Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chủ đề 21: Điểm – đường thẳng – đoạn thẳng – tam giác (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chủ đề 21: Điểm – đường thẳng – đoạn thẳng – tam giác (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 21: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC. A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1/ Vị trí của điểm và đường thẳng - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A Î a - Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B Ï a 2/ Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào. 3/ Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. 4/ Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng. 5/ Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiều (4,5,6,....) điểm thẳng hàng. II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM 1/ Có một đường thẳng và chỉ có 1 đường thẳng đi qua hai điểm A và B 2/ Có ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng một chữ cái in thường: ví dụ a - Dùng hai chữ cái in thường: ví dụ xy - Dùng hai chữ cái in hoa: ví dụ AB 3/ Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song) - Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là đường thẳng cắt nhau) 4/ Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung. 5/ Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.
2. III. TIA 1/ Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O . 2/ Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau 3/ Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét 3 điểm A,O, B thẳng hàng. - Nếu OA và OB đối nhau thì gốc O nằm giữa A và B - Ngược lại nếu O nằm giữa A và B thì: + Hai tia OA,OB đối nhau + Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng nhau. IV. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG 1/ Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B 2/ Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. 3/ AB = CD Û AB và CD có cùng độ dài AB < CD Û AB ngắn hơn CD AB > CD Û AB dài hơn CD . 4/ Điểm nằm giữa hai điểm: Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Nếu AM + MB ¹ AB thì điểm M không nằm giữa A và B . Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM + MN + NB = AB V. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI 1/ Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ một điểm M sao cho OM = a (đơn vị dài). 2/ Trên tia Ox , OM = a,ON = b , nếu 0 < a < b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N
3. 3/ Trên tia Ox có 3 điểm M , N, P ; OM = a;ON = b;OP = c ; nếu 0 < a < b < c hay OM< ON < OP điểm N nằm giữa hai điểm M và P . VI. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 1/ Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó. AB 2/ Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = 2 AB 3/ Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA = thì M là trung điểm của AB 2 4/ Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất. VII. TAM GIÁC 1. Định nghĩa A Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, AC khi ba điểm A, B,C không thẳng hàng. Kí hiệu là ABC . B C 2. Các yếu tố trong tam giác Tam giác ABC có: + Ba đỉnh là: A, B,C . + Ba cạnh là: AB, BC, AC . + Ba góc là ·ABC, B· AC, ·ACB . 3/ Để vẽ một tam giác ABC có độ dài 3 cạnh cho trước, ta làm như sau: Bước 1. Vẽ một đoạn thẳng AB có độ dài bằng một cạnh cho trước; Bước 2. Vẽ đỉnh C (thứ ba) là giao điểm của hai cung tròn có tâm lần lượt là hai đỉnh A và B đã vẽ và bán kính lần lượt bằng độ dài hai cạnh còn lại. B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI HSG. DẠNG 1: BÀI TOÁN TRỒNG CÂY THẲNG HÀNG. - Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng. - Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán. Bài tập 1. Có 10 cây, hãy trồng thành 5 hàng sao cho mỗi hàng có 4 cây. Hướng dẫn
4. Theo hình 11 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ). Hình 1 Bài tập 2. Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây. Hướng dẫn Theo hình 12 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ). Hình 2 Bài tập 3. Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách) Hướng dẫn Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4
5. DẠNG 2: ĐẾM SỐ ĐOẠN THẲNG (ĐƯỜNG THẲNG) TẠO THÀNH TỪ CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC Cho biết có n điểm (n ∈ N và n ≥ 2). Kẻ từ một điểm bất kỳ với n 1 điểm còn lại được n 1đoạn thẳng (đường thẳng) Làm như vậy với n điểm nên có n n 1 đoạn thẳng (đường thẳng). Nhưng mỗi đoạn thẳng (đường thẳng) được tính 2 lần Do vậy số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ được là n n 1 : 2 đoạn thẳng (đường thẳng) Bài tập 1. Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có bao nhiêu đường thẳng tất cả ? Đó là những đường thẳng nào? Hướng dẫn Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm) Cách 2: Bằng cách tính: Lấy một điểm bất kì ( chẳng hạn điểm M), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm M với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng. Với 5 điểm đã cho ta có : 4 đường × 5 điểm. Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần. chẳng hạn, khi chọn điểm M ta nối M với N, ta có đường thẳng MN. Nhưng khi chọn điểm N, ta nối N với M, ta cũng có đường thẳng NM. Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường. 4 5 Vậy số đường thẳng vẽ được là : 10 ( đường thẳng). 2 Bài tập 2. Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm ( của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu ? Hướng dẫn Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau : a) Bốn đường thẳng đó đồng quy : có một điểm chung ( H.a). b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó : có 4 điểm ( H.b).
6. c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau) : có 6 điểm ( H.c). a) b) c) Hình 3 Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu? Hướng dẫn Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp: Hình 4 a) Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H4a) b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H4b) - Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H4c) b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy
7. Hình 5 - Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm (H5a) - Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H5b) - Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H5c) - Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H5d,e) - Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H5g) Bài tập 4: Cho n điểm (n ³ 2) . Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng? b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng? c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng. Hướng dẫn a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n- 1 điểm còn lại, ta vẽ được n- 1 đoạn thẳng . - Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n(n 1) đoạn thẳng. 2 b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số phận đoạn thẳng phải đếm - vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n(n 1) đoạn thẳng. 2
8. n(n- 1) c) Ta có = 1770 2 Do đó: n(n- 1) = 1770.2 = 22.3.5.59 = 59.60 Suy ra n = 60 . Bài tập 5: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n ? Hướng dẫn n(n- 1) Ta có = 105 nên n(n- 1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 . 2 Vậy n = 15. Bài tập 6: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Hướng dẫn Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19.20 : 2 = 190 . Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: (a- 1)a : 2 Thực tế, trong a điểm này ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có: 190- (a- 1)a : 2+ 1= 170 Þ a = 7 Bài tập 7 a) Cho bốn điểm A 1,A2,A3,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng? b) Cũng hỏi như thế với 5 điểm,10 điểm? Hướng dẫn a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3, A2A4 Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4 Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.
9. Vậy có tất cả 3+2+1=6 đường thẳng. b) Nếu cho 5 điểm A 1, A2 , A3 ,A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì (0,25) Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5 Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A4 A3, A3A5 Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4A5 Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới Vậy có tất cả 4+ 3+2+1=10 đường thẳng. Lập luận như trên số đường thẳng kẻ được khi cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng là : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng . Bài tập 8. a) Có 25 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bởi n điểm ( n N và n 2 ) thì số đường thẳng là bao nhiêu? b) Cho 25 điểm trong đó có đúng 8 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? c) Cho m điểm ( m N ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng tất cả có 120 đường thẳng. Tìm m . Hướng dẫn a) Kể từ một điểm bất kỳ với các điểm còn lại vẽ được 24 đường thẳng. Làm như vậy với 25 điểm nên có 24.25 600 đường thẳng Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần Do vậy số đường thẳng thực sự có là: 600 : 2 300 đường thẳng Lập luận tương tự có n điểm thì có: n. n 1 : 2 (đường thẳng) b) Nếu 25 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được 300 đường thẳng (câu a)
10. Với 8 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 8.7 : 2 28 đường thẳng Còn nếu 8 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 28 1 27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300 27 273 đường thẳng c) Ta có: m m 1 : 2 120 m m 1 120.2 m m 1 240 m m 1 16.15 m 15 Bài tập 9. a) Cho 31 đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được. b) Cho m đường thẳng ( m N ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 190 . Tính m Hướng dẫn a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng còn lại tạo thành 30 giao điểm. Có 31 đường thẳng nên có 30.31 930 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có: 930 : 2 465(giao điểm) Nếu thay 31 bởi n ( n N và n 2 ) thì số giao điểm có được là: n n 1 : 2 (giao điểm) b) m m 1 : 2 190 m(m 1) 380 m(m 1) 20.19 . Vậy m 20 Bài tập 10. Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đoạn thẳng? Hướng dẫn Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong 4 điểm còn lại, ta vẽ được 4 đoạn thẳng . Làm như vậy 5 lần (vì có 5 điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 20 : 2 = 10 đoạn thẳng.