 128d và d lẻ ab 128d 27 d và d lẻ 2d và d lẻ d 1. Vậy (a,ab 128) 1 Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n2 16(n N * ) thì ¦CLN(n,2) 1;¦CLN(m,3) 1. Lời giải:
4. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN +) Theo đầu bài ta có: 17n2 16 17n2 12 17n2 1 chẵn n lẻ n 2 (n,2) 1 +) Vì 17n2 16 17n2 13 n 3 (n,3) 1 (nếu n3 17n2 3 17n2 13 lo¹i n 3 ). Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a 2b và 18a 5b hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Lời giải Gọi d (11a 2b,18a 5b) 5(11a 2b) 2(18a 5b)d 19ad * d19 Đặt 19a dk(k N ) d.k19 đpcm k19 - Nếu k19 k 19q 19a dk d.19.q a dq ad 2bd bd d ¦C(a,b) 1 d 1. 5bd Bài 5: Chứng minh rằng: ¦CLN(a,b) 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì ¦CLN(am bn ,am bn ) 1m,n N* và am bn 0 . Lời giải: am bn d 2am d a) d ¦CLN(am bn ,am bn ) . m n n a b d 2b d am d Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ n b d Giả sử d 1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p
5. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN am  p a p p ¦C(a,b);ma : (a,b) 1 1 p p 1 vô lý n b  p b p Vậy d 1 d 1 đpcm. Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n 1 và 3n 1 với n N . Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,2n 3 d N* 2n 1d 3 2n 1 d 6n 3d Khi đó ta có : 3n 2d 2 3n 2 d 6n 4d 6n 4 6n 3 d 1d d ¦ 1 1; 1 Do đó ¦C 2n 1,3n 1 là ước của d, hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp Vậy ¦C 2n 1,3n 1 ¦ 1 1;1 . Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n 24 và 3n 4 . Lời giải: Gọi ¦CLN 9n 24,3n 4 d d N* 9n 24d 9n 24d Khi đó ta có: 3n 4d 9n 12d 9n 24 9n 12 d 12d d ¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12
6. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Do 3n 4 d, mà 3n 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;13 (loại) Do đó d 1;2;4 - Để d 2 thì n phải chẵn - Để d 4 thì n phải chia hết cho 4 - Để d 1 thì n là số lẻ Vậy n 4k 2 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 2 n 4k k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 4 n 2k 1 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 1. Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n 5 và 14n 3 Lời giải: a) Gọi ¦CLN 21n 5,14n 3 d N* 14n 3d 3 14n 3 d 42n 9d Khi đó ta có: 21n 4d 2 21n 4 d 42n 8d 42n 9 42n 8 d 1d d 1 Vậy ¦CLN 21n,14n 3 1 Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n 2 và 30n 3 Lời giải: Gọi ¦CLN 18n 2,30n 3 d N* 18n 2d 5 18n 2 d 90n 10d Khi đó ta có: 30n 3d 3 30n 3 d 90n 9d
7. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 90n 10 90n 9 d 1d d 1 Vậy ¦CLN 18n 2,30n 3 1 Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n 7 và 18n 5 Lời giải: Gọi ¦CLN 24n 7,18n 5 d N* 24n 7d 3 24n 7 d 72n 21d Khi đó ta có: 18n 5d 4 18n 5 d 72n 20d 72n 21 72n 20 d 1d d 1 Vậy ¦CLN 24n 7,18n 5 1. Bài 11: Biết ¦CLN a,b 95 . Tìm ¦CLN a b,a b . Lời giải: Gọi a b,a b d d N * a bd 2bd d ¦ 2 hoặc d ¦ b a bd a bd và 2ad hoặc d ¦ 2 hoặc d ¦ a a bd mà a,b 95, nên d 95 hoặc d 2 Vậy a b,a b 2 hoặc d 95. Bài 12: Cho m, n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các ước số chung của 11m 5n và 9m 4n . Chứng minh rằng A B Lời giải:
8. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Gọi d ¦CLN 11m 5n,9m 4n d N* 11m 5nd 9 11m 5n d 99m 45nd Khi đó ta có: 9m 4nd 11 9m 4n d 99m 44nd 99m 45n 99m 44n d nd (1) 11m 5nd 4 11m 5n d 44m 20nd Tương tự ta có: 9m 4nd 5 9m 4n d 45m 20nd 45m 20n 44m 20n md (2) Từ (1) và (2) ta có : d ¦C(m,n) d ¦(A) và B ¦ d ¦ A . Vậy A B Bài 13: Tìm ƯC của 2n 1 và 3n 1 với n N Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,3n 1 d N* Khi đó ta có : 2n 1d 3 2n 1 d 6n 3d 3n 2d 2 3n 2 d 6n 4d 6n 4 6n 3 d 1d d ¦ 1 1; 1 Do đó ¦C 2n 1,3n 1 là ước của d , hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp Vậy ¦C 2n 1,3n 1 ¦ 1 (1, 1) Bài 14: Cho hai số 3n 1 và 5n 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦CLN 3n 1,5n 4
9. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Lời giải: Gọi ¦CLN 3n 1,5n 4 d Khi đó 3n 1d 5 3n 1 d 5n 4d 3 5n 4 d 3 5n 4 5 3n 1 d 7d d 1;7 Mà d 1 nên d 7 Bài 15: Tìm ¦CLN 2n 1,9n 4 với n N Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,9n 4 , d N* Khi đó ta có : 2n 1d 9 2n 1 d 18n 9d 9n 4d 2 9n 4 d 18n 8d 18n 8 18n 9 d 17d d ¦ 17 1; 17 Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17 Vậy ¦CLN 2n 1, 9n 4 1 hoặc 17 Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau I. Phương pháp giải Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦CLN a,b 1
10. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Phương pháp giải: Giả sử d ¦CLN a,b Cách 1: Chỉ ra d 1 Cách 2: +) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng) +) Gọi p là ước nguyên tố của d +) Chỉ ra rằng p 1 (vô lý) +) Kết luận d 1 II. Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng hai số n 1 và 3n 4 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d ¦CLN n 1,3n 4 d N* , nên ta có: n 1d 3n 3d 3n 4 3n 3 d 1d 3n 4d 3n 4d Vậy hai số n 1 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N . Bài 2: Chứng minh rằng 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d ¦CLN 2n 1,2n 3 d N* 2n 1d Khi đó ta có: 2n 3 2n 1 d 2d d ¦ 2 1;2 2n 3d Mà ta lại có 2n 1 d mà 2n 1 là số lẻ nên d 2 (loại), do đó d 1