Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 14: Hình học (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề 14: Hình học (Có đáp án)

1. CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC 7 Bài 1: Cho Tam giỏc ABC nhọn, AH là đường cao, về phớa ngoài của tam giỏc vẽ cỏc ABE vuụng cõn ở B và ACF vuụng cõn tại C, Trờn tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR: a, ABI= BEC b, BI = CE và BI vuụng gúc với CE c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm Bài làm : I a, Ta cú : IãAB 1800 Bã AH 1800 900 à BC 900 à BC Eã BC Và AB BE, AI BC ABI BEC(c.g.c) b, Theo cõu a ta cú : F ABI BEC BI EC, Eã CB Bã IA A hay Eã CB Bã IH , E Gọi M là giao điểm của của CE và BI, Ta cú : M Mã BC Mã CB Bã IH IãBH 900 =>CE  BI c, Chứng minh tương tự: BF  AC , B H C Trong BIC cú AH, CE,BF là đường cao Nờn đồng quy tại 1 điểm. Bài 2: Cho ABC cú ba gúc nhọn, trung tuyến AM, trờn nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB, vẽ AE vuụng gúc với AB và AE=AB, trờn nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuụng gúc với AC và AD=AC a, CMR: BD=CE b, Trờn tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA, CMR : ADE= CAN AD2 IE 2 c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR: 1 A DI 2 AE 2 Bài làm: a, Chứng minh ABD AEC c.g.c E => BD=EC I b, Chứng minh CMN BMA c.g.c D =>CN=AB B M C và à BC Nã CM , cú: Dã AE Dã AC Bã AE Bã AC 900 900 Bã AC =1800 Bã AC (1) Và ãACN à CM Mã CN à CB à BC 1800 Bã AC (2) Từ (1) và (2) ta cú: Dã AE ãACN N CM : ADE CAN c.g.c c, ADE CAN cmt à DE Cã AN mà Dã AN Cã AN 900 Dã AN à DE 900 Hay Dã AI à DI 900 AI  DE Áp dụng định lý py-ta-go cho AID và AIE cú: AD2 IE 2 AD2 DI 2 AE 2 EI 2 AD2 EI 2 AE 2 DI 2 1 DI 2 AE 2 [Type text] Page 1
2. Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn ở A là ABD và ACE a, Trờn tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR: à BF Dã AE b, CMR: DE 2.AM Bài làm: E a, Cm: AMC FMB c.g.c Cã AM Bã FM AC / /BF Do đú: à BF Bã AC 1800 (1) Và Dã AE Bã AC 1800 , do Dã AB Eã AC 1800 (2) D Từ (1) và (2) ta cú: à BF Dã AE A b, Chứng minh: ABF DAE c.g.c AF CE ta cú: AF 2.AE DE 2.AM B M C Bài 4: Cho ABC cú àA 1200 , Dừng bờn ngoài cỏc tam giỏc đều ABD, ACE F a, Gọi là giao điểm của BE và CD, Tớnh Bã MC b, CMR: MA+MB=MD c, CMR: à MC Bã MC Bài làm : E a, Ta cú : ADC ABE c.g.c ãADC à BE Gọi F là giao điểm của AB và CD A Xột ADF và BMF cú : D Dà Bà , à FD Bã FM Bã MF Fã AD Bã MF 600 P 0 => Bã MC 120 F M b, Trờn tia MD lấy điểm P sao cho BM=MP => BMP đều=> BP BM , Mã BP 600 B C Kết hợp với à BD 600 Mã BA Pã BD PDB MBA c.g.c => AM DP => AM MB DP PM DM c, Từ PBD MBA à MB Dã PB , mà Bã PD 1200 Bã MA 1200 => à MC 1200 à MC Bã MC [Type text] Page 2
3. Bài 5: Cho ABC nhọn, trờn nửa mp bờ AB khụng chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuụng gúc với AB và AD= AB, trờn nửa mp bờ AC khụng chứa B, dừng AE vuụng gúc AC và AE=AC, vẽ AH vuụng gúc với BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE Bài làm : Trờn AK lấy điểm H sao cho AH=BC H Ta cú : Kã AE Ã CH Vỡ cựng phụ với gúc Hã AC E Nờn EHA ABC c.g.c K AB HE ( Hai cạnh tương ứng) D Và Hã EA Bã AC , A mà : Bã AC Dã AE 1800 Hã EA Dã AE 1800 Do đú : AD//HE Khi đú : KAD KHE g.c.g KD KE B H C Bài 6: Cho ABC cú gúc A nhọn, về phớa ngoài tam giỏc ABC vẽ BAD vuụng cõn tại A và CAE vuụng cõn tại A, CMR: a, DC=BE và DC vuụng gúc với BE b, BD2 CE 2 BC 2 DE 2 c, Đường thẳng qua A và vuụng gúc với DE cắt BC tại K, CMR: K là trung điểm của BC Bài làm: a, ABE ADC =>DC=BE E Tự chứng minh DC  BE Q b, ta cú: CE 2 ME 2 MC 2 DB2 MD2 MB2 D DE 2 MD2 ME 2 BC 2 MB2 MC 2 => BD2 CE 2 MD2 MB2 ME 2 MC 2 A => BC 2 DE 2 MB2 MC 2 MD2 ME 2 M => BD2 CE 2 BC 2 DE 2 c, Trờn AC lấy điểm P sao cho AP=DE, Ta cm: ADE CPA =>CP AD CP AB, Chứng minh : Pà Bã AK Ã BK Pã CK B K C => CPK BAK BK KC P [Type text] Page 3
4. Bài 7: Cho ABC cú àA 900 , vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB, AE vuụng gúc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vuụng gúc BE D Bài làm: Ta cú: 1 E ã à à à à ã EAB A1 A2 A2 A3 CAD => AEB ACD c.g.c =>BE=CD A 3 1 Gọi I là giao của CD với AB, K là giao của CD với BE 2 1 I Từ AEB ACD c.g.c Dả Bà 1 1 K ả à à à 0 mà D1 I1 B1 I2 90 1 => IK  KB CD  BE C B Bài 8: Cho ABC cú àA 900 , vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB, AE vuụng gúc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuụng gúc với BC Bài làm: F Gọi H là giao điểm của AM và BC Trờn AM lấy điểm F sao cho MA= MF D AME FMD c.g.c AE DF M =>DF//AE=> Fã DA Dã AE 1800 Mà: Dã AE Bã AC 1800 Fã DA Bã AC E A FDA CAB c.g.c Dã AM Ã BC Mà Dã AM Hã AB 900 Ã BH Hã AB 900 => AHB vuụng tại H C H B Bài 9: Cho ABC cú àA 900 , vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB, AE vuụng gúc và bằng AC, Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung điểm của DE Bài làm: R D Kẻ DR  AM , EQ  AM Chứng minh EQA AHC AH EQ (1) M Chứng minh DRA AHB AH DR (2) E Q Từ (1) và (2) suy ra EQ=RD => EQM DRM ME MD (đpcm) A B C H [Type text] Page 4
5. Bài 10: Cho ABC cú àA 900 , vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB, AE vuụng gúc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuụng gúc với DE Bài làm: Trờn AH lấy N sao cho AH=HN D => AHC NHB c.g.c BN AC AE M ta cú: Eã AD Cã AB 1800 , Ã BN Cã AB 1800 E => Eã AD Nã BA à à à 2 => EAD NBA N E A1 à à 0 à à 0 ả 0 A 1 Mà A1 A2 90 E A2 90 M 90 AM  ED C H B N Bài 11: Cho ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giỏc ta vẽ cỏc tam giỏc vuụng cõn ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh gúc vuụng, kẻ EM, FN cựng vuụng gúc với AH, (M, N thuộc AH) a, CMR: EM+HC=NH b, EN//FM Bài làm: a, Ta chứng minh NAF= HCA (Cạnh huyền gúc nhọn) M E nờn FN=AH và NA=CH (1) 1 Tương tự ta chứng minh AHB= EMA (Cạnh huyền gúc nhọn) 1 I => AH=ME, F Nờn EM+HC=AH+NA=NH( đpcm) N b, Từ AH=FN =>ME=FN => FNI= EMI (g.c.g) => IM=IN và IF=IE à à A => FIM= EIN( c.g.c)=> F1 E1 , lại ở vị trớ so le nờn EN//FM C H B [Type text] Page 5
