Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số

1. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. -Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2. -Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn. -Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương. -Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố. -Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. a p -Nếu tích ab p (p là số nguyên tố) b p -Đặc biệt nếu an  p a p (p là số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N * ) -Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N * ) -Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. 2.HỢP SỐ -Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương. -Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a 1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. -Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó. -Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh. -Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1. a,b nguyên tố với nhau (a,b) 1;(a,b N * ) - Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
2. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ - Hai sô nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) 1 - a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) (b,c) (c,a) 1 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT - Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng: p ax b; x N *,(a,b) 1 - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n 2). - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp kiểm tra một số là hợp số I.Phương pháp giải Cách 1. Sử dụng định nghĩa. -Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương. -Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a 1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. Cách 2. Với n N *,n 1 ta kiểm tra theo các bước sau - Tìm số nguyên tố k sao cho: k 2 n (k 1)2 - Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ? +) Nếu có chia hết thì n là số hợp số +) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 3.4.5 6.7 b)5.7.9.11 2.3.4.7 c) 16354 67541 Lời giải a) Ta có: 3.4.5 6.7 3 4.5 2.7 3 tổng trên là hợp số b) Ta có: 5.7.9.11 2.3.4.7 7 5.9.11 2.3.4 7 tổng trên là hợp số c) Ta có: 16354 67541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
3. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 2: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 5.6.7 8.9 b) 5.7.9.11.13 2.3.7 c)5.7.11 13.17.19 d) 4253 1422 Lời giải a) Ta có : 5.6.7 8.9 3 5.2.7 8.3 3 tổng trên là hợp số b) Ta có : 5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 7 tổng trên là hợp số c) Ta có: 5.7.11 là 1 số lẻ và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn 2 Là hợp số d) Ta có: 4253 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 17.18.19.31 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 19.23.29.31 c)987654 54321 Lời giải a) Ta có: 17.18.19.31 11.13.15.23 3 17.6.19.31 11.13.5.23 3 17.18.19.31 11.13.15.23 là hợp số b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là số chẵn nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là hợp số c) Ta có: 987654 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số Bài 4: Các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải Ta có abab 101.ab có nhiều hơn hai ước số. abcabc 1001.abc 1.11.13.abc có nhiều hơn hai ước số. ababab 101o1.ab 3.7.13.37.ab có nhiều hơn hai ước số. Vậy các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là hợp số. Bài 5: Nếu p là số nguyên tố thì a. p2 p 2 là số nguyên tố hay hợp số b. p2 200 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải:
4. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a) Ta có: p2 p 2 p( p 1) 2 Vì p; p 1 là hai số liên tiếp nên p p 1 là số chẵn Nên p2 p 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số . b) - Với p 2 p2 200 là số chẵn lớn hơn 2 p2 200 là hợp số - Với p 3 p2 200 2097 p2 200 là hợp số - Với p 3 p2 :3 dư 1; 2003dư 2 p2 200 3 p2 200 là hợp số Vậy p2 200 luôn là hợp số. Bài 6: Cho a,b,c,d ¥ * thỏa mãn ab cd . Chứng minh rằng: A an bn cn d n là hợp số với mọi n ¥ . Lời giải Ta có ab cd ab :bd cd :bd Hay a : d c :b a dt Đặt a : d c :b t t ¥ * c bt Khi đó: A an bn cn d n dt n bn bt n d n d nt n bn bnt n d n d n t n 1 bn t n 1 d n bn t n 1 Vì b,d,t ¥ * nên A là hợp số. Dạng 2: Một số bài toán về hợp số I.Phương pháp giải -Dựa vào các tính chất đặc trưng của hợp số để giải các bài toán về chứng minh hợp số. II.Bài toán Bài 7: a) Cho p là số nguyên tố. Hỏi p5 1 là số nguyên tố hay hợp số.
5. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ b) Cho p và p 4 là các số nguyên tố (p 3) . Chứng minh p 8 là hợp số. Lời giải: a. Nếu p 2 p5 1 25 1 31 là số nguyên tố - Nếu p 2 Vì p là số nguyên tố nên p là số lẻ p5 là số lẻ p5 1 là số chẵn lớn hơn 2 p5 1 là hợp số Vậy p5 1 là hợp số. b. p, p 4, p 8 là dãy số cách đều 4 đơn vị có 1 số chia hết cho 3 Vì p 3 p 4 3, p 8 3 và p, p 4là số nguyên tố nên p, p 4 không chia hết cho 3 p 83 và p 8 3 p 8là hợp số. Bài 8: Cho p và p 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 100 là số nguyên tố hay là hợp số? Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n 1;3n 2,(n N * ) * TH1: p 3n 1,(n N ) thì p 8 3n 9 3(n 3)3 Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Vô lí vì p 8 là số nguyên tố ) TH2: p 3n 2(n N * ) thì p 8 3n 10 Khi đó p 100 3n 2 100 6n 102 3(2n 34)3 Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số. Bài 9: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố (p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số. Lời giải: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng 3k 1;3k 2(k ¥ * ) Nếu p 3k 1 8p 1 24k 9 3 8k 3 3 8p 1 là hợp số ( Vô lí vì 8p 1 là số nguyên tố) Vậy p 3k 2 khi đó 4 p 1 12k 9 3(4k 3)3 và 12k 9 3 nên là hợp số. Vậy nếu p và 8p 1 là các số nguyên tố (p 3) thì 4 p 1 là hợp số. Bài 10 : Cho p và 2 p 1 là các số nguyên tố (p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số. Lời giải:
6. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng p 3k 1, p 3k 2 k ¥ * +) Nếu p 3k 1 thì 2 p 1 6k 33 và 6k 3 3nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 2 p 1 là các số nguyên tố) Vậy p 3k 2 Khi đó 4 p 1 12k 93và12k 9 3 nên là hợp số. Vậy nếu p và 2 p 1 là các số nguyên tố (p 3) thì 4 p 1 là hợp số.(đpcm) Bài 11: a) Cho p và p 2 là số nguyên tố (p 3) . Chứng minh p 1 là hợp số và p 16 b) Cho p và p 4 là các số nguyên tố . Chứng minh p 2021 là hợp số. Lời giải: a) Với p 3 , ta có p, p 1, p 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3 1 Mà p; p 2 là các số nguyên tố nên p 13và p 3 p 1 là hợp số Lại có số nguyên tố p 3 Nên p 1 là số chẵn p 12 2 Từ (1)(2) p 16 b) Ta có: p 2012 p 2 2010 Xét dãy p, p 2, p 4 Với p 2 p 4 62 p 4 là hợp số (loại) Với p 3 p 2012 20155 p 2012 là hợp số Với p 3 p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng p 3k 1, p 3k 2 k ¥ * +) Nếu p 3k 1 thì p 2 3k 33và 3k 3 3 p 2012 p 2 2010nên là hợp số . Vậy p 3k 2 Khi đó p 4 3k 63 và3k 6 3nên là hợp số( mâu thuẫn với giả thiết p 4 là số nguyên tố). Bài 12: Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng p 3k 1, p 3k 2 k ¥ *
7. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ +) Nếu p 3k 2 thì 10 p 1 10 3k 2 1 30k 213và 30k 21 3 nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 10 p 1 là số nguyên tố) Vậy p 3k 1 Khi đó 5p 1 15k 63 và15k 6 3 nên là hợp số. Vậy nếu p và 10 p 1 là các số nguyên tố (p 3) thì 5p 1 là hợp số.(đpcm) 2 2 Bài 13: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố (p 3) .Chứng minh rằng 8p 1là hợp số. Lời giải: Vì p,8p2 1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 Khi đó ta có : 8p2 1;8p2 ;8p2 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 Mà 8p2 1 3, p  3 8p2  3 . Vậy 8p2 13 hay là hợp số Bài 14: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố (p 3) . Tìm số nguyên tố p để 8p 1 là hợp số. Lời giải: Với p 3 p, 8p 1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 Khi đó ta có : 8p 1; 8p; 8p 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 Mà 8p 1 3, p  3 8p  3 .Vậy 8p 13 hay là hợp số Bài 15: Chứng minh rằng dãy các số sau là hợp số : 121;11211;1112111;1 1...1211.....1(n 2) n n Lời giải: Ta có: 121 110 11 11.10 11 11(10 1) 11211 1110 111 111(102 1) 1112111 1111000 1111 1111(103 1) n 111...12111...1 111...1000...0 1 1...1 111....1(1 0....0 1) 1 1...1(10 1) là hợp số n n n 1 n n 1 n 1 n n 1 Bài 16: Chứng minh rằng 1 1...122.....2(n 2) là hợp số. n n Lời giải: Ta có: 1 1...122.....2 1 1...100.....0 22.....2 n n n n n 1 1...122.....2 1 1...1.100.....0 2.11.....1 n n n n n
8. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 1 1...122.....2 1 1...1. 100.....0 2 là hợp số n n n n Bài 17: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là hợp số. Tìm số dư đó Lời giải: Gọi p là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó: p 42.k r 2.3.7k r(0 r 42) Vì r là hợp số 2 r 42 Vì p là số nguyên tố r không chia hết cho 2,3,7 Mà r là hợp số nên r 25là giá trị cần tìm Vậy r 25 Bài 18: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư là r . Tìm số dư, biết rằng r có thể là hợp số hay là số nguyên tố không? Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố: p 60k r(k N;0 r 60);60 22.3.5 p 22.3.5.k r r  2,3,5 r 1 hoặc r là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5 r 1 r 1 hoặc r là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49 r 49 Bài 19: Cho p và p 2 là các số nguyên tố ( p 3 ).Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia hết cho 12. Lời giải: Đặt A p p 2 2 p 2 2 p 1 Và p 2 p 1 3 Xét 3 số liên tiếp p 1, p, p 1 phải có 1 số chia hết cho 3 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3, Mặt khác p 1 3 vì nếu chia hết cho 3 thì p 2 sẽ chia hết cho 3, như vậy p 13 2 p 1 3 Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ p 1 là số chẵn 2 Vậy 2 p 1 12 Bài 20: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng ( p 1)( p 1) chia hết cho 24.
9. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3 Với p không chia hết cho 2 p 1 , p 1 là hai số chẵn liên tiếp p 1 p 1 8 Mặt khác p không chia hết cho 3 nên p 3k 1, p 3k 2 - Nếu p 3k 1 p 1 3 p 1 p 1 24 - Nếu p 3k 2 p 1 3 p 1 p 1 24 Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số không? Lời giải Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2 Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số . Bài 17: Chứng minh rẳng với mọi số nguyên a 2 thì A a1966 a2006 1là hợp số. Lời giải Ta có A a1966 a2006 1 a a3.655 1 a2 a3.668 1 a2 a 1 655 668 Mà a3.655 1 a3 1 a2 a 1; a3.668 1 a3 1 a2 a 1 Do đó Aa2 a 1 1 Vậy với mọi số nguyên a 2 thì A a1966 a2006 1là hợp số. Bài 18: Cho a 2.3.4.5....1987 . Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không? a 2; a 3; a 4;.....;a 1987 Lời giải Do a là tích các số từ 2 đến 1987 có ngĩa là tích của a có 1996 số. a 2 2.3.4.5....1987 2 2 3.4.5....1987 2 và a 2 2 nên a 2 là hợp số. a 3 2.3.4.5....1987 3 3 2.4.5....1987 3 và a 3 3nên a 3là hợp số. Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại. Vậy 1986 số tự nhiên liên tiếp a 2; a 3; a 4;.....;a 1987 đều là hợp số. Bài 19: Cho F x ax3 bx2 cx d a ¢ , biết F 5 F 3 2010 . Chứng minh rằng: F 7 F 1 là hợp số.
10. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải Ta có 2010 F 5 F 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c 16b 2c 2010 98a F 7 F 1 73 13 a 72 12 b 7 1 c 342a 48b 6c 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 48a 6030 3. 16a 2010 3 Vì a nguyên dương nên 16a 2010 1. Vậy F 7 F 1 là hợp số. Bài 20: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì 7p + 1 là bội số của 6. Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3 Khi đó 7 p 1 là 1 số chẵn nên chia hết cho 2 Mặt khác vì p không chia hết cho 3 nên p có dạng p 3k 1, p 3k 2, k ¥ * Với p 3k 1 giả sử là số nguyên tố, 14 p 1 45k 153 nên p 3k 1 l Với p 3k 2 14 p 1 42k 29 giả sử là số nguyên tố, khi đó: 7 p 1 21k 153 Như vậy 7 p 16 Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không thể là các số chính phương Lời giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1) - Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt p 1 m2 m N Vì p chẵn nên p 1 lẻ m2 lẻ => m lẻ Đặt m 2k 1 k N , ta có: m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 Mâu thuẫn với (1) => p + 1 không thể là số chính phương - Giả sử p 2.3.5.... là 3 p 1 có dạng 3k+2 p 1 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n n 1 số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : 10p 1 cũng là số nguyên tố. CMR : 5p 16