Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản

1. ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT a Số có dạng , trong đó a,b ¢ ,b 0 gọi là phân số. b n Số nguyên n được đồng nhất với phân số . 1 a a.m a : n Tính chất cơ bản của phân số: với m,n ¢ ,m,n 0 và n ƯC a,b . b b.m b : n a m a Nếu a,b 1 thì là phân số tối giản. Nếu là dạng tối giản của phân số thì tồn tại số b n b nguyên k sao cho a mk,b nk . PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số I.Phương pháp giải A n Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên n sao cho có giá trị nguyên. B n Cách làm: A n 1 d Ư d . b a,b,d ¢ C n B n a C n Nếu a 1 ta tìm được n và kết luận. Nếu a 1 ta tìm được n cần thử lại rồi kết luận. Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản hoặc rút gọn được” ta làm như sau: Gọi d là ước nguyên tố của tử và mẫu. Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ đó tìm d . Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số không chia hết cho các ước nguyên tố. Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số chia hết cho các ước nguyên tố. II.Bài toán
2. n 1 Bài 1: Cho A n 4 a) Tìm n nguyên để A là một phân số b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên. Lời giải: Điều kiện: n ¢ n ¢ n ¢ a) Để A là phân số thì n 4 0 n 4 b) Để phân số A có giá trị là một số nguyên thì n 1  n 4 n 4 5  n 4 n 4 5  n 4 Mà n 4  n 4 nên 5  n 4 n 4 Ư 5 . Ư 5 1; 5; Ta có bảng sau: n 4 1 1 5 5 n 3 5 1 9 A 4 6 0 2 Vậy n 9; 5; 3;1 . n 10 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A có giá trị là một số nguyên. 2n 8 Lời giải: Điều kiện: n ¥ Để phân số A có giá trị là một số nguyên thì n 10  2n 8 n 10  n 4 n 4 14  n 4 14  n 4 . n 4 Ư 14 . Ư 14 1; 2; 7; 14 . Mặt khác, n là số tự nhiên nên n 4 4 n 4 2; 1;1;2;7;14.
3. Ta có bảng sau: n 4 1 1 2 2 7 14 n 5 3 6 2 11 18 A 15 13 16 3 21 1 4 2 2 4 14 ( loại ) ( loại) ( loại) Vậy n 2;6;18 . Bình luận: - Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng: n 10  2n 8 n 10  2 n 4 n 10 2 . Kết hợp với n 4 2; 1;1;2;7;14 n 2; 3; 5; 6;11; 18 n 2;6;18 .    - Đối với bài toán trên với n 5;3;11 đều là số nguyên nhưng khi thay vào A thì không được giá trị nguyên vì: theo bài ra thì n 10  2n 8 n 10  n 4 nhưng không có điều ngược lại. 2n 3 Bài 3: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 4n 8 Phân tích: Để chứng minh một phân số là phân tối giản thì ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của tử và mẫu phải bằng 1. Lời giải: Điều kiện: n ¥ 2n 3d 4n 6d Giả sử ƯCLN 2n 3,4n 8 d 2d d 1;2 4n 8d 4n 8d Vì 2n 3 là số tự nhiên lẻ nên d 2. 2n 3 Vậy d 1 nên phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 4n 8 21n 3 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A rút gọn được. 6n 4 Lời giải:
