Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 2: Dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh một số không phải là số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 2: Dùng các tính chất chia hết và số dư để chứng minh một số không phải là số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 . 2. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 3. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 4. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. ➢ Tổng quát: Số chính phương chia hết cho p2n 1 thì chia hết cho p2n 2 ( p là số nguyên tố, n ¥ ) * Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết: 2 Ta có: A p và p là số nguyên tố mà A p A không phải là số chính phương. * Để chứng minh N không phải một số chính phương ta có thể: • Chứng minh N có tận cùng 2;3;7;8 hoặc N tận cùng là 2k 1 chữ số 0 . • Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ. • Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 8 ,... Chẳng hạn N chia 3 dư 2 hoặc chia 4 dư 2 ; hoặc chia 5 dư 3 thì N không là số chính phương. • Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. PHẦN II. CÁC BÀI TẬP Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương DẠNG 1: A chia hết cho số nguyên tố p nhưng A không chia hết p2 Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không là số chính phương? Lời giải Số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó số có tỏng các chữ số là 2004 không thể là số chính phương. Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là 1983 không? Lời giải Tổng các chữ số của một số là 1983 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , nên không tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là 1983. Bài 3: Cho các số tự nhiên: 1,2,3,4,5,6 . Lập được tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số bao gồm tất cả các chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không?
2. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải Tổng các chữ số của các số là 21 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 . Bài 4: Cho một số tự nhiên gồm 21 chữ số 4 . Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không? Lời giải S(N) 21.4 843 nhưng không chia hết cho 9 . Bài 5: Chứng minh rằng số 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải Cách 1: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tân cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ). Do đó: số 1234567890 không là số chính phương. Cách 2: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tân cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ). Do đó: số 1234567890 không là số chính phương. Cách 3: Số 1234567890 tận cùng có lẻ chữ số 0. Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không? a) 1010 5 b) 10100 1050 1 Lời giải a, Ta có: 1010 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương. b, Ta có: 10100 1050 1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. Bài 7: Cho S 3 32 33 .... 32020 . Chứng minh S không phải là số chính phương. Lời giải Ta có: S 3 32 33 .... 32020 Với mọi số tự nhiên n 2 thì 3n 9 Suy ra: 32 33 .... 32020 9 Do đó: 3 32 33 .... 32020 chia 9 dư 3 Hay S  9 Mặt khác S3 Vậy S không là số chính phương. Bài 8: Chứng minh tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
3. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp lần lượt là a;a 1;a 2;a 3 a ¥ Khi đó ta xét: S a a 1 a 2 a 3 4a 6 4a2 Ta có:  S2 (1) 62  4a4  S  4 (2) 6 4  Từ (1) và (2) S không là số chính phương Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một số A . Chứng minh A không là số chính phương. Lời giải Ta có: A 1234...100101 Ta có tổng các chữ số của A là: 1 2 3 4 ... 100 101 1 101 .101:2 5151 Ta thấy: 51513 A3 5151 9 A 9 Do đó A không là số chính phương. Bài 10: Số A 11 112 113 có phải là số chính phương không? Lời giải: Ta có: A 11 112 113 Suy ra: A.11 11.11 112 .11 113 .11 112 113 114 A.11 A 112 113 114 11 112 113 A 112 112 113 113 114 11 0 0 114 11 114 11 A11  Ta thấy: 2 2  A không là số chính phương A 11 1 11 1111 
4. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 11: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H 12341112 . Số H có thể có 81 ước được không? Lời giải Giả sử số H có 81 ước. Vì số lượng các ước của H là 81 (là số lẻ) nên H là số chính phương 1 mặt khác, tổng của các chữ số của H là: 1 2 3  9 (1 0) (1 1) (1 2) 51.Vì 513; 51 9 ; nên H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó H không là số chính phương mâu thuẫn với 1 . Vậy H không thể có 81 ước. Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không? Lời giải Gọi A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 . - Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60 . A chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 25 (vì 60  25) A không là số chính phương. - Nếu A có chữ số tận cùng là 6 A có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc 66 A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 . A không là số chính phương. Vậy A không phải là số chính phương. DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Bài 1: Chứng minh rằng 20012001 không là số chính phương. Lời giải 2001 Ta có: 20012001 3.23.29 32001.232001.292001 chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ Do đó: 20012001 không là số chính phương Bài 2: Chứng minh rằng số A 2929 5858 8784 không là số chính phương. Lời giải 29 58 29 87 58 A 29 (1 2.29 3.29 29 29   29 Ta có A2929 nhưng A không chia hết cho 2930 mà 29 là số nguyên tố từ đó suy ra A không là số chính phương. DẠNG 3: A p.N và N  p ( p : nguyên tố) A không là số chính phương Bài 1: Chứng minh rằng A ababa không là số chính phương. Lời giải
5. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta có: n2 abab ab.101 abab 101.ab  ab101(Vô lý) 2  abab101 abab101  Do đó A ababa không là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng abcabc không là số chính phương. Lời giải Ta có: n2 abcabc abc.1001 abc.11.91 Vì abc !11 đồng thời abc !91 mà 11,91 là số nguyên tố. Do đó abcabc không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng ababab không là số chính phương. Lời giải Ta có: n2 ababab ab.10101 ab.3.7.13.37 Vì 3,7,13,37 là số nguyên tố nên ab10101 (Vô lý). Do đó ababab không là số chính phương. DẠNG 4: Chứng minh A chia 3 dư 2 , chia 4 dư 2 ; 3 ; chia 5 dư 2 , 3 ; chia 8 dư 2 ;3 ; 5 ; 6 Bài 1: a. Chứng minh rằng với n N thì 2n2 2n 3 không là số chính phương b. Chứng minh rằng với n N thì 3n 1002 không là số chính phương Lời giải 2n2 2n 3 2n(n 1) 3 chia 4 dư 3 nên không là số chính phương a.  4 b. - n 0 3n 1002 1003 không là số chính phương - n 1 3n 1002 10053, !9 không là số chính phương - n 2 3n 10023, ! 9 không là số chính phương Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là 2006 không phải là một số chính phương Lời giải Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Số trên có tổng các chữ số là 2006 nên chia 3 dư 2 , vậy không phải là số chính phương. Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được không? Tại sao?
6. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n . Ta có: 2018 3m 2, m ¥ nên số tự nhiên n chia 3 dư 2 , do đó số n có dạng 3k 2 với k là số tự nhiên. Mặt khác số chính phương không có dạng 3k 2 suy ra số tự nhiên n không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng A 20124n 20134n 20144n 20154n không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n . Lời giải Ta có: 20124n  0(mod 2) ; 20134n 1(mod 2) ; n ¥ * 20144n  0(mod 2) ; 20154n 1(mod 2) Do đó: A 2  0(mod 2) . Ta lại có: 2012 0(mod 4) 20124n  0(mod 4) 2014 2(mod 4) 20142  22  0(mod 4) (20142 )2n  (20142 )2n  0(mod 4) Do 20131(mod 4) 20134n 1(mod 4) Do 2015 1(mod 4) 20154n  ( 1)4n 1(mod 4) Do đó A 2(mod 4) nghĩa là A chia cho 4 dư 2 . Ta có A2; A! 22;2 là số nguyên tố. Vậy A không là số chính phương. Bài 5: Cho N 1.3.5.7...2015. Chứng minh rằng N 1; N 3 không là số chính phương. Lời giải +) Ta có: N3 Suy ra: N 1 chia cho 3 dư 2 Do đó: N 1 không là số chính phương. +) Ta có: N3 và N9 Suy ra: N 33 nhưng N 3 9 Do đó: N 3 không là số chính phương. Bài 6: Gọi N 2.3.5... pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên n 1 . Chứng minh rằng các số N 1; N ; N 1 không là số chính phương. Lời giải +) Ta thấy: N2 nhưng N  4 N không là số chính phương.
7. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG +) Giả sử N 1 a2 hay N a2 1 a 1 a 1 Ta có: N 1 lẻ suy ra a lẻ nên N a 1 a 1 4 (mâu thuẫn) Do đó điều giả sử là sai. Vậy N 1 không là số chính phương. +) Ta có: N3 N 1 2 mod3 Vậy N 1 không là số chính phương. Bài 7: Giả sử N 1.3.5.7...2007.2011. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp 2N 1; 2N ; 2N 1 không có số nào là số chính phương. Lời giải +) Ta có: 2N 1 2.1.3.5.7...2011 1 Ta thấy: 2N3 2N 1 3k 2 k ¥ Do đó: 2N 1 không là số chính phương. +) Ta có: 2N 2.1.3.5.7...2011 2N chẵn Do đó: N lẻ N  2 và 2N2 nhưng 2N  4 Ta thấy 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 Vậy 2N không là số chính phương +) Ta có: 2N 1 2.1.3.5.7...2011 1 Ta thấy 2N 1 lẻ nên 2N 1 4 2N  4 nên 2N 1 không chia cho 4 dư 1 Do đó: 2N 1 không là số chính phương. Bài 8: Chứng minh số A 235 2312 232003 không là số chính phương. Lời giải Ta có: 23 chia 3 dư 2 nên 235 chia 3 dư 2 2312 chia 3 dư 1 232003 chia 3 dư 2 Suy ra: A 235 2312 232003 chia 3 dư 2 Vậy A không là số chính phương.
8. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 9: Chứng minh C 44 4444 444444 44444444 15 không là số chính phương. Lời giải Ta có: 4 chia hết cho 4 nên 44 chia hết cho 4 44 chia hết cho 4 nên 4444 chia hết cho 4 444 chia hết cho 4 nên 444444 chia hết cho 4 4444 chia hết cho 4 nên 44444444 chia hết cho 4 Suy ra: 44 4444 444444 44444444 chia hết cho 4 Mà: 15 chia 4 dư 3 Do đó: C 44 4444 444444 44444444 15 chia 4 dư 3 Vậy C không là số chính phương. Bài 10: Chứng minh D 20044 20043 20042 23 không là số chính phương. Lời giải Ta thấy: 20043 20044 3 Tương tự 20043 3, 20042 3 Mà 23 chia 3 dư 2 nên D 3k 2 k ¥ Mà ta biết số chính phương không có dạng 3k 2 Do đó D không là số chính phương. Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương. Lời giải Gọi a và b là số lẻ. Giả sử: a 2m 1,b 2n 1 với m,n ¥ 2 2 Ta có: a2 b2 2m 1 2n 1 4 m2 m n2 n 2 4k 2 với k ¥ Không có số chính phương nào có dạng 4k 2 vì vậy a2 b2 không phải là một số chính phương. Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. Lời giải Ta có: S 1 2 3 4 ... 2005 2005 1 .2005:2
9. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1003.2005 1.3 3 mod 4 S có dạng 4k 3 k ¥ Do đó S không là số chính phương. Bài 13: Cho A là tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Lời giải Xét tổng các bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp: 2 2 a 1 a2 a 1 3a2 2 2 mod3 a ¥ Chia A thành 37 nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp A37.21.2 2 mod3 Do đó A không là số chính phương. Bài 14: Cho A là tổng các bình phương của 108 số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng A không là số chính phương. Lời giải Xét tổng các bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp: 2 2 2 a2 a 1 a 2 a 3 4a2 12a 14 2 mod 4 ;a ¥ Chia A thành 27 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số tự nhiên liên tiếp. Suy ra: A 27.254 2 mod 4 Do đó A không là số chính phương. Bài 15: Chứng minh 3n 63 không phải là số chính phương với n ¥ ;n 0;4 Lời giải: Xét n lẻ. Đặt n 2k 1; k ¥ 2k 1 Ta có: 32k 1  1 mod 4  1 mod 4 633 mod 4 32k 1 63 2 mod 4 32k 1 63 không là số chính phương Xét n chẵn. Đặt n 2k ; k 0 Vì y3 nên ta đặt y 3t t ¥ Khi đó, ta có: 32k 63 9t2 32k 2 7 t 2
10. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 t 2 3k 1 7 t 3k 1 t 3k 1 7 t 3k 1 1 k 1 t 3 7 2.3k 1 6 3k 1 3 k 2 n 4 (trái với giả thiết đề bài) Vậy: 3n 63 không phải là số chính phương với n 0;4 Bài 16: Chứng minh n7 34n 5 không là số chính phương. Lời giải: Bổ đề: x2 i mod 7 ;i 0;1;2;4 Theo định lí Fermat, ta có: n7  n mod 7 n7 34n 535n 5 mod 7 n7 34n 56 mod 7 Giả sử n7 34n 5 x2 , x ¥ Suy ra: x2 5 mod 7 (vô lý) Do đó: n7 34n 5 không là số chính phương. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số k ¥ thì số A 1 92k 772k 19772k không là số chính phương. Lời giải: Bất kì số chính phương nào cũng có dạng 3t hoặc 3t 1, với t ¥ Ta có: A 1 92k 772k 19772k có dạng 3l 2;l ¥ Do đó A không là số chính phương. DẠNG 5: Chứng minh A có chữ số tận cùng là 2;3;7 hoặc 8 Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không? a) A 11 112 113 b) B 1010 8