Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 3: Phương pháp phản chứng giải bài toán số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6 - SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA Số chính phương là số tự nhiên viết được dưới dạng bình phương đúng của một số nguyên. Ví dụ: 4 22 ; 16 42 . 2. SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHẴN, SỐ CHÍNH PHƯƠNG LẺ Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ). 3. CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8. Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2; 3; 7 hoặc 8. b) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ. 2 4 2 2 Ví dụ: 3600 60 2 .3 .5 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì tồn tại thừa số nguyên tố chứa số mũ lẻ. c) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n 1 a2  0,1 mod3 , không có SCP nào có dạng 3n 2 n ¥ * . d) Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n 1 a2  0,1 mod 4 , không có SCP nào có dạng 4n 2 hoặc 4n 3 n ¥ . e) Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương. f) Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2 . g)
2. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ✓ Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn (121, 49, ). ✓ Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. ✓ Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn. ✓ Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ. ✓ Nếu SCP có chữ số tận cùng là 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng như : 100, 10000, h) Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b). i) Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, . 3. HỆ QUẢ - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 2n 1 2n 2 - Số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p ( p là số nguyên tố, n ¥ ). PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh một biểu thức không là số chính phương. I. Phương pháp giải: - Đề bài chứng minh một biểu thức A không là số chính phương. - Giả sử biểu thức A là số chính phương. - Sử dụng các tính chất để tìm ra điều vô lí hay mâu thuẫn. - Vậy biểu thức A không là số chính phương. II. Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng với n ¥ thì 3n 4 không là số chính phương. Lời giải: - Với n 0 3n 4 5 không là số chính phương. - Với n 1 3n 4 7 không là số chính phương. - Với n 2 . Giả sử là số chính phương. 3n 4 m2 m ¥ ,m 3 . m2 4 3n . m 2 m 2 3n .
3. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG m 2 3k . k,q ¥ ;k q n q m 2 3 m 2 m 2 3q 3k . 4 3q 3k * . 4 3 Ta thấy q k là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức * . 3 3 3 Vậy 3n 4 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n . Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n2 2 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử n2 2 là số chính phương. Khi đó đặt n2 2 m2 m ¥ * . m2 n2 2 1 . m n . m n 2 1 . Như vậy, trong hai số m n và m n phải có ít nhất một số chẵn 2 . Mặt khác m n m n 2m chẵn. Suy ra hai số m n và m n cùng tính chẵn lẻ 3 . Từ 2 và 3 suy ra m n và m n là hai số chẵn. m n 2 m n 2 m n . m n 4 m2 n2 4 mà 2 4 , so sánh điều này với 1 , ta thấy đây là điều vô lý. Vậy với mọi số nguyên dương n thì n2 2 không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n 1, n 2 , n 3 và n 4 n ¥ * Đặt S n n 1 n 2 n 3 n ¥ * Ta đi chứng minh S không là số chính phương.
4. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giả sử S m2 0 m ¥ * 1 . n n 1 n 2 n 3 m2 . n2 3n n2 3n 2 m2 . Đặt n2 3n a a N * . a a 2 m2 . a2 2a m2 . a2 2a 1 m2 1. 2 a 1 m2 1. a 1 m a 1 m 1 a 1 m 1 a 1 m 1 m 0 2 . Ta thấy 2 mâu thuẫn với 1 Vậy S không là số chính phương hay tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng với tổng của abc bca cab không là số chính phương. Lời giải: Đặt S abc bca cab 111 a b c 3.37 a b c a,b,c ¥ *;a,b,c 9 . Giả sử S là số chính phương . S37 . S372 . a b c 37 . Mà a b c 37 . Đây là điều vô lý. Vậy S không là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng với n lẻ và n ¢ thì 7n 24 không là số chính phương. Lời giải: Đặt 7n 24 a2 a ¥ * .
5. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Khi n lẻ: Đặt n 2k 1. k 7n 24 72k 1 24 72k.71 24 72 .7 24 49k.7 24 a2 . Có 49 chia 4 dư 1 49k chia 4 dư 1; 7.49k chia 4 dư 3 a2 chia 4 dư 3 (vô lý). Vậy với n lẻ và n ¢ thì 7n 24 không là số chính phương. Bài 6: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 4ac không là số chính phương. Lời giải: Giả sử b2 4ac là số chính phương m2 m ¥ . Xét 2 2 4a.abc 4a 100a 10b c 20a b b2 4ac 20a b m2 20a b m 20a b m . Tồn tại một trong hai thừa số 20a b m , 20a b m chia hết cho số nguyên tố. Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn abc. Thật vậy, do m b (vì m2 b2 4ac 0 ). Nên 20a b m 20a b m 100a 10b c abc . Vậy nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 4ac không là số chính phương. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì 2n 1 không là số chính phương. Lời giải: Với n 2 2n 1 3 không là số chính phương. Với n 2 : Giả sử 2n 1 là số chính phương. 2 Mà 2n 1 là số lẻ nên 2n 1 2k 1 2n 1 4k 2 4k 1. 2n 4k 2 4k 2 * . Vì n 2 nên 2 n 4 1 . Mà 4k 2 4k 4k k 1 4 . Nên 4k 2 4k 2 4 2 . So sánh 1 và 2 với * , ta thấy mâu thuẫn với nhau. Vậy với mọi số tự nhiên n 2 thì 2n 1 không là số chính phương.
6. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì A n4 2n3 2n2 2n 1 không là số chính phương. Lời giải: Với n 1: Giả sử A là số chính phương. A k 2 n4 2n3 2n2 2n 1 k 2 . n2 (n2 2n 1) (n2 2n 1) k 2 . n2 (n 1)2 (n 1)2 k 2 (n2 1)(n 1)2 k 2 . (n2 1) là số chính phương với mọi n 1 (vô lí). Vậy với mọi số tự nhiên n 1 thì A n4 2n3 2n2 2n 1 không là số chính phương. Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì B n3 n 2 không là số chính phương. Lời giải: Với n = 0 thì B n3 n 2 2 không là số chính phương. Giả sử với mọi số tự nhiên n 1, B là số chính phương. B k 2 n3 n 2 k 2 k ¥ * . n(n2 1) 2 k 2 . n(n 1)(n 1) 2 k 2 * Mà n(n 1)(n 1)3 n(n 1)(n 1) 2 k 2 chia 3 dư 2 Nên * mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra. Vậy với mọi số tự nhiên thì B n3 n 2 không là số chính phương. Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì C 2n2 2n 3 không là số chính phương. Lời giải: Nếu n 0 thì C 2n2 2n 3 3 không là số chính phương. Giả sử với mọi số tự nhiên n 1, C là số chính phương. C k 2 2n2 2n 3 k 2 . 2n(n 1) 3 k 2 (*) .
7. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mà n(n 1)2 nên 2n(n 1)4 . Nên * mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra. Vậy với mọi số tự nhiên n thì C 2n2 2n 3 không là số chính phương. Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì D n6 n4 2n3 2n2 không là số chính phương. Lời giải: Nếu n 0 thì D n6 n4 2n3 2n2 0 là số chính phương. Giả sử D là số chính phương. D k 2 n6 n4 2n3 2n2 k 2 . n2 n4 n2 2n 2 k 2 . 2 2 2 n n n 1 n 1 2 n 1 k . 2 3 2 2 n n 1 n n 2 k . 2 3 2 2 n n 1 n 1 n 1 k . 2 n2 n 1 n2 2n 2 k 2 . n2 2n 2 là số chính phương. Đây là điều không xảy ra hay vô lí. 2 2 Vì với n ¥ * thì n2 2n 2 n 1 1 n 1 và n2 2n 2 n2 2 n 1 n2 2 n 1 n2 2n 2 n2 n2 2n 2 không là số chính phương. Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì D n6 n4 2n3 2n2 không là số chính phương. Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì E n2 n 1 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử E là số chính phương. Khi đó: E k 2 n2 n 1 k 2 k ¥ * . Mà n2 n2 n 1 (n 1)2 n2 k 2 (n 1)2 .
8. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n k n 1 (vô lí). Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì E n2 n 1 không là số chính phương. Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ (n 1) thì F n3 1 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử F là số chính phương. Khi đó: F k 2 k ¥ ,k 1 n3 1 k 2 . n3 k 2 1 n3 (k 1)(k 1) . Vì n là số tự nhiên lẻ nên n3 cũng là số lẻ k 1, k 1 là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp và chúng nguyên tố cùng nhau nên k 1 a3 3 với a, b lẻ và a>b. k 1 b 2 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 6 (*). Vì a b 2 và a2 ab b2 3 nên (*) vô lí. Vậy với mọi số tự nhiên n 1thì E n2 n 1 không là số chính phương. Bài 14: Chứng minh rằng tổng S 2 với S 2 22 23 ... 220 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử S 2 là số chính phương. S 2 k 2 . Ta có: S 2 22 23 ... 220 . 2S 22 23 ... 220 221 . 2S S (22 23 ... 220 221) (2 22 23 ... 220 ) . S 221 2 . 21 2 21 S 2 2 hay k 2 (vô lí). Vậy tổng S 2 với S 2 22 23 ... 220 không là số chính phương. Bài 15: Chứng minh rằng tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải:
9. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là n 1,n,n 1,n 2 . Giả sử tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức là (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 là số chính phương. Đặt N (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 . Ta có: N (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 4n2 4n 6 4(n2 n) 6 (*) . Do đó, vì 4(n2 n) 6 là số chẵn và N là số chính phương nên N4 . Mà [4(n2 n) 6] 4 . Nên (*) không xảy ra hay vô lý. Vậy tổng các bình phương của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Bài 16: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là n 2,n 1,n,n 1,n 2 . Giả sử tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp trên là số chính phương, tức là (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 là số chính phương. Đặt M (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 . Ta có: M (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5n2 10 5(n2 2) . Do đó, vì M là số chính phương nên (n2 2)5 n2 2 có số tận cùng là 0 hoặc 5 n2 có số tận cùng là 3 hoặc 8 (vô lí). Vậy tổng các bình phương của năm số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Bài 17: Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2n2 . Chứng minh rằng n2 d không phải là số chính phương. Lời giải: Giả sử n2 d là một số chính phương. Đặt 2n2 kd , k ¥ * . Ta có: k 2 (n2 d) n2k 2 k 2d n2k 2 2n2k n2 (k 2 2k) là số chính phương. k 2 2k là số chính phương (*).
10. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mà k 2 k 2 2k (k 1)2 nên (*) vô lí. Vậy với n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 2n2 thì n2 d không phải là số chính phương. Bài 18: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương. Lời giải: Gọi a , b là các số tự nhiên lẻ. Giả sử tổng bình phương của hai số a và b là số chính phương, tức a2 b2 là số chính phương 1 . Vì a và b đều lẻ nên đặt a 2m 1 , b 2n 1. a2 b2 (2m 1)2 (2n 1)2 [4(m2 n2 m n) 2]2 2 Từ 1 và 2 a2 b2 4 3 Mà a2 b2 4(m2 n2 m n) 2 4 4 3 và 4 mâu thuẫn với nhau. Vậy tổng bình phương của hai số tự nhiên lẻ bất kì không phải là số chính phương. Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 2002 không phải là số chính phương. Lời giải: Giả sử n2 2002 là số chính phương. n2 2002 k 2 . n2 k 2 2002 (n k)(n k) 2002 (*) . 2002 (2.7.11.13)2 Mà nên (n k)(n k)2 n k, n k chia hết cho 2. 2002 (2.7.11.13) 4 Hơn nữa, (n k) (n k) 2k nên cả hai số n k, n k đều chia hết cho 2. (n k)(n k)4 . Nên (*) là điều mâu thuẫn hay không bao giờ xảy ra hay vô lý. Vậy với mọi số tự nhiên n thì n2 2002 không phải là một số chính phương. 4 Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n 1 n4 1 không phải là số chính phương.