4. Điều kiện: n ¥ Gọi d là ước nguyên tố của 21n 3 và 6n 4 . 21n 3 d 42n 6 d 22d d 2;11 . 6n 4 d 42n 28 d Nếu d 2 ta thấy 6n 4 2 n còn 21n 3 2 khi n lẻ. Nếu d 11 thì 21n 3 11 22n n 3 11 hay 22n n 3 n 3 11 n 3 11k n 11k 3 k ¥ . Với n 11k 3 thì 6n 4 6 11k 3 4 66k 22 11 6n 4 11. 21n 3 Vậy n lẻ hoặc n 11k 3 thì phân số A rút gọn được. 6n 4 a 3 b 12 c 6 Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: ; ; . b 5 c 21 d 11 Lời giải: Điều kiện: a,b,c,d ¥ ,b 0,c 0,d 0 Ta có: a 3 b 5 a 3m b 12 4 b 5m 4n * m, n, k ¥ . c 21 7 c 7n 6k c 6 d 11k d 11 4n5 n5 Suy ra mà 4,5 1; 6,7 1 n BC 5,6 mặt khác a, b, c, d nhỏ nhất nên 7n6 n6 n BCNN 5,6 n 5.6 30 m 24; k 35. a 72; b 120; c 210; d 385. n 3 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị nguyên. 2n 2 Lời giải: Điều kiện: n ¥ Cách 1:
5. n 3 Để phân số có giá trị nguyên thì 2n 2 n 3  2n 2 n 3  2 n 1 n 3  n 1 n 1 4  n 1 4 n 1 Suy ra n 1 là ước của 4 . Ư 4 1; 2; 4 mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 Ta có bảng sau: n 1 1 1 2 4 n 0 2 3 5 n 3 3 5 3 8 1 2n 2 2 2 2 8 Loại Loại n 3 Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên. 2n 2 Cách 2: n 3 Để phân số có giá trị nguyên thì 2n 2 n 3  2n 2 2 n 3 2n 2 2n 6  2n 2 2n 2 8  2n 2 8 2n 2 4 n 1 . Suy ra n 1 là ước của 4 Ư 4 1; 2; 4mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 Ta có bảng sau: n 1 1 1 2 4 n 0 2 3 5 n 3 3 5 3 8 1 2n 2 2 2 2 8 ( loại) ( loại) n 3 Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên. 2n 2
6. Cách 3: n 3 Để phân số có giá trị nguyên thì 2n 2 n 3 2 n 3 2 n 3 2 n 3  2n 2 n 3  2 n 1 n 3  n 1 n 1 4  n 1 4 n 1 n 3 2 n 3 2 n 1 4; 2; 1 n 5; 3; 2 ; 0 n 5 . n 1 1 n 0 n 3 Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên. 2n 2 Bài 7: Tìm số nguyên n sao cho: n 7 3n 2 a) là số nguyên. b) là số tự nhiên. 3n 1 4n 5 Lời giải: a) Điều kiện: n ¢ n 7 Để phân số có giá trị là một số nguyên thì 3n 1 n 7  3n 1 3 n 7  3n 1 3n 21  3n 1 3n 1 22  3n 1 . 22 3n 1 3n 1 Ư 22 . Ư 22 1; 2; 11; 22 . Ta có bảng sau: 3n 1 1 1 2 2 11 11 22 22 n 2 0 1 1 4 10 23 7 3 3 3 3 (loại vì (loại vì (loại vì (loại vì n ¢ ) n ¢ ) n ¢ ) n ¢ ) A 7 4 1 5 0 7
7. (loại) n 7 Vậy n 0;1;4; 7thì có giá trị nguyên. 3n 1 b) Điều kiện: n ¢ 3n 2 Để phân số là số tự nhiên thì 4n 5 3n 2  4n 5 4 3n 2  4n 5 12n 8  4n 5 hay 12n 15 23  4n 5 . 3 4n 5 23  4n 5 Mà 3 4n 5  4n 5 nên 23  4n 5 4n 5 Ư 23 . Ư 23 1; 23 . Ta có bảng sau: 4n 5 1 1 23 23 n 3 1 7 9 2 2 (loại vì n ¢ ) (loại vì n ¢ ) A 5 1 0 (loại) 3n 2 Vậy n 7 thì là số tự nhiên. 4n 5 8n 193 Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số A . 4n 3 a) Có giá trị là số tự nhiên. b) Là phân số tối giản. c) Phân số A rút gọn được với 150 n 170 . Lời giải: Điều kiện: n ¥ a) Để phân số A là số tự nhiên thì
