Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 4: Các bài toán quy về tìm ƯCLN và BCNN

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 4: Các bài toán quy về tìm ƯCLN và BCNN

1. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TỐN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu cĩ số nguyên q sao cho a bq thì ta nĩi a chia hết chob . Ta cịn nĩi a là bội của b và b là ước của a . 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nĩi a chia chob được q và viết a :b q - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 . Số 0 khơng phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. 3. Liên hệ phép chia cĩ dư với phép chia hết. Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k b 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đĩ. Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ¦C a, b, c . 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đĩ. Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC a, b, c . 6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đĩ. - Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác khơng trong tập hợp các bội chung của các số đĩ. 7. Các tính chất - (a,1) 1;a,1 a - Nếu ab (a,b) b;a,b a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ¦ C a, b ¦ ¦ CLN a, b và BC a ,b B BCNN a, b a dm - Nếu (a,b) d với m,n 1 b dn
2. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT c am - Nếu a,b c với (m,n) 1 c bn - ab (a,b).a,b 8. Phương pháp giải - Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k a k b - Nếu ab và ac mà ¦ CLN(a,b) 1 a chia hết cho tích bc với a,b,c N - Nếu ab và ac mà a là số nhỏ nhất a BCNN a,b a,b,c N - Nếu ab và mb mà b lớn nhất b UCLN a,m a,b,m N PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1. Bài tốn đưa về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số I. Phương pháp giải. * Phương pháp giải bài tốn đưa về tìm ƯCLN - Nếu ax,bx , x lớn nhất thì x ƯCLN(a,b) - Tìm ƯCLN theo ba bước Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nĩ. Tích đĩ là ƯCLN phải tìm. - Kết luận bài tốn * Phương pháp giải bài tốn đưa về tìm BCNN - Nếu xa, xb , x nhỏ nhất thì x BCNN(a,b) - Tìm BCNN theo ba bước Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nĩ. Tích đĩ là BCNN phải tìm. - Kết luận bài tốn
3. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT II.Bài tốn. Bài 1.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 125 x, 100 x, 150 x Lời giải Vì 125 x, 100 x, 150 x và x lớn nhất nên x ƯCLN(125,100,150) Ta cĩ: 125 53 100 22.52 150 2.3.52 ƯCLN(125,100,150) 52 25 x 25 Vậy x 25 Bài 2.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 480 x, 600 x Lời giải Vì 480 x, 600 x và x lớn nhất nên x ƯCLN(480,600) Ta cĩ: 480 25.3.5 600 23.3.52 ƯCLN(480,600) 23.3.5 120 x 120 Vậy x 120 Bài 3. Lan cĩ một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 75 cm và 105 cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng? Lời giải Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là a (cm) Theo bài ra ta cĩ: 75 a, 105 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(75,105) Ta cĩ: 75 3.52 105 3.5.7 ƯCLN(75,105) 3.5 15 a 15 Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là 15cm .
4. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn vở. Cĩ thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở? Lời giải Gọi số phần thưởng được chia là a (phần thưởng), a N * Theo bài ra ta cĩ: 128 a, 48 a,192 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(128,48,192) Ta cĩ: 128 27 48 3.24 192 26.3 ƯCLN(128,48,192) 24 16 a 16 Vậy cĩ thể chia được nhiều nhất 16 phần thưởng Mỗi phần thưởng cĩ số vở là 128 :16 8 ( vở) Mỗi phần thưởng cĩ số bút chì là 48 :16 3 ( bút chì) Mỗi phần thưởng cĩ số nhãn vở là 192 :16 12 ( nhãn vở) Bài 5. Hùng cĩ một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 60 cm và 96 cm, Hùng muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng? Lời giải Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là a (cm) Theo bài ra ta cĩ: 60 a, 96 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(60,96) Ta cĩ: 60 22.3.5 96 25.3 ƯCLN(60,96) 22.3 12 a 12 Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là 12cm Bài 6. Một đội y tế cĩ 24 bác sĩ và 108y tá. Cĩ thể chia đội y tế đĩ nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ ? Lời giải Gọi số tổ được chia là a (tổ), a N *
5. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Theo bài ra ta cĩ: 24 a, 108 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(24,108) Ta cĩ: 24 23.3 108 22.33 ƯCLN(24,108) 22.3 12 a 12 Vậy cĩ thể chia được nhiều nhất 12 tổ. Bài 7. Khối lớp 6 cĩ 84 học sinh, khối lớp 7 cĩ 63 học sinh, khối lớp 8 cĩ 105 học sinh. Trong một buổi chào cờ học sinh cả ba khối xếp thành các hàng dọc như nhau. Hỏi cĩ thể xếp nhiều nhất thành bao nhiêu hàng dọc để mỗi khối đều khơng cĩ ai lẻ hàng ? Lời giải Gọi số hàng dọc được xếp là a ( hàng ), a N * Theo bài ra ta cĩ:84 a, 63 a, 105 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(84,63,105) Ta cĩ: 84 22.3.7 63 32.7 105 3.7.5 ƯCLN(84,63,105) 3.7 21 a 21 Vậy cĩ thể xếp được nhiều nhất 21 hàng dọc. Bài 8.Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15, a 20 Lời giải Vì a 15, a 20 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20) Ta cĩ: 15 3.5 20 22.5 BCNN(15,20) 22.3.5 60 a 60 Vậy a 60 Bài 9. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15 và a chia hết cho18 . Lời giải Vì a 15, a 18 và a nhỏ nhất khác 0nên a BCNN(15, 20)
6. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Ta cĩ: 15 3.5 18 32.2 BCNN(15,20) 2.32.5 90 a 90 Vậy a 90 Bài 10. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0biết rằng a chia hết cho15,18 và 25 Lời giải Vì a 15, a 18,a 25 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20,25) Ta cĩ: 15 3.5 18 32.2 25 52 BCNN(15,20,25) 22.3.52 300 a 300 Vậy a 300 Bài 11. Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ 8ngày đến thư viện một lần, Hải 10 ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào 1ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện? Lời giải Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng đến thư viện là a ( ngày ), a N * Vì a 8, a 10 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(8, 10) Ta cĩ: 8 23 10 2.5 BCNN(8,10) 23.5 40 a 40 Vậy sau 40 ngày hai bạn lại cùng đến thư viện. Bài 12. Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ 10 ngày lại trực nhật cịn Bách 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lời giải
7. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là a ( ngày ), a N * Vì a 10, a 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(10, 12) Ta cĩ: 10 2.5 12 22.3 BCNN(10,12) 22.3.5 60 a 60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật. Bài 13. Hai bạn Minh và Nhâm cùng trực nhật, Minh cứ 12 ngày lại trực nhật cịn Nhâm 18 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lời giải Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là a ( ngày ), a N * Vì a 12, a 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(12, 18) Ta cĩ: 12 22.3 18 2.32 BCNN(12,18) 22.32 36 a 36 Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật. Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ 15 ngày cập bến một lần, tàu II cứ 20 ngày cập bến một lần, tàu III cứ 12 ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ? Lời giải Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là a ( ngày ), a N * Vì a 15, a 20, a 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15,20,12) Ta cĩ: 15 3.5 20 22.5 12 22.3 BCNN(15,20,12) 22.3.5 60 a 60
8. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Vậy sau 60 ngày ba tàu lại cùng cập bến. Bài 15. : Ba ơ tơ chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ nhất quay về bến sau 1h5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đĩ là lúc mấy giờ? Lời giải. Đổi 1h5 phút = 65 phút Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ 2 trong ngày là a ( phút ), a N * Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ 2 là 65 10 75 ( phút) Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ 2 là 56 4 60 ( phút) Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ 2 là 48 2 50 ( phút) Vì a 75, a 60, a 50 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(75,60,50) Ta cĩ: 75 3.52 60 22.3.5 50 2.52 BCNN(75,60,50) 22.3.52 300 a 300 ( phút) 5 (giờ) Vậy sau 5 giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ 2 . Lúc đĩ là 11h trưa. Dạng 2. Bài tốn đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. I. Phương pháp giải. – Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước. Nếu xa, xb x BCNN(a,b) Nếu x chia cho a dư n , x chia cho b dư n x n BCNN(a,b) – Tìm BCNN của các số đĩ. – Tìm BC của các số là các bội của BCNN này . – Chọn trong số đĩ các bội thỏa mãn điều kiện đã cho. II. Bài tốn. Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x 21, x 28 và 150 x 200 Lời giải Vì x 12, x 21, x 28 nên x BC 12,21,28
9. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Ta cĩ: 12 22.3 21 3.7 28 22.7 BCNN(12,21,28) 22.3.7 84 BC(12,21,28) B 84 0;84;168;252;336;... Vì 150 x 200 nên x 168 Vậy x 168 Bài 2. Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x 20, x 25 và 0 x 450 Lời giải Vì x 12, x 20, x 25 nên x BC(12,20,25) Ta cĩ: 12 22.3 20 22.5 25 52 BCNN(12,20,25) 22.3.52 300 BC(12,20,25) B 300 0; 300; 600; 900;... Vì 0 x 450 nên x 300 Vậy x 300 Bài 3. Một số sách khi xếp thành từng bĩ 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tính số sách đĩ biết số sách trong khoảng 200 đến 500 . Lời giải Gọi số sách cần tìm là x ( cuốn) , 200 x 500 , x N * Vì số sách khi xếp thành từng bĩ 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên x 10, x 12, x 18 x BC(10,12,18) Ta cĩ: 10 2.5 12 22.3 18 2.32 BCNN(10,12,18) 22.32.5 180
10. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT BC(10,12,18) B 180 0; 180; 360; 540; ... Vì 200 x 500 nên x 360 Vậy số sách cần tìm là 360 cuốn. Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ. Lời giải Gọi số học sinh cần tìm là x ( học sinh) ,800 x 900, x N * Vì xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ nên x 35, x 40 x BC(35,40) Ta cĩ: 35 5.7 40 23.5 BCNN(35,40) 23.5.7 280 BC(35,40) B 280 0; 280; 560; 840;1120;... Vì 800 x 900 nên x 840 Vậy trường đĩ cĩ 840 học sinh. Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 40 người hoặc 45 người lên xe ơ tơ thì vừa đủ. Lời giải Gọi số học sinh của trường là: n n N * Theo bài ta cĩ: 700 n 800 Vì n45;n40 n BC(40,45) n B(BCNN(40,45)) Ta cĩ: 40 23.5 45 32.5 3 2 n B(360) BCNN(40,45) 2 .3 .5 360 n 700 700 n 800 Vậy số học sinh của trường đĩ là 700 Bài 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ ba chữ số chia cho 18;30;45 cĩ số dư lần lượt 8;20;35. Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N , 100 x 999