Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chủ đề 22: Góc – bài toán liên quan (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chủ đề 22: Góc – bài toán liên quan (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 22: GÓC – BÀI TOÁN LIÊN QUAN. A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I - NỬA MẶT PHẲNG 1/ Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặt phẳng bờ a . Nhận xét: bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. y 2/ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy , nếu tia Oz B cắt đoạn thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và z B (A Î Ox, B Î Oy; A và B khác O ) M O Nhận xét: Nếu hai tia Ox và Oy đối nhau A thì mọi tia Oz khác Ox , Oy đều nằm giữa hai tia x Ox , Oy . 3/ Hai điểm A và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a thì đoạn thẳng AB không cắt a 4/ Hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn thẳng AC cắt d tại điểm M nằm giữa A và C . B A M d C II - GÓC, SỐ ĐO GÓC. CỘNG SỐ ĐO HAI GÓC 1/ Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau x· Oy có hai tai chung gốc là Ox và Oy Góc bẹt x· Oy có y tia Ox là tia đối của tia Oy x y O x O
2. 2/ Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là 1800 . Số đo của mỗi góc không vượt qua 1800 . 3/ So sánh góc. Aµ= BµÛ Aµ và Bµ cùng số đo Aµ< BµÛ số đo Aµ< số đo Bµ Aµ> BµÛ số đo Aµ> số đo Bµ 4/ Các loại góc: 00 < góc nhọn < góc vuông (900 ) < góc tù < bẹt (1800 ) 5/ Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là cạnh chung. 6/ Góc phụ. Góc bù Aµ phụ với BµÛ Aµ+ Bµ= 900 Aµ bù với BµÛ Aµ+ Bµ= 1800 Hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù. Hai góc kề bù có tổng bằng 1800 và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau 7/ Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì x·Oy + ·yOz = x·Oz Ngược lại, nếu x·Oy + ·yOz = x·Oz thì Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz Nếu x·Oy + ·yOz ¹ x·Oz thì Oy nằm giữa hai tia Ox,Oz . Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz ; tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz thì: x·Oy + ·yOt + t·Oz = x·Oz . 8/ Hai góc AOB và AOC là hai góc kề, tia OA¢ là tia đối của OA B A O A C - Nếu ·AOB + ·AOC < 1800 thì tia OA nằm giữa hai tia OB và OC - Nếu ·AOB + ·AOC > 1800 thì tia OA¢ nằm giữa hai tia OB và OC .
3. III - VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO 1/ Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox , bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ 1 tia z Oy sao cho x·Oy = m (độ). O y x 2/ Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứ tia Ox , có x·Oy = m0 , x·Oz = n0 ; nếu m < n thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox,Oz . 3/ Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox , có x·Oy = m0 , x·Oz = n0 ; x·Ot = p0 . Nếu m < n thì Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot . t z y O x IV - TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC 1/ Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau z O y x x·Oy 2/ Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì: x·Oz = z·Oy = . 2 x·Oy 3/ Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox,Oy và x·Oz = tia Oz là tia phân giác của góc xOy . 2
4. 4/ Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có một đường phân giác duy nhất. - Ba cạnh: AB, BC, AC - Ba góc: Aµ, Bµ,Cµ 3/ Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác ấy thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh còn lại. B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH SỐ GÓC TẠO THÀNH TỪ CÁC ĐIỂM (HOẶC TỪ CÁC TIA) CHO TRƯỚC. - * Nếu có n tia chung gốc thì số góc tạo thành là n(n 1) góc 2 Giải thích: - Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. - Xét 1 tia, tia đó cùng với n - 1 tia còn lại tạo thành n - 1 góc. - Làm như vậy với n tia ta được n.(n-1) góc. n(n- 1) - Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả góc 2 Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với nhau. Hỏi tất cả có bao nhiêu góc tạo thành (có đỉnh là các điểm đã cho) ? Hướng dẫn Giả sử có 10 điểm A1, A2, A10 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. * Xét đoạn thẳng A1A2 Nối A1 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A1 Nối A2 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A2 Vậy với đoạn thẳng A1A2 ta được 16 góc 10.9 Mà ở đây có tổng cộng 45 đoạn thẳng do đó có 45. 16 góc. 2 1045.16 Nhưng nếu vậy mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy số gúc là 360 góc. 2
5. Bài tập 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? Hướng dẫn Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần . 2010.2009 Vậy có tất cả = 2 019 045 góc 2 Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Hướng dẫn Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 n Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn y lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên m tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc z O x Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: m' n 5 n 6 góc 2 n 5 n 6 Vì có 300 góc được tạo thành nên: = 300 (n + 5)(n + 6) = 600 = 2 24.25 n + 5 = 24 n = 19
6. Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: · · · · · · · · xOx2 2xOx1 ; xOx3 3xOx1 ; xOx4 4xOx1 ; ...; xOxn nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. Hướng dẫn · · Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx2 2xOx1 ; · · · · · · xOx3 3xOx1 ; xOx4 4xOx1 ; ...; xOxn nxOx1 · · · · xOx1 x1Ox2 x2Ox3 ... xn 1Oxn Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox2017 là tia phân giác chung của 2017 · · · · góc: xOx4034 x1Ox4033 x2Ox4032 ... x2016Ox2018 Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2,..., Oxn cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox1. Có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành? Hướng dẫn Số góc có được từ n tia chung gốc là: n(n 1) 2 Bài tập 6: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 190 góc. Tính n ? Hướng dẫn n(n- 1) = 190 được n bằng 20 . 2 Bài tập 7: a) Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ? Vì sao? b) Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Hướng dẫn a) Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 5.6 lần do đó có tất cả là = 15 góc. 2 æn- 1ö b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có nç ÷ (góc). èç 2 ø÷
7. DẠNG 2: BÀI TẬP LIÊN QUAN TỚI TÍNH ĐO GÓC. * Cho biết tia phân giác tính số đo góc * Cho biết số đo góc chứng minh một tia là phân giác của góc * Chứng minh góc bằng nhau, so sánh hai góc. * Dựa vào việc tính số đo góc chỉ ra hai góc kề bù, hai tia đối nhau. Bài tập 1: Vẽ 2 góc kề bù xÔy và yÔx’ , biết xÔy = 700. Gọi Ot là tia phân giác của xÔy, Ot’ là tia phân giác của x’Ôy. Tính yÔx’; tÔt’; xÔt’ Hướng dẫn HD: Ta có xÔy và yÔx’ là 2 góc kề bù xÔy + yÔx’ = 1800 yÔx’= 1800 – 700 = 1100 y Vì Ot’ là tia phân giác của yÔx’ t' 1 1 t t’Ôx’ = tÔy = yÔx’ = .1100 = 550 2 2 Vì Ot là tia phân giác của xÔy 700 x O x' 1 1 xÔt = tÔy = xÔy = .700= 350 2 2 Vì Ox và Ox’ đối nhau Ot và Ot’ nằm giữa Ox và Ox’ xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800 tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900 xÔt’ và t’Ôx’ là 2 góc kề bù xÔt’ + t’Ôx’ = 1800 xÔt’ = 1800 – 550 = 1250 Bài tập 2: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c)* Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? Hướng dẫn a) Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên:
8. A· OB + B· OC =1800 B D mà B· OC = 5A· OB nên: 6A· OB = 1800 Do đó: A O C A· OB = 1800 : 6 = 300; B· OC = 5. 300 = 1500 b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên B· OD = D· OC = 1 B· OC= 750. 2 Vì góc D· OA và gócD· OClà hai góc kề bù nên: D· OA + D· OC =1800 Do đó D· OA =1800 - D· OC = 1800- 750 = 1050 c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3 góc. Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi (n 4)(n 3) góc được tính hai lần . Vậy có tất cả góc 2 0 Bài tập 3: Cho hai góc kề bù x· Oy và ·yOz . Biết x· Oy 62 . Om là tia phân giác của góc xOy; On là tia phân giác của góc yOz a/ Tính số đo góc x·Om và m· Oy ; ·yOn và n· Oz b/ Tính số đo các góc m· Oz và x· On c/ Tính số đo góc m· On Rồi rút ra nhận xét Hướng dẫn a/ Ta có : x· Oy ·yOz 1800 ( kề bù ) ·yOz 1800 x· Oy 1800 620 1180 Vì Om là phân giác của x· Oy nên ta có · 0 y n · · xOy 62 0 xOm mOy 31 m 2 2 Vì On là phân giác của ·yOz nên ta có ·yOz 1180 x O ·yOn n· Oz 590 2 2
9. b/ Vì x· Oy và ·yOz là hai góc kề bù và Om là phân giác của x· Oy On là phân giác của ·yOz nên tia Oy nằm gữa các tia Om và Oz ; Ox và On ; Om và On + Oy Nằm giữa Om và Oz . Ta có m· Oy ·yOz m· Oz m· Oz 310 1180 1490 + Oy nằm giữa Ox và On . Ta có x· Oy ·yOn x· On x· On 620 590 1210 c/ Vì Oy nằm giữa Om và On nên ta có m· Oy ·yOn m· On m· On 310 590 900 Nhận xét : Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vuông Bài tập 4: Cho góc ·AOB = 1100 , tia OC nằm trong góc đó. Gọi OM ,ON theo thứ tự là các tia phân giác của các góc AOC, BOC . Tính M· ON ? Hướng dẫn ·AOC C·OB ·AOC + C·OB ·AOB 1100 M· ON = M· OC + C·ON = + = = = = 550 2 2 2 2 2 Bài tập 5: Cho góc ·AOB = 1000 và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc ·AOB vẽ các tia OA,OE sao cho ·AOD = B·OE = 200 . Chứng tỏ rằng tia OC là tia phân giác của góc D·OE . Hướng dẫn Chứng tỏ rằng C·OD = C·OE = 300 . Bài tập 6: Cho góc tù xOy . Bên trong góc xOy , vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900 . a) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm . b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy . Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của góc mOn . Hướng dẫn a) Lập luận được:
10. x·Om + m·Oy = x·Oy hay 900 + m·Oy = x·Oy ·yOn + n·Ox = x·Oy hay 900 + n·Ox = x·Oy Þ x·On = ·yOm b) Lập luận được: x·Ot = t·Oy x·Ot = x·On + n·Ot t·Oy = ·yOm + m· Ot Þ n·Ot = m· Ot Þ Ot là tia phân giác của góc mOn . Bài tập 7: Trên đường thẳng xx¢ lấy một điểm O . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx¢ vẽ 3 tia Oy,Ot,Oz sao cho góc x¢Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 . a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz . b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy . Hướng dẫn a) Theo đề bài ta có x¢Ox = 1800 mà góc x¢Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x¢Oy = 400 Þ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 . Suy ra góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy . Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox . Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy . b) Theo câu a) ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy Þ Góc zOt + góc tOy = góc zOy . Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy Þ Góc xOt + góc tOy = góc xOy Hay góc tOy = 430 (vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540 ).