8. 8n 193  4n 3 hay 8n 6 187  4n 3 2 4n 3 187  4n 3 Mà 2 4n 3  4n 3 187  4n 3 4n 3 Ư 187 Ư 23 11; 17; 187. 3 Mà n là số tự nhiên nên 4n 3 0 hay n suy ra n 11;17;187 4 Ta có bảng sau: 4n 3 11 17 187 n 2 7 46 2 (loại vì n ¥ ) A 19 3 8n 193 Vậy n 2;46 thì A là số tự nhiên. 4n 3 b) Gọi d là ước nguyên tố của 8n 193 và 4n 3 thì: 8n 193d 8n 193d 8n 193d 8n 193 8n 6  d 187d 4n 3d 2 4n 3 d 8n 6d d 11;17 với n ¥ và d là số nguyên tố. Với d 11 ta có 4n 3 11 4n 3 11 11 4n 8 11 4 n 2 11 n 2 11 Do đó n 2 11k k ¥ hay n 11k 2 k ¥ Với d 17 ta có 4n 3 17 4n 3 17 17 4n 20 17 4 n 5 17 n 5 17 Do đó n 5 17m m ¥ hay n 17m 5 m ¥ * 8n 193 Vậy với n 11k 2 k ¥ và n 17m 5 m ¥ * thì phân số A tối giản. 4n 3 c) Từ câu b) ta có: 8n 193 Để phân số A rút gọn được thì n 11k 2 k ¥ và n 17m 5 m ¥ * 4n 3
9. Vì 150 n 170 nên: TH1: 150 11k 2 170 148 11k 168 k 14;15 Với k 14 thì n 156 Với k 15 thì n 167 TH2: 150 17m 5 170 155 17m 175 m 10 Với m 10 thì n 165 8n 193 Vậy n 156;165;167 thì phân số A rút gọn được. 4n 3 18n 3 Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được. 21n 7 Lời giải: Điều kiện: n ¥ Gọi d là ước nguyên tố của 18n 3 và 21n 7 thì: 18n 3d 7 18n 3 d 126n 21d 126n 42 126n 21  d 21d 21n 7d 6 21n 7 d 126n 42d d 3;7 với n ¥ và d là số nguyên tố. 18n 3 Với d 3 mà 18n 33 n ¥ nên để phân số có thể rút gọn được thì 21n 73 21n 7 Mà 21n 73 n ¥ (vì 21n3 và 73 ) d 3 18n 3 Với d 7 thì 21n 7  7 n nên để phân số rút gọn được thì 21n 7 18n 37 21n 3n 3 7 3 n 1 7 n 17 n 1 7k n 7k 1 k ¢ 18n 3 Vậy với n 7k 1 k ¢ thì phân số rút gọn được. 21n 7 4n 5 Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên. 2n 1 Lời giải Điều kiện: n ¢ 4n 5 Để phân số là số nguyên thì 2n 1 4n 5  2n 1 hay 4n 2 7  2n 1 2 2n 1 7  2n 1
10. Mà 2 2n 1  2n 1 7  2n 1 2n 1 Ư 7 Ư 7 1; 7. Ta có bảng sau: 2n 1 1 1 7 7 n 0 1 3 4 A 5 9 1 7 4n 5 Vậy n 0;1; 3;4 thì là số nguyên. 2n 1 2n 1 3n 5 4n 5 Bài 11: Cho biểu thức : A .Tìm giá trị của n để: n 3 n 3 n 3 a) A là một phân số. b) A là một số nguyên. Lời giải: 2n 1 3n 5 4n 5 2n 1 3n 5 4n 5 n 1 Ta có: A n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 1 n ¢ n ¢ a) Để là phân số thì n 3 n 3 0 n 3 n 1 b) Để là số nguyên thì n 3 n 1  n 3 hay n 3 4  n 3 hay n 3 4  n 3 Mà n 3  n 3 4  n 3 n 3 Ư 4 Ư 4 1; 2; 4 . Ta có bảng sau: n 3 1 1 2 2 4 4 n 4 2 5 1 7 1 A 5 3 3 1 2 0 n 1 Vậy n 1;1;2;4;5;7 thì là số nguyên. n 3