Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 3: So sánh hai phân số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 3: So sánh hai phân số

1. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 - PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH HAI PHÂN SỐ PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÙNG MẪU Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. 2. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta viết chúng dưới dạn hai phân số cùng mẫu dương rồi so sánh các tử số với nhau. Tuy nhiên, nhiều bài toán sẽ gặp khó khăn khi quy đồng mẫu số các phân số. Bởi vậy, có rất nhiều cách khác nhau để so sánh các phân số, ta sẽ đi tìm hiểu ở phần sau. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: So sánh hai phân số cùng mẫu I. Phương pháp giải Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. II. Bài toán 7 24 13 1 43 36 Bài 1: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: , , , , , 36 36 36 36 36 36 Lời giải: Vì các phân số trên đều có cùng mẫu số nên ta được: 1 7 13 24 36 43 36 36 36 36 36 36 5 11 7 13 9 27 Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: ; ; ; ; ; . 48 48 48 48 48 48 Lời giải: Viết lại các phân số dưới dạng mẫu dương: 11 11 13 13 9 9 ; ; . 48 48 48 48 48 48 27 13 11 9 7 5 Vì 27 13 11 9 7 5 nên . 48 48 48 48 48 48 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:
2. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 5 7 9 11 13 27 ; ; ; ; ; . 48 48 48 48 48 48 15 36 2 7 1 72 97 Bài 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: , , , , , , . 24 24 24 24 24 24 24 Lời giải: 97 72 36 15 7 1 2 Vì 97 72 36 15 7 1 2 nên 24 24 24 24 24 24 24 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 97 72 36 15 7 1 2 ; ; ; ; ; ; . 24 24 24 24 24 24 24 Bài 4: Viết các phân số dương nhỏ hơn hoặc bằng 1 mà có mẫu là 7. Sắp xết các phân số đó theo thứ tự tăng dần. Lời giải: Các phân số dương nhỏ hơn hoặc bằng 1 mà có mẫu là 7 là: 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 Bài 5: Viết các phân số dương nhỏ hơn hoặc bằng 2 mà có mẫu là 4. Sắp xết các phân số đó theo thứ tự tăng dần. Lời giải: Các phân số dương nhỏ hơn hoặc bằng 2 mà có mẫu là 4 là: 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 4 4 4 4 4 4 Bài 6: Viết các phân số lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2 mà có mẫu là 7. Sắp xết các phân số đó theo thứ tự giảm dần. Lời giải: Các phân số lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2 mà có mẫu là 7 là: 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9     4 Bài 7: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: . 11 11 11 11 11 11 Lời giải: Do các phân số đều có cùng mẫu (dương) nên ta sẽ điền tử số là dãy các số nguyên tăng dần. 9 8 7 6 5 4 Vậy ta điền được kết quả là: . 11 11 11 11 11 11
3. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 8: Điền số thích hợp vào chỗ trống 11 ... ... ... 7 a) 13 13 13 13 13 8 ... ... ... 4 b) 34 34 34 34 34 Lời giải: 11 10 9 8 7 a) 13 13 13 13 13 8 7 6 5 4 b) 34 34 34 34 34 Bài 9: Tìm số x nguyên thỏa mãn: 1 x 4 11 x 8 3 x 2 a) b) c) 7 7 7 15 15 15 7 21 3 Lời giải: 1 x 4 a) x 2;3 7 7 7 11 x 8 b) x 10; 9 15 15 15 3 x 2 9 x 14 c) x 10;11;12;13 7 21 3 21 21 21 Dạng 2: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng mẫu dương I. Phương pháp giải Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: Tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn II. Bài toán 1 5 4 3 Bài 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: a) và b) và 3 6 5 7 Lời giải: 1 2 2 5 1 5 a) Ta có mà 3 6 6 6 3 6 4 28 3 15 28 15 4 3 b) Ta có ; mà . 5 35 7 35 35 35 5 7
4. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: 3 4 5 63 a) và b) và 11 13 6 70 Lời giải: 3 39 4 44 39 44 3 4 a) Ta có ; mà 11 143 13 143 143 143 11 13 5 50 63 9 54 50 54 5 63 b) Ta có ; mà . 6 60 70 10 60 60 60 6 70 Bài 3: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: 1 5 4 5 a) và b) và 2 6 7 9 Lời giải: 1 3 3 5 1 5 a) Ta có: . Vì 3 5 nên 2 6 6 6 2 6 4 36 5 35 36 35 4 5 b) Ta có: ; . Vì 36 35 nên 7 63 9 63 63 63 7 9 Bài 4: So sánh các phân số sau: 45 84 39 98 a) và ; b) và ; 105 147 52 112 Lời giải: 45 3 84 4 45 84 a) ; . 105 7 147 7 105 147 39 3 98 7 3 6 7 39 98 b) ; ; . 52 4 112 8 4 8 8 52 112 Bài 5: So sánh các phân số : 20 21 12 21 63 103 a) và b) và c) và 19 20 129 172 81 135 Lời giải: a) Vì (19,20) 1 nên mẫu chung là 19.20.
5. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 20 20.20 400 21 21.19 399 Ta có : ; 19 19.20 380 20 20.19 380 20 21 Vì 400 399 nên . 19 20 12 4 b) Ta rút gọn các phân số trước : 129 43 4 4.4 16 Chú ý là 172 43.4, nên ta viết : 43 4.43 172 16 21 4 21 12 21 Do nên hay 172 172 43 172 129 172 63 7 c) Ta có : và 135 15.9 nên ta biến đổi như sau : 81 9 7 7 15 105 105 103 63 103 , do 105 103 nên 9 9 15 135 135 135 81 135 42 144 435 1950 25025 Bài 6: Cho các phân số: ; ; ; ; 105 192 290 910 24024 1. Quy dồng mẫu của các phân số ấy. 2. Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần. Lời giải: 1) Quy đồng mẫu chung, ta được các phân số tương ứng là: 336 630 1260 1800 875 ; ; ; ; . 840 840 840 840 840 2) Sau khi so sánh, ta xếp được các số theo thứ tư tăng dần như sau: 42 144 25025 435 1950 ; ; ; ; . 105 192 24024 290 910 1 x 1 Bài 7: Tìm số nguyên dương x sao cho . 5 30 4 Lời giải: Trước tiên ta sẽ quy đồng mẫu số các phân số: 1 1.12 12 x x.2 2x 1 1.15 15 , , 5 5.12 60 30 30.2 60 4 4.15 60
6. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 x 1 12 2x 15 Vì Suy ra 2x 13 hoặc 2x 14 5 30 4 60 60 60 Mà x là số nguyên dương 2x 14 x 7 . Bài 8: Tìm số nguyên dương x , biết: 3 4 6 x 13 a) 1 ; b) 1 2 ; c) . x x x 3 x Lời giải: 3 3 x a) 1 x 3 x 1;2;3. x x x 4 x 4 2x b) 1 2 x 4 2x 2 x 4 x 2;3. x x x x 6 x 13 18 x2 39 c) 18 x2 39 x2 25;36 x 3 x 3x 3x 3x x 5;6 (vì x 0). 9 a b 13 Bài 9: Tìm a,b ¢ sao cho . 56 8 7 28 Lời giải: 9 a b 12 9 7a 8b 26 Từ suy ra 9 7a 8b 26. 56 8 7 28 56 56 56 56 Vì a,b ¢ , từ đó ta tìm được a 2, b 2; a 2, b 3; a 3,b 3. 1 1 Bài 10: Tìm ba phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn và nhỏ hơn . 4 3 Lời giải: Quy đồng các phân số với mẫu số chung là 48 , ta được: 1 1.12 12 1 1.16 16 ; . 4 4.12 48 3 3.16 48 12 13 14 15 16 Ta có: 48 48 48 48 48 1 13 7 5 1 Rút gọn các phân số trên ta được: . 4 48 24 16 3
7. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 13 7 5 Vậy ba phân số cần tìm là: ; và . 48 24 16 1 1 Bài 11: Tìm hai phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 5 4 Lời giải: 1 1 Quy đồng hai phân số và với mẫu số chung là 60 , ta được: 5 4 1 1.12 12 1 1.15 15 ; . 5 5.12 60 4 4.15 60 12 13 14 15 Ta có: . 60 60 60 60 1 13 7 1 Rút gọn các phân số trên ta được: . 5 60 30 4 13 7 Vậy hai phân số cần tìm là: và . 60 30 1 1 Bài 12: Tìm hai phân số có mẫu số khác nhau, các phân số này lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 3 2 Lời giải: 1 6 1 9 Chọn mẫu chung là 18, ta có: ; . 3 18 2 18 6 7 8 9 Ta có 18 18 18 18 1 7 4 1 Rút gọn các phân số này ta được: . 3 18 9 2 7 4 1 1 Ta tìm được hai phân số và có mẫu khác nhau, lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 18 9 3 2 Nhận xét: Có nhiều cặp phân số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn, chọn mẫu chung là 120, 1 40 1 60 ta có: ; . 3 120 2 120
8. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 41 59 41 42 21 44 11 Trong các phân số từ đến ta có thể chọn các cặp như: và hoặc và 120 120 120 120 60 120 30 45 15 đều thỏa mãn bài toán. 120 40 1 1 Bài 13: Tìm các phân số có mẫu số là 5 và nhỏ hơn , lớn hơn 2 3 Lời giải: 1 a 1 10 6a 15 Phân số có dạng : 3 5 2 30 30 30 Suy ra 6a 12 a 2 2 Vậy phân số cần tìm là: 5 1 1 Bài 14: Tìm ba phân số mà lớn hơn và nhỏ hơn . 3 4 Lời giải: a Gọi phân số cần tìm a,b ¥ ,b 0 b 1 a 1 16 a 12 Ta có: 3 b 4 48 b 48 13 14 15 Lấy b 48 và a 13. 14. 15 ta được các phân số: ; ; . 48 48 48 Bài 15: Hãy tìm các phân số, thoả mãn mỗi điều kiện sau 5 6 a) Có mẫu là 30 , lớn hơn và nhỏ hơn : 17 17 2 1 b) Có mẫu là 5 , lớn hơn và nhỏ hơn ; 3 6 Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Lời giải: a 5 a 6 a) Gọi phân số cân tìm là . trong đó a ¢ , ta có: 30 17 30 17 150 17a 180 Quy đồng mẫu chung của ba phân số, ta được: 510 510 510
9. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 150 180 Suy ra 150 17a 180 , do dó a , mà a ¢ , nên a 9;10. 17 17 9 3 10 1 Có hai phân số phải tìm là : và . 30 10 30 3 5 3 1 6 Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: . 17 10 3 17 b 2 b 1 b) Gọi phân số phải tìm là (b ¢ ) , ta có: 5 3 5 6 2 b 1 Biến đổi các phân số đã cho sao cho có mẫu dương, ta dược: 3 5 6 20 6b 5 Quy đồng mẫu các phân số: , suy ra 20 6b 5 30 30 30 1 5 Do đó 3 b , mà b ¢ , nên b 3: 2 và 1. 3 6 3 2 1 Ba số phải tìm là : ; và . 5 5 5 2 3 2 1 1 Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: . 3 5 5 5 6 1 2 Bài 16: Cho hai phân số và . Hãy tìm : 6 3 2 2 a) Năm phân số có tử và mầu cùng là số dương, sao cho các phân số đó lớn hơn và nhỏ hơn ; 6 3 1 2 b) Hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương, sao cho các phân số lớn hơn và nhỏ hơn ; 6 3 1 c) Có nhận xét gì về số các phân số có tử và mầu cùng là số dương, sao cho phân số đó lớn hơn và nhỏ 6 2 hơn . 3 Lời giải: 1 2 a) Quy đồng mẫu chung hai phân sô va , chú ý chọn mẫu sao cho xen giữa hai phân số này có 5 phân 6 3 1 3 4 5 6 7 8 số. Ta có: ; 6 12 12 12 12 12 12
10. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 8 9 10 25 26 27 b) Tương tự a), chọn mẫu chung là 42. Các phân số cân tìm là: , , ,, , , . 42 42 42 42 42 42 c) Có nhiều phân số thoả mãn đề bài. Các phân số cần tìm phụ thuộc vào cách tìm mẫu chung. Nếu mẫu 1 20 chung càng lớn thì số các phân số cần tìm càng lớn. Chẳng hạn chọn mẫu chung là 120, khi đó 6 120 2 80 20 80 21 22 23 77 78 79 va , vì thế xen giữa hai phân số và có 59 phân số là: , , ,, , , . 3 120 120 120 120 120 120 120 120 120 1019 1 1020 1 Bài 17: So sánh hai phân số sau: A và B 1020 1 1021 1 Lời giải: Quy đồng mẫu hai phân số với MC : 1020 1 1021 1 , ta có : 19 21 10 1 10 1 1040 1021 1019 1 A ; 1020 1 1021 1 1020 1 1021 1 20 20 10 1 10 1 1040 1020 1020 1 B 1020 1 1021 1 1020 1 1021 1 Hãy chứng tỏ rằng 1021 1019 1020 1020 để suy ra 1040 1021 1019 1 1040 1020 1020 1. Từ đó có A B . Dạng 3: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng tử I. Phương pháp giải Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu: Mẫu nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn II. Bài toán Bài 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử. 3 6 17 51 a) và b) và 4 7 21 31 Lời giải: 3 6 6 6 3 6 a) Ta có mà 4 8 8 7 4 7 17 51 51 51 17 51 b) Ta có mà . 21 63 63 31 21 31 Bài 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử.