Chuyên đề bồi dưỡng HSG Hình học Lớp 6 - Chuyên đề 3: Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và tam giác - Chủ đề 1: Điểm, đường thẳng, tia

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Hình học Lớp 6 - Chuyên đề 3: Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và tam giác - Chủ đề 1: Điểm, đường thẳng, tia

1. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC HH6. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 1: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, TIA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Vị trí của điểm và đường thẳng Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A a . a A Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B a . B a 2. Ba điểm D , E , F thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng; ba điểm M , N , P không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào. P a a D E F M N 3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. 4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng. 5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành 4, 5, 6... điểm thẳng hàng. II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM 1. Có một đường thẳng và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A và B . 2. Có ba cách đặt tên đường thẳng: Dùng một chữ cái in thường: đường thẳng a , đường thẳng b , đường thẳng x , đường thẳng y ...
2. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC a Dùng hai chữ cái in thường: đường thẳng xy , đường thẳng ab , đường thẳng uv ... Dùng hai chữ cái in hoa: đường thẳng AB , đường thẳng CD ... C D 3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt: Hoặc không có giao điểm nào (gọi là hai đường thẳng song song). Hoặc chỉ có một giao điểm (gọi là hai đường thẳng cắt nhau). 4. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai giao điểm, 5. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó, rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này. III. TIA 1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia O x ra bởi O là một tia gốc O . Khi đọc (hay viết) tên một tia, ta phải đọc (hay viết) tên gốc trước.
3. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC 2. Hai tia chung gốc Ox và Oy tạo thành đường x O y thẳng xy gọi là hai tia đối nhau. Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau. 3. Hai tia trùng nhau OA và OB nếu hai tia có giao O A B điểm khác gốc O . 4. Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét 3 điểm A , B , O thẳng hàng. Nếu tia OA và tia OB đối nhau thì điểm O nằm giữa A và B . A O B Ngược lại nếu O nằm giữa A và B thì: • Hai tia OA , OB đối nhau. • Hai tia AO , AB trùng nhau; hai tia BO , BA trùng nhau. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng. I. Phương pháp giải Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng. Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán. II. Bài toán Bài 1: Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây. Lời giải Theo hình 1 (mỗi điểm trên hình vẽ là một cây).
4. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Hình 1 Bài 2: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách). Lời giải Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4 Dạng 2: Đếm số đường thẳng tạo thành từ các điểm cho trước I. Phương pháp giải Cho biết có n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ( n ¥ và n 3 ). Commented [DH1]: Lý thuyết chỉ đúng trong trường hợp trong n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng!! Kẻ từ một điểm bất kỳ với n 1 điểm còn lại được n 1 đường thẳng. Làm như vậy với n điểm nên có n n 1 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần. Do vậy số đường thẳng vẽ được là n n 1 : 2 đường thẳng. II. Bài toán Bài 1: Cho 5 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Lời giải Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm). Cách 2: Bằng cách tính: Lấy một điểm bất kì (chẳng hạn điểm M ), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm M với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng.
5. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Với 5 điểm đã cho ta có: 4 đường × 5 điểm. Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần. Chẳng hạn, khi chọn điểm M ta nối M với N , ta có đường thẳng MN . Nhưng khi chọn điểm N , ta nối N với M , ta cũng có đường thẳng NM . Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường. Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4.5: 2 10 (đường thẳng). Bài 2: Cho n điểm ( n ¥ và n 2 ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n . Lời giải n(n 1) Ta có 105 nên n(n 1) 210 2.3.5.7 15.14 . 2 Vậy n 15. Bài 3: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Lời giải Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19.20 : 2 190 . Trong a điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: (a 1)a : 2 . Vì có a điểm thẳng hàng nên qua a điểm này ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Ta có: 190 (a 1)a : 2 1 170 (a 1)a : 2 21 (a 1)a 42 (a 1)a 67 Vậy a 7 . Bài 4: a) Cho bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng? b) Cũng hỏi như trên với 5 điểm? Lời giải a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
6. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 . Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4 . Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới. Vậy số đường thẳng vẽ được là: 3 2 1 6 (đường thẳng). b) Nếu cho 5 điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 . Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 . Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A3 A4 , A3 A5 . Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4 A5 . Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới. Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4 3 2 1 10 (đường thẳng). Commented [DH2]: Chưa có kết luận cho trường hợp 5 điểm Trường hợp 10 điểm chưa có giải thích. Bài 5: a) Có 25 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bởi n điểm ( n ¥ và n 2 ) thì số đường thẳng là bao nhiêu? b) Cho 25 điểm trong đó có đúng 8 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Lời giải a) Kẻ từ một điểm bất kỳ tới các điểm còn lại vẽ được 24 đường thẳng. Làm như vậy với 25 điểm nên có 24.25 600 (đường thẳng). Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần. Do vậy số đường thẳng thực sự có là: 600 : 2 300 (đường thẳng). Lập luận tương tự có n điểm thì có: n. n 1 : 2 (đường thẳng). b) Nếu 25 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được MP;MQ; NP; NQ đường thẳng (câu a). Với 8 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 8.7 : 2 28 (đường thẳng) Còn nếu 8 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 28 1 27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300 27 273 (đường thẳng) Bài 6:
7. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC a) Cho 31 đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được. b) Cho m đường thẳng ( m ¥ , m 2 ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 190. Tính m . Lời giải a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng còn lại tạo thành 30 giao điểm. Có 31 đường thẳng nên có 30.31 930 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có: 930 : 2 465 (giao điểm) Nếu thay 31 bởi n ( n ¥ và n 2 ) thì số giao điểm có được là: n n 1 : 2 (giao điểm) b) Theo câu a ta có: m m 1 : 2 190 m(m 1) 380 m(m 1) 20.19 . Vậy m 20 . Bài 7: Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? Lời giải 1000.999 Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: 499500 (đường thẳng). 2 3.2 Số đường thẳng tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: 3 (đường thẳng). 2 Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 1 2 (đường thẳng). Vậy số đường thẳng tạo thành là: 499500 2 499498 (đường thẳng) Bài 8: Cho 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng đi qua hai trong 2022 điểm trên. Lời giải Qua 2022 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được: 2022.2021: 2 2043231(đường thẳng) Do có 22 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: 22.21: 2 1 230 (đường thẳng) Vậy qua 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng ta vẽ được: 2043231 230 2043001(đường thẳng)
8. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Bài 9: Trên tia Ox vẽ các điểm M1 ; M 2 ; M 3 . Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M 4 ; M ; M ; ...; M ; M . Trong các điểm M ; M ; M ; ...; M ; M có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ 5 6 101 102 1 2 3 101 102 qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao? Lời giải Giả sử trong các điểm M1 ; M 2 ; M 3 ; ...; M101 ; M102 1 không có ba điểm nào thẳng hàng. Từ một điểm bất kỳ trong 1 ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong 1 . Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 10302 (đường thẳng). Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả có 10302 : 2 5151 (đường thẳng). Qua 3 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 3 điểm này không thẳng hàng sẽ vẽ được số đường thẳng là: 3.2 : 2 3 (đường thẳng). Commented [DH3]: Kết quả sai Vì trong 1 có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 1 2 (đường thẳng) Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 2 5149 (đường thẳng). Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng I. Phương pháp giải ➢ Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm). ➢ Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Ta thấy cứ một đường thẳng trong n đường thẳng đã cho cắt n 1 đường thẳng còn lại tạo thành n 1 giao điểm. Vì có n đường thẳng nên số giao điểm sẽ là : n n 1 (giao điểm) Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là : n n 1 : 2 (giao điểm). Vậy có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng n(n 1) nào đồng quy thì số giao điểm là: . 2 * Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng. II. Bài toán Bài 1: Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm (của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu?
9. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC Lời giải Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau: a) Bốn đường thẳng đó đồng quy: có một giao điểm. b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó: có 4 giao điểm. c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau): có 6 giao điểm. Bài 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu? Lời giải Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp: a) Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm.
10. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy: Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm. Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm. b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy. Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm. Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm. Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm.