Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 5: Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 5: Phương pháp kẹp trong bài toán số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. Cụ thể: Nếu có q2 k (q 1)2 (k ;q ¥ ) thì k không là số chính phương. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI: Dạng 1: Chứng minh một số, một biểu thức số không là số chính phương. I. Phương pháp giải: 1. Để chứng tỏ một số k (k ¥ ) không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước: Bước 1: Chứng tỏ k q2 (q ¥ ) Bước 2: Chứng tỏ k (q 1)2 (q ¥ ) Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra q2 k (q 1)2 (q ¥ ) k không là số chính phương 2. Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức số: (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 II. Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng số 10224 không là số chính phương. Lời giải: Nhận thấy: 1012 10201 10224 1012 1022 10404 10224 1022 Suy ra 1012 10224 1022 Vậy 10224 không là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng số 40725 không là số chính phương. Lời giải: Nhận thấy: 2012 40401 40725 2012
2. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2022 40804 40725 2022 Suy ra 2012 40725 2022 Vậy 40725 không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. Lời giải: Ta có 20032 4012009 4014025 20032 20042 4016016 4014025 20042 Suy ra 20032 4014025 20042 Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh số 4025025 không là số chính phương. Lời giải: Ta có 20062 4024036 4025025 20062 20072 4028049 4025025 20072 Suy ra 20062 4025025 20072 Chứng tỏ 4025025 không là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng: a) S 20162016 20161000 2016999 ... 20162 2016 không là số chính phương. b) A 20182018 20181000 2018999 ... 20182 2018 5 không là số chính phương Lời giải: a) Ta có S 20162016 20161000 2016999 ... 20162 2016 S 20162016 (20161008 )2 (1) Ta đi chứng minh S (20161008 1)2 20162016 2.20161008 1 Thật vậy : 1000 999 2 1000 1000 1000 1000 2016 2016 ... 2016 2016 2016 2016 ... 2016 ( 1000 số 2016 )
3. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 20161000 2016999 ... 20162 2016 1000.20161000 Mà 1000.20161000 20161001 2.20161008 1 S 20162016 2.20161008 1 (20161008 1)2 S (20161008 1)2 (2) Từ (1),(2) (20161008 )2 S (20161008 1)2 Suy ra Skhông là số chính phương (ĐPCM) b) Ta có : A 20182018 20181000 2018999 ... 20182 2018 5 2018 1009 2 A 2018 (2018 ) (1) Lại có: 20182018 20181000 ... 20182 (2018 5) 20182018 20181000 ... 20181000 (1000 số 20181000 ) A 20182018 1000.20181000 20182018 20181001 20182018 2.20181009 1 A (20181009 1)2 (2) Từ (1),(2) (20181009 )2 A (20181009 1)2 Suy ra A không là số chính phương (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh rằng: M 20212020 2021100 202199 ... 20212 20211 20210 không là số chính phương. Lời giải: Ta có : M 20212020 2021100 202199 ... 20212 20211 20210 2020 1010 2 M 2021 (2021 ) (1) Lại có: 100 99 2 1 0 100 100 100 2021 2021 ... 2021 (2021 2021 ) 2021 ... 2021 (100 số 2021 ) 2021100 202199 ... 20212 (20211 20210 ) 100.2021100 M 20212020 100.2021100 20212020 2021101 20212020 2.20211010 1 M (20211010 1)2 (2)
4. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ (1),(2) (20211010 )2 M (20211010 1)2 Suy ra M không là số chính phương (ĐPCM) Dạng 2: Chứng minh biểu thức A(n) không là số chính phương. I. Phương pháp giải: - Để chứng tỏ biểu thức A(n) n ¥ không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước: 2 Bước 1: Chứng tỏ A(n)>B(n) 2 Bước 2: Chứng tỏ A(n)<B(n)+1 2 2 Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra B(n) A(n)<B(n)+1 A(n) không là số chính phương. - Sử dụng các hằng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức: (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 a2 b2 (a b)(a b) a3 b3 (a b)(a ab b) a3 b3 (a b)(a ab b) II. Bài toán: Bài 1: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương. Lời giải: Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp khác 0 là n; n 1 n ¥ * Tích 2 số là n n 1 2 2 Ta có n n 1 n n n n ¥ * (1) Mặt khác n2 n n2 2n 1 (n 1)2 (2) Từ (1), (2) n2 n2 n (n 1)2 n2 n(n 1) (n 1)2 n ¥ * thì n n 1 là không là số chính phương.
5. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương (ĐPCM) Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là n;(n 1);(n 2);(n 3) n ¥ * Đặt S n(n 1)(n 2)(n 3) S n(n 3).(n 1)(n 2) 2 2 S (n 3n)(n 3n 2) Đặt (n2 3n) x x ¥ * S x(x 2) x2 2x 2 2 2 2 2 2 Nhận thấy x x 2x x 2x 1 x x 2x (x 1) Suy ra Skhông là số chính phương x ¥ * Suy ra Skhông là số chính phương n ¥ * Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Lời giải: n;(n 1);(n 2);(n 3) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n ¥ Đặt A n2 (n 1)2 (n 2)2 (n 3)2 A n2 (n2 2n 1) (n2 4n 4) (n2 6n 9) A 4n2 12n 14 A (4n2 12n 9) 5 2 2 A (2n) 2.2n.3 3 5 A (2n 3)2 5 A (2n 3)2 5 2 A (2n 3) (1)
6. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Mặt khác ta có: (2n 4)2 4n2 16n 16 (4n2 12n 9) 4n 7 (2n 3)2 4n 7 (2n 3)2 5 n ¥ A (2n 4)2 (2) Từ (1),(2) (2n 3)2 A (2n 4)2 A không là số chính phương. Bài 4: Chứng minh rằng n ¥ các số sau không là số chính phương a) n2 7n 10 b) 4n2 5n 2 Lời giải: a) Nhận thấy : (n 3)2 n2 6n 9 n ¥ Mà n2 7n 10 n2 6n 9 nên n2 7n 10 (n 3)2 (1) Cũng có (n 4)2 n2 8n 16 n ¥ Mà n2 7n 10 n2 8n 16 nên n2 7n 10 (n 4)2 n ¥ (2) Từ (1) , (2) n ¥ thì n2 7n 10 không là số chính phương b) Nhận thấy n ¥ ta có: (2n 1)2 4n2 4n 1 (2n 2)2 4n2 8n 4 4n2 4n 1 4n2 5n 2 4n2 8n 4 (2n 1)2 4n2 5n 2 (2n 2)2 n ¥ n ¥ thì 4n2 5n 2 không là số chính phương Bài 5 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì các số sau không phải số chính phương a) A n2 2n 3 b) B 9n2 8n 10
7. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: a) Ta có: (n 1)2 n2 2n 1 (n 2)2 n2 4n 4 Mà n2 2n 1 n2 2n 3 n2 4n 4 nên (n 1)2 n2 2n 3 (n 2)2 A n2 2n 3 không là số chính phương b) Ta có: (3n 1)2 9n2 6n 1 (3n 2)2 9n2 12n 4 Mà 9n2 6n 1 9n2 8n 10 9n2 12n 4 nên (3n 1)2 9n2 8n 10 (3n 2)2 B 9n2 8n 10 không là số chính phương Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 n4 2n3 2n2 trong đó n ¥ ;n 1không là số chính phương. Lời giải: Đặt B n6 n4 2n3 2n2 2 4 2 2 4 2 B n . n n 2n 2 n . (n n ) (2n 2) 2 2 2 2 2 B n . n (n 1) 2(n 1) n . n n 1 n 1 2 n 1 2 2 2 3 2 B n . n 1 n n 1 2 n . n 1 n n 2 2 3 2 2 2 B n n 1 . n 1 n 1 n n 1 . n 1 n n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 2 B n n 1 . n 1 n n 1 n 1 n n 1 . n 2n 2 2 2 Với n ¥ , n 1thì n2 2n 2 n2 2n 1 1 n 1 1 n 1 B n 1 2 (1) Mặt khác với n ¥ , n 1ta có n2 2n 2 n2 2n 2 n2 2 n 1 n2
8. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG B n2 (2) 2 Từ (1) , (2) suy ra n 1 B n2 B không phải là một số chính phương. Vậy số có dạng n6 n4 2n3 2n2 trong đó n ¥ ;n 1không là số chính phương (ĐPCM) Bài 6: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . CMR: n2 m không là số chính phương. Lời giải: Giả sử: n2 m là số chính phương. Đặt: n2 m k 2 k ¥ (1) 2n2 Theo bài ra ta có: 2n2 mp p ¥ m p 2n2 2n2 Thay m vào (1) ta được: n2 k 2 p p n2 p2 2 pn2 p2k 2 n2 p2 2 p pk 2 2 Do n2 , pk là các số chính phương nên p2 2 p là số chính phương. 2 Mặt khác: p2 p2 2 p p 1 p2 2 p không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) Vậy n2 m không là số chính phương. Dạng 3: Tìm giá trị của n để biểu thức A(n) là một số chính phương. I. Phương pháp giải: Xét các trường hợp có thể xảy ra của n . Dùng tính chất “Nếu q2 k (q 1)2 (k ;q ¥ ) thì k không là số chính phương” đề loại các giá trị không phù hợp của n và từ đó chọn giá trị phù hợp của n . II. Bài toán: Bài 1: Tìm số tự nhiên n để n n 1 là số chính phương.
9. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lời giải: Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 n n 1 0 n n 1 là số chính phương +) n 1: Ta có n n 1 n2 n n2 n ¥ * (1) Mặt khác n2 n n2 2n 1 (n 1)2 (2) Từ (1), (2) n2 n2 n (n 1)2 n2 n(n 1) (n 1)2 n ¥ * thì n n 1 là không là số chính phương. Vậy n 0 thì n n 1 là số chính phương Bài 2: Tìm số tự nhiên n để S n(n 1)(n 2)(n 3) là số chính phương. Lời giải: Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 S n(n 1)(n 2)(n 3) 0 S là số chính phương +) n 1: Ta có S n(n 3).(n 1)(n 2) (n2 3n)(n2 3n 2) Đặt (n2 3n) x x 4 S x(x 2) x2 2x 2 2 2 2 2 2 Nhận thấy x x 2x x 2x 1 x x 2x (x 1) Suy ra S không là số chính phương x 4 Suy ra S không là số chính phương với n 1 Vậy n 0 thì S n(n 1)(n 2)(n 3) 0 là số chính phương. Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 3n là số chính phương Lời giải:
10. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 n2 3n 0 n2 3n là số chính phương +) n 1 n2 3n 4 n2 3n là số chính phương +) n 1: Ta có n2 3n n2 2n n n2 2n 1 (n 1)2 Cũng có n2 3n n2 2n n n2 4n 4 (n 2)2 (n 1)2 n2 3n (n 2)2 n2 3n không là số chính phương Vậy với n 0;1 thì n2 3n là số chính phương. Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n4 3n 6 là số chính phương Lời giải: Vì n là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau: +) n 0 n4 3n 6 6 n4 3n 6 không là số chính phương. +) n 1 n4 3n 6 4 n4 3n 6 là số chính phương. +) n 2 n4 3n 6 16 n4 3n 6 là số chính phương. +) n 2 : Ta có n4 3n 6 n4 (3n 6) n4 3(n 2) n4 (n2 )2 (1) Mặt khác ta có: (n2 1)2 n4 2n2 1 Xét hiệu: n4 3n 6 (n2 1)2 n4 3n 6 (n4 2n2 1) 2n2 3n 5 2n2 4n n 5 2n(n 2) n 5 0 n 2 4 2 2 4 2 2 n 3n 6 (n 1) 0 n 3n 6 (n 1) (2)