6. Bài 12: Cho ABC cú gúc àA 900 , Bà ,Cà nhọn, đường cao AH, vẽ cỏc điểm D và E sao cho AB là trung trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC a, CMR: ADE cõn tại A b, Tớnh số đo à IC, à KB E Bài làm: A K 2 1 I 5 a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE 4 1 3 G1 =>AD=AE=> ADE cõn tại A 2 b, IHK cú IB là tia phõn giỏc gúc ngoài và KC là tia phõn giỏc gúc ngoài cắt nhau tại A D Nờn AH là tia phõn giỏc gúc trong, J1 ã ả ả 1 2 hay AH là tia phõn giỏc gúc IHK H1 H2 Lại cú: B H C ả ả ả ả ã ã 0 ả ã 0 H1 H2 , H1 H2 KHC CHx 180 , H2 KHC 90 Kã HC Cã Hx => HC là tia phõn giỏc gúc ngoài IHK à à à à 0 KC là tia phõn giỏc gúc ngoài IHK=> IC là tia phõn giỏc gúc trong hay I3 I4 I3 I2 90 hay à IC 900 Chứng minh tương tự à KB 900 Bài 13: Cho ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giỏc ấy cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD, ACE cõn tại B và C a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuụng gúc với BE cắt HA tại K, CMR : DC  BK b, 3 đường thẳng Ah, BE và CD đồng quy Bài làm: à ả ã a, Ta cú: B1 K1 ( Cựng phụ với BCK ) K Tương tự ta cũng cú : Cà Eà ( cựng phụ với Cả ) 1 2 1 => ECB= CAK (g.c.g)=> AK=BC 2 Chứng minh tương tự ta cú : à ả DBC= BAK => C3 K2 à à ả à 0 mà : C3 I1 K2 I2 90 => KM  MI hay DC  BK E A b, KBC cú ba đường cao nờn đồng quy. D M 2 I 1 1 2 1 3 B H C [Type text] Page 6
7. Bài 14: Cho ABC cú àA 900 , vẽ ra phớa ngoài cỏc tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB, AE vuụng gúc và bằng AC a, CMR: DC=BE và DC vuụng gúc BE b, Gọi N là trung điểm của DE, trờn tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM, CMR: AB=ME và ABC = EMA c, CMR: MA  BC M E N D A B C H Bài 15: Cho ABC cõn tại A và cả ba gúc đều là gúc nhọn a, Về phớa ngoài cảu tam giỏc vẽ ABE vuụng cõn ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trờn tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR: ABI= BEC và BI  CE b, Phõn giỏc của à BC, Bã DC cắt AB và BC lần lượt tại D và M, Phõn giỏc Bã DA cắt BC tại N, CMR: 1 BD MN 2 I HD: Xột hai AIB và BCE cú: AI=BC(gt) BE=BA(gt) A IãAB là gúc ngoài của ABH nờn: IãAB à BH à HB à BH 900 Ta cú: Eã BC Eã BA à BC à BC 900 , E D Do đú: IãAB Eã BC Do đú: ABI= BEC(c.g.c) N B H M C F Do ABI= BEC(c.g.c) nờn à IB Bã CE Trong IHB vuụng tại H cú à IB IãBH 900 do đú: Bã CE IãBH 900 vậy CE vuụng gúc với BI b, Do tớnh chất của đường phõn giỏc ta cú: DM  DN Gọi F là trung điểm của MN, ta cú: FM=FD=FN FDM cõn tại F nờn Fã MD Mã DF Fã MD Mã BD Bã DM (Gúc ngoài của ) Mã BD Cã DM => Mã BD Cã DF (1) ta cú: Mã BD Cã DF Cã FD (2) Do ABC cõn tại A nờn Mã CD 2Mã BD (3) 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra: Mã BD Dã FC hay DBF cõn tại D, do đú: BD DF MN 2 [Type text] Page 7
