Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng. Vận dụng chứng minh chia hết cho một số (Có đáp án)

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng. Vận dụng chứng minh chia hết cho một số (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG. VẬN DỤNG CHỨNG MINH CHIA HẾT CHO MỘT SỐ. A/ TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG. I/ PHƯƠNG PHÁP. * Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. - Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9: Phân tích: am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar. - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. * Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. * Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = nk với n, k N . - Nếu A = 10a + b = ab b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r N; 0 r 9 69
2. Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A. m - Nếu A=10 .am + am 1...a0 = am ...a1a0 thì am 1...a0 là m chữ số cuối cùng của A. II/ BÀI TẬP MẪU. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799 b) 141414 c) 4567 HD: a) Xét 99 = 4k + 3 (với k = 24) => 799 = 74k + 3 = 74k.73 Theo tính chất 1c => 74k có chữ số tận cùng là 1 => 799 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 73 . Mà 73 = 343 có chữ số tận cùng là 3 => 799 có chữ số tận cùng là 3. b) Dễ thấy 1414 = 4k + 2 ( với k = 353) => 141414 = 144k + 2 = 144k . 142 Theo tính chất 1d => 144k có chữ số tận cùng là 6. => 141414 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 6.142 Mà 6.142 = 1176 có chữ số tận cùng là 6 => 141414 có chữ số tận cùng là 6. c) Ta có 567 = 4k + 3 (với k = 141) => 4567 = 44k + 3 = 44k.43 Theo tính chất 1d => 44k có chữ số tận cùng là 6. => 4567 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 6.43 Mà 6.43 = 384 có chữ số tận cùng là 4 => 4567 có chữ số tận cùng là 4. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009. HD: Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(k - 2) + 1, k thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 2 => Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng: => Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + + 9) + 199.(0 + 1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 70
3. = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + + 20048011. HD: Nhận thấy Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của 187324 HD: Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1. Do đó 187324 = (1874)81 = ( .1)81 =( 1) Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1 Bài 5. Cho A 2 22 23 .... 220. Tìm chữ số tận cùng của A. HD: Cách 1 : Chứng minh rằng A5 bằng cách nhóm A thành từng nhóm 4 số. Ta lại có A  2 nên A 10 vậy A tận cùng bằng 0. Cách 2 : Hãy chứng minh rằng A = 221-2 5 A = 221 - 2 = 24 .2 2 165.2 2 ...6.2 2 , tận cùng bằng 0. 9 Bài 6: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 99 HD: Xem số M = 9k ; k N - Nếu k chẵn k 2m ta có: M =92m = 81m = (80+1)m = (10q +1)m = 10 t + 1 ( với m, q, t N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẽ k=2m+1 ta có: M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 = 10q + 9 ( với m, t, q N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ. 71
4. 9 Do đó: A = 99 có chữ số cuối cùng là 9. 34 Bài 7: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2 HD: 34 B = 2 = 281 = (25)16 .2 = 3216.2 = (30+2)16.2 = 10q +217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3. 22 = 10t + 25 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2. 9 Bài 8: Tìm chữ số cuối cùng của số A = 99 HD: Ta có: 92m tận cùng là 1 92m+1 tận cùng là 9 Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.) 9 Vậy A= 99 tận cùng là 9. Bài 9: Tìm chữ số tận cùng của: C = 62002, D = 22001. HD: Ta có: 61 tận cùng là 6 62 tận cùng là 6 63 tận cùng là 6 Vậy 6n tận cùng là 6 suy ra 62002 tận cùng là 6 Ta có: 24 = 16 tận cùng là 6 Suy ra 22002 = (24)500.22 = (a6).4 k4 với a, k N 22002 tận cùng là 4 Bài 10: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 71999, G = 18177 HD: *Ta có 74 = 2401 tận cùng là 1 M = 71999 = (74) = ( n1).343 = c3 tận cùng là 3 Vậy M = 71999 tận cùng là 3 *Ta có 184 = n6 tận cùng là 6 Suy ra: G = 18177 = (184 )44 .181 =t6.18 = k8 Vậy G = 18177 tận cùng là 8. 72
5. Bài 11: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 99 a/ 7 14 b/ 1414 67 c/ 35 HD: a/ Có: 99 = (8+1)9 = 4k + 1 9 => 79 = 74k+1 = 7.74k = 7. 492k có chữ số tận cùng là 7.1 = 7 b/ Ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k 14 => 1414 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận cùng của nó là 6 7 7 c/ Có 56 = (4+1) 6 = 4k+1 67 => 35 = 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận cùng là 3.1 = 3. Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của tổng: T = 23 + 37 + 411 + .......+ 20048011 HD: Nhận xét rằng các số mũ của các số hạng trong tổng trên đều có dạng 4(n-2) +3 với n 2 Vậy nên ta đi tìm quy luật của chữ số tận cùng của số a4k+3 với a = {0,......9} Ta có : các số có tận cùng là : 0; 1; 5; 6. thì ak cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6 xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận cùng là 8 34k+3 = 27.81k có tận cùng là 7 44k+3 = 64.28k =64.162k có tận cùng là 4 74k+3 = 343.2401k có tận cùng là 3 84k+3 = 512.162k có tận cùng là 2. Vậy chữ số tận cùng của T cũng là chữ số tận cùng của T’ = (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận cùng của T là 9. III/ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM. Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của X, Y: X = 22 + 36 + 410 + + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + + 20048016 Bài 14: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau: U = 21 + 35 + 49 + + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + + 20058015 73
6. Bài 15: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. B/ TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG. Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.  Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am  2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  25. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq  4 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq. Vì an - 1  25 => apn - 1  25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1)  100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  100. Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av. Vì an - 1  100 => aun - 1  100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tìm hai chữ số tận cùng của av. Trong hai trường hợp để giải được bài toán chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ VỀ 2 CHỮ SỐ TẬN CÙNG - Các số có tận cùng bằng 01 ,25 ,76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cũng tận cùng bằng 01 ,25 ,76 - Các số 320 ( hoặc 815) ,74 ,512 ,992 có tận cùng bằng 01 - Các số 220 , 65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận cùng bằng 76 - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76 Bài 16: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 HD: Ta thấy : 74 = 2401 , số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó : 71991 = 71988.73 = (74)497.343 =( 01)497.343 = ( .01).343 = .43 Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43 Bài 17: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 HD: 74
7. Chú ý rằng : 210 = 1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76,số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =( .76)5 = .76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Bài 18. Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151; 99 b) 9999 ; c) 6666 ; d) 14101.16101. HD: 25 25 a) 1551= 512 .51 ...01 .51 ...01 .51 ...51. 99 k k b) 9999 992k 1 992 .99 ...01 .99 ...01 .99 ...99 . 133 c) 6666 = 65 .6 ...76 133 .6 ...76 .6 ...56 . 50 50 d) 14101.16101 14.16 101 224101 2242 .224 ...76 .224 ...76 .224 ...24 Bài 19: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) a2003 b) 799 HD: a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1  25. Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025  25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1)  25 => 23(220 - 1)  100. Mặt khác: 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1  100. Ta có 74 = 2401 => 74 - 1  100. Mặt khác: 99 - 1  4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài 20: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C=2999, D=3999 HD: *Ta có: 220 có 2 chữ số tận cùng là 76. Suy ra: C=2999=(220)49.219=( y76 ). n88 (với y, n, q N) 75
8. Vậy C=2999 có 2 chữ số tận cùng là 88 *Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =( k01)50 = z01 Nên 3D tận cùng là 01, mà 3.3999  3 chữ số hàng trăm của 31000 là 2 31000 tận cùng là 201 Vậy 3999 có hai chữ số tận cùng là 67 Bài 21: Tìm hai chữ số tận cùng của số a) M = 78966 b) N = 247561 c) Q = 816251 HD: a)Ta có 74 có hai chữ số tận cùng là 01 Suy ra M = 78966 = (74)2241.72 = ( a01)2241.49 = c01.49 = n49 (với a,c,n N) Suy ra M = 78966 có hai chữ số tận cùng là 49 b)Ta có 242 tận cùng là 76 Suy ra N = 247561 = (242)3765.24 = ( m76 )3765.24 = k76 .24 = n24 (với m, k, n N) Vậy N = 247561 có hai chữ số tận cùng là 24 c) Ta có 815 có hai chữ số tận cùng là 01 Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( k01)1250.81 = m81 (Với k, t, m N) Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận cùng là 81. Bài 22: Tìm hai chữ số tận cùng của số. a) Z = 26854 b) C = 68194 HD: a)Ta có 264 có hai chữ số tận cùng là 76 Z = 26854 = (264)213.262 = ( n76 )213. 676 = k76 .676 = c76 (Với n, k, t N) Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận cùng là 76 b) Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76 Suy ra C = 68194 = (684)48.682= ( n76 )48.4624 = k76 .4624 = t24 (với n, k, t N) Vậy C=68194 có hai chữ số tận cùng là 24. Bài 23: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2999 HD: Ta có: 210 + 1 =1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 210 – 1  25 Ta lại có 21000 – 1 = (220)50 – 1  220 – 1 suy ra 21000 – 1  25 76
9. Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhưng 21000  4 Suy ra 21000 tận cùng là 76 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999  4 2999 tận cùng là 88 Vậy C=2999 có hai chữ số tận cùng là 88. Bài 24: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D = 3999 HD: Ta có: 92m tận cùng là 1 ; 92m+1 tận cùng là 9 Ta hãy tìm số dư của phép chia 95 +1 cho 100 Ta có: 95 + 1 =10(94 – 93 + 92 – 9 + 1) Số: 94 + 92 +1 tận cùng là 3 93 + 9 tận cùng là 8 Suy ra (94 – 93 + 92 – 9 + 1) tận cùng là 5 94 – 93 – 92 – 9 + 1 = 10q + 5 95 + 1 = 100q + 50 910 – 1 = (95 + 1)(95 – 1) = 100t Ta lại có: 31000 - 1 = 9500 – 1 = (910)50 – 1 suy ra 31000 – 1  100 31000 tận cùng là 01 . Mặt khác 31000  3 Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 (để 201 chia hết cho 3) 31000 chữ số tận cùng là 201 Do đó 3999 tận cùng là 67. 99 Bài 25: Tìm hai chữ số tận cùng của số A= 9 HD: 99 9 A = 9 = (10 -1)9 có dạng: (10 – 1)n với n=99 ta lại có 0 n 1 n-1 n 1 n A = C n . 10 - C n . 10 + + C n . 10 - C n Suy ra A có hai chữ số cuối cùng n 1 n 9 Với a = C n .10 - C n = 10n -1 Số n = 9 tận cùng là 9 Suy ra 10n tận cùng là 90 a =10n -1 tận cùng là 89 99 Vậy số A = 9 có hai chữ số cuối cùng là 89 Bài 26: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng: 2002 2002 2002 2002 a) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 2004 2003 2003 2003 2003 b) S2 = 1 + 2 + 3 + ... + 2004 HD: 77
10. a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a 2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ⋮ 25. Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1) ⋮ 100. 2002 2 2000 2 2000 2 2 2 Do đó S1 = 1 + 2 (2 - 1) + ... + 2004 (2004 - 1) + 2 + 3 + ... + 2004 . => Hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + ... + 20042. Ta có: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. b) Hoàn toàn tương tự như câu a, 2003 3 2000 3 2000 3 3 3 S2 = 1 + 2 (2 - 1) + ... + 2004 (2004 - 1) + 2 + 3 + 2004 . => Hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 13 + 23 + 33 + ... + 20043. 2 3 3 3 2 n n 1 Áp dụng công thức: 1 2 ... n 1 2 ... n 2 => 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. C/ TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG TRỞ LÊN. I/ PHƯƠNG PHÁP. Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 . 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = a m chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 chia hết cho 125. Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq. Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq.  Tìm ba chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 1000. 78