Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 4: Dùng chữ số tận cùng để chứng minh một số không phải số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 4: Dùng chữ số tận cùng để chứng minh một số không phải số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 4: DÙNG CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT -Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 ; không thể có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2,3,7,8. -Số chính phương tận cùng bằng 1;4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Ví dụ : 121;49;... -Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 . -Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ. -Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 0 thì số chính phương đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng. Chẳng hạn: 100, 10000, PHẦN II. CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương: a) A 1111 111111 11111111 b) B 100100 1010 8 10 c) C 10 17 Lời giải 11 111 1111 a) A 11 111 1111 11 Ta có: 11 có chữ số tận cùng là 1; 111111 có chữ số tận cùng là 1; 11111111 có chữ số tận cùng là 1 ; Vì 1 1 1 3 Suy ra A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. b) B 100100 1010 8 100 Ta có: 100 có chữ số tận cùng là 0 ; 1010 có chữ số tận cùng là 0 ; Vì 0 0 8 8 B 100100 1010 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương.
2. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG c) C 1010 17 Ta có: 1010 có chữ số tận cùng là 0 ; 17 có chữ số tận cùng là 7 ; C 1010 17 có chữ số tận cùng là 0 7 7 nên không là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng số tự nhiên N 20153 20142 20132 20122 20112 không là số chính phương. Lời giải 3 2015 có chữ số tận cùng là 5; 20142 có chữ số tận cùng là 6; 20132 có chữ số tận cùng là 9 20122 có chữ số tận cùng là 4; 20112 có chữ số tận cùng là 1 Ta có tổng các chữ số tận cùng: 5 6 9 4 1 23 Vì N có chữ số tận cùng là 3 nên N không là số chính phương. Bài 3: Không mất tính tổng quát hãy cho biết các tổng, hiệu sau có phải là số chính phương không? A 7.13.25.63.105 113 B 11.19.27.63.99 122.92 C 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 Lời giải A 7.13.25.63.105 113 Ta có: 7.13.25.63.105 có chữ số tận cùng là 5 113 có chữ số tận cùng là 3 A có chữ số tận cùng là 8 A không là số chính phương. B 11.19.27.63.99 122.92 Ta có: 11.19.27.63.99 có chữ số tận cùng là 1 ; 122.92 có chữ số tận cùng là 4 ;
3. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG B có chữ số tận cùng là 7 B không là số chính phương. C 12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 12.13.14.(15.16 3.82) 12.13.14(240 246) 0 C không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Lời giải Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n 2,n 1,n,n 1,n 2 (n ¥ ,n 2). Gọi S là tổng bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp. Ta có: S (n 2)2 (n 1)2 n2 (n 1)2 (n 2)2 5n2 10 5(n2 2) . Vì n2 là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 2 không chia hết cho 5 5 n2 2 không chia hết cho 25 . Ta thấy S chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 . Vậy S không là số chính phương. Bài 5: Chứng minh số n 20042 20032 20022 20012 không là số chính phương. Lời giải Vì chữ số tận cùng của các số 20042 ;20032 ;20022 ;20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không là số chính phương. Bài 6: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải Cách 1: Ta có 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Cách 2: Ta có 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0 ), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90 ) nên 1234567890 không là số chính phương. Bài 7: Cho n ¥ và n –1 không chia hết cho 4 . Chứng minh rằng 7n 2 không thể là số chính phương. Lời giải
4. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Do n 1 không chia hết cho 4 nên n 4k r k ¥ ,r 0,2,3 . Ta có 74 1 2400 100 . Ta viết 7n 2 74k r 2 7r 74k 1 7r 2. Vậy hai chữ số tận cùng của 7n 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r 2 r 0,2,3 nên chỉ có thể là 03,51,45. Theo tính chất (1);(2);(3) thì rõ ràng 7n 2 không thể là số chính phương khi n 1 không chia hết cho 4. Bài 8: Tổng sau có là số chính phương hay không A 3 32 33  320 . Lời giải Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Mà A chia hết cho 3 , nhưng A chia 9 dư 3 . Do đó A không là số chính phương. Bài 9: Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phương: B 11 112 113 . Lời giải Ta có: 11 có chữ số tận cùng là 1; 112 có chữ số tận cùng 1; 113 có chữ số tận cùng 1; B có chữ số tận cùng là 1 1 1 3 B không là số chính phương. 2 3 33 Bài 10: Cho A 1 2 2 2 ... 2 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao? Lời giải Ta có A 1 2 22 23 24 25 ... 230 231 232 233 3 22. 1 2 22 23 ... 230. 1 2 22 23 3 2.30 ... 229.30 3 2 ... 229 .3.10 . Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3 . Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó A không là số chính phương.
5. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 11: Cho A 102012 102011 102010 102009 8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Lời giải Ta có các số : 102012 ;102011;102010 ;102009 đều có chữ số tận cùng là 0 . Nên A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy A không phải là số chính phương. (Vì số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9 ). Bài 12: Cho A 1 2 22 23 ... 22010 22011 . Hỏi A 8 có phải là số chính phương không? Lời giải A 8 1 2 22 23 ... 22010 22011 8 22012 1 8 22012 7 . Ta có: 22012 có chữ số tận cùng là 6 ; A có chữ số tận cùng là 6 7 13 . Vì số chính phương không có tận cùng bằng 3 , nên A 8 không phải là số chính phương. Bài 13: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương: 12 12 12 a) A 12 13 14 b) B 7100 161 c) C 100100 98 6 Lời giải a) A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. 25 b) B 7100 161 74 161 125 1 1 1  2 mod10 B có chữ số tận cùng là 2 nên không là số chính phương. c) C 100100 98 6 100 Ta có: 100 có chữ số tận cùng là 0 ; 98 có chữ số tận cùng là 1; C có chữ số tận cùng là 0 1 6 7 C có chữ số tận cùng là 7 nên không là số chính phương. Bài 14: Cho N 1.3.5.....2015 . Chứng minh rằng N 3 không là số chính phương.
6. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải Ta có N chia hết cho 5 và N lẻ nên chữ số tận cùng của N là 5. N 3 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương. Bài 15: Các tổng sau có phải là số chính phương không ? Vì sao ? a) B 1120 1121 1122 . 10 b) C 1010 117 . Lời giải a) Tổng B 1120 1121 1122 có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. 10 b) Tổng C 1010 117 có chữ số tận cùng là 7 nên không là số chính phương. Bài 16: Cho 4 chữ số 0,2,3,4 . Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trên. Lời giải Gọi A là số chính phương có bốn chữ số cần tìm. A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0 hoặc 4 . +) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 thì chữ số hàng chục là 0 , không thỏa mãn yêu cầu. +) Nếu chữ số tận cùng của A là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn nên chữ số hàng chục là 0 hoặc 2 . A có thể là: 3204,2304,3024 . Ta có: 56 3204 572 ;2304 482 ;542 3204 552 Vậy số cần tìm là 2304 . Bài 17: Ta ký hiệu n! là tích của n số nguyên dương đầu tiên. Cụ thể n! 1.2....n . Tìm số tự nhiên n sao cho: 1! 2! 3! ... n! là số chính phương. Lời giải S 1! 2! 3! ... n! * Với n 5 n! 1.2.3.4.5...n10 n! có chữ số tận cùng là 0. +) Với n 1 thì S 1! 1 12 +) Với n 2 thì S 1! 2! 3 (loại) +) Với n 3 thì S 1! 2! 3! 9 32 +) Với n 4 thì S 1! 2! 3! 4! 33 (loại)
7. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG +) Với n 5 thì S 1! 2! 3! 4! 5! ... n! Ta thấy 1! 2! 3! 4!=33 có chữ số tận cùng là 3; 5! ... n! có tận cùng là 0 S có tận cùng là 3 nên S không là số chính phương. Vậy n 1 hoặc n 3 thì 1! 2! 3! ... n! là số chính phương. Bài 18: Chứng minh rằng số tự nhiên N 1142 1132 1122 11111 2015 không là số chính phương. Lời giải 2 114 có chữ số tận cùng là 6 ; 1132 có chữ số tận cùng là 9; 1122 có chữ số tận cùng là 4 ; 11111 có chữ số tận cùng là 1 2015 có chữ số tận cùng là 5 ; Ta có 6 9 4 1 5 23 Vậy N có chữ số tận cùng là 3 N không là số chính phương. 4 Bài 19: Cho P 20142014 20192019 23 . Chứng minh rằng P không phải là số chính phương. Lời giải Chữ số tận cùng của 20142014 là 6 ; Chữ số tận cùng của 20192019 là 9 ; 4 Chữ số tận cùng của 23 là 2 ; 4 Chữ số tận cùng của P 20142014 20192019 23 là chữ số tận cùng của tổng 6 9 2 17 là 7 . Vậy P không phải là số chính phương. PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HỌC SINH GIỎI Bài 1: Cho S 4 22 23 24 ... 298 . Chứng tỏ rằng S không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 9 huyện Cẩm Giàng năm 2018 -2019). Hướng dẫn
8. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Gọi M 2 22 23 24 ... 298 S 2 M Ta có: M 2M M 22 23 24 ... 299 2 22 23 ... 298 299 2 24 S 299 24 .23 8.1624 Vì 1624 có chữ số tận cùng là 6 S có chữ số tận cùng là 8. Vậy S không là số chính phương. Cách 2: Gọi M 2 22 23 24 ... 298 S 2 M Ta có M 2M M 22 23 24 ... 299 2 22 23 ... 298 299 2 S 299 Ta thấy thừa số nguyên tố 2 có số mũ lẻ . Vậy S không là số chính phương. Bài 2: Cho biểu thức M 5 52 53 ... 580 . Chứng tỏ rằng M không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Quỳnh Giang năm 2015 -2016). Hướng dẫn Ta thấy M 5 52 53 ... 580 chia hết cho số nguyên tố 5 . Mặt khác 52 53 ... 580 chia hết cho 52 (Vì các số hạng đều chia hết cho 52 ) M không chia hết cho 52 (Vì tổng M có một số hạng 5 không chia hết cho 52 ) M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52 Vậy M không phải là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tổng sau: P 1 3 32 33 ... 361 362 không là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Nguyễn Thị Lợi năm 2009 -2010). Lời giải P 1 3 32 33 34 35 36 37 ... 356 357 358 359 360 361 362 40 34. 40 ... 356. 40 360 361 362.
9. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta thấy: 40 34. 40 ... 356. 40 có chữ số tận cùng là 0 . 30 Số 360 32 930 có chữ số tận cùng là 1. Số 361 3.360 có chữ số tận cùng là 3 . Số 362 9.360 có chữ số tận cùng là 9. Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 P không là số chính phương. Bài 4: Cho A 102012 102011 102010 102009 8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 6 trường THCS Nông Trang - TP Việt Trì năm 2014 - 2015). Lời giải Ta có các số : 102012 ;102011;102010 ;102009 đều có chữ số tận cùng là 0 . Nên A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy A không phải là số chính phương. 14 9 4 Bài 5: Cho P 1414 99 23 . Chứng minh rằng P không phải là số chính phương. (Trích Đề thi HSG lớp 6 huyện Lý Nhân năm 2018 -2019). Lời giải 14 k 14 Vì 1414 142  6k  6 mod10 , k ¥ nên chữ số tận cùng của 1414 là 6 . 9 Chữ số tận cùng của 99 là 9 . ( vì 99 lẻ ) 4 4 20 Chữ số tận cùng của 23 là 2 . 23 281  24 .2  620.2  6.2  2 mod10 14 9 4 Chữ số tận cùng của P 1414 99 23 là chữ số tận cùng của tổng 6 9 2 là 7 . Vậy P không phải là số chính phương.