8. Bài 16: Cho ABC. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc ABM và CAN vuụng cõn ở A, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của Mb, BC và CN, CMR: a, BN=CM N b, BN vuụng gúc với CM c, DEF là tam giỏc vuụng cõn M A F I D B E C Bài 17: Cho ABC cú đường cao AH, trờn nửa mp bờ BC cú chứa điểm A, lấy hai điểm D và E sao cho ABD và ACE vuụng cõn tại B và C, trờn tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK=BC, CMR: a, ABK= BDC b, CD  BK và BE  CK K c, Ba đường thẳng AH, BE và CD đồng quy E A N D M C B H Bài 18: Cho ABC, vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú ABM và ACN vuụng cõn ở A, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm cảu MB, BC, CN, CMR: a, BN=CM N b, BN vuụng gúc với CM c, DEF là tam giỏc vuụng cõn M A F D C B E [Type text] Page 8
9. Bài 19: ABC vuụng tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trờn tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, trờn tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH tại E, CMR : AE =BC Bài làm: Đường thẳng AB cắt EI tại F, E ABM DCM , vỡ: F AM=DM(gt), MB=MC(gt) và à MB Dã MC (đ2) => Bã AM Cã DM FB / /ID ID  AC và Fã AI Cã IA(so le) (1) I IE / / AC Fã AI Cã IA (2) Từ (1) và (2) => CIA FIA vỡ cú AI chung => IC AC AF (3) A Và Eã FA 900 (4) Mặt khỏc : Eã AF Bã AH (đ2) Bã AH à CB ( cựng phụ à BC ) => Eã AF à CB (5) M C Từ (3),(4) và (5) ta cú : AFE CAB AE BC B H D Bài 20: Cho ABC đều, trong tam giỏc lấy điểm M sao cho MB=MC và Bã MC 900 a, CMR: AMB= AMC b, trong BMC lấy điểm E sao cho Eã BC Eã CM 300 , CMR: MCE cõn c, Giả sử điểm M nằm trong tam giỏc ABC sao cho MA:MB:MC=3:4:5, Tớnh à MB Bài làm: a, AMB AMC c.c.c A b, Từ cõu a suy ra: Bã AM Cã AM 300 =>Cã AM Eã BC (1) 0 0 Do MBC vuụng cõn nờn Mã BC 45 , Eã CB 15 N nờn Eã CB 150 Eã CB Mã CA (2) Lại cú: AC=BC nờn ACM BCE c.g.c M =>CE CM , hay MCE cõn ở C c, Vẽ MBN đều, Đặt MA=3a, MB=4a. MC=5a => MN=BN=4a Ta được : ABN CBM c.g.c AN CM 5a Xột AMN cú AM=3a, AN=5a, MN=4a B C nờn AMN vuụng tại M, mà Bã MN 600 à MB 1500 [Type text] Page 9
10. Bài 21: Cho ABC, M là trung điểm của BC, trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. CMR: a, AC=EB và AC//BE b, Gọi I là 1 điểm trờn AC, K là 1 điểm trờn EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng c, Từ E kẻ EH vuụng gúc với BC , biết Hã BE 500 , Mã EB 250 , Tớnh Hã EM , Bã ME Bài làm: A a, AMC EMB cú AM=EM(gt)=> Ã MC Eã MB (đ2) I BM=MC(gt) nờn AMC EMB c.g.c =>AC=EB Vỡ AMC EMB Mã AC Mã EB AC / /BE b, Xột AMI và EMK cú AM=EM(gt) B C Mã AI Mã EK, AI EK(gt) AMI EMK (c.g.c) M H => Ã MI Eã MK , mà Ã MI IãME 1800 Eã MK IãME 1800 Vạy I, M, K thẳng hàng c, Trong BHE Hà 900 , Hã BE 500 Hã BE 900 Hã BE 400 K => Hã EM Hã EB Mã EB 400 250 150 E Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM nờn Bã ME Hã EM Mã HE 150 900 1050 Bài 22: Cho ABC cõn tại A, trờn cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM=MN=NC, Gọi H là trung điểm của BC a, CMR: AM=AN và AH vuụng gúc với BC b, Tớnh độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm A c, CM: Mã AN Bã AM Cã AN Bài làm: a, Cm: ABM ACN AM AN B C => Ã HB ãAHC 900 M H N b, Tớnh AH 2 AB2 BH 2 16 AH 4 Tớnh AM 2 AH 2 MH 2 17 AM 17 c, Trờn AM lấy điểm K sao cho AM=MK => AMN KMB c.g.c K => Mã AN Bã KM và AN=AM=BK Do BA>AM=>BA>BK=> Bã KA Bã AK Mã AN Bã AM Cã AN [Type text] Page 10