Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 1: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến số và chữ số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Đại số Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 1: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến số và chữ số

1. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 1-SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1:PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Tập hợp số tự nhiên: ¥ Tập hợp số tự nhiên khác 0 (nguyên dương), ký hiệu là: ¥ * Có 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8 là các số chẵn. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1;3;5;7;9 là các số lẻ. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số lẻ liên tiếp. 2.CẤU TẠO CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phân tích một số tự nhiên theo các chữ số: ab 10a b abc 100a 10b c 10ab c 100a bc abcd 1000a 100b 10c d 10abc d 100ab cd 1000a 10bc d Với điều kiện 0 a 9;0 b,c,d 9 3.SO SÁNH HAI SỐ TỰ NHIÊN Trong hai số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn. Nếu hai số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì số đó lớn hơn. Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng đều bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Viết số tự nhiên từ giả thiết cho trước I.Phương pháp giải - Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng 10 chữ số 0,1,2,3,4;5;6;7;8;9 . Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0.
2. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN - Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết đề bài để lập số. II.Bài toán Bài 1: Cho bốn chữ số 0;3;8;9 . a) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. b) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. Lời giải: a)Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất. Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm là 9. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm phải tìm là 8. Chữ số hàng chục là chữ số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3. Vậy số cần tìm là 9830. Tương tự số nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau từ 4 chữ số trên là 3089. b)Tương tự số lẻ lớn nhất thỏa mãn điều kiện đầu bài là 9803. Số chẵn nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đầu bài là 3098. Bài 2: Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc , thỏa mãn abc (a b c)3 Lời giải: Điều kiện: 0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ Nhận thấy: 100 abc 999 100 (a b c)3 999 53 (a b c)3 93 5 a b c 9 a b c 5,6,7,8,9 3 3 Nếu a b c 5 thì a b c 125 . Thử lại 1 2 5 512 (không thỏa mãn) 3 3 Nếu a b c 6 thì a b c 216. Thử lại 2 1 6 729 (không thỏa mãn) 3 3 Nếu a b c 7 thì a b c 343 . Thử lại 3 4 3 1000 (không thỏa mãn) 3 3 Nếu a b c 8 thì a b c 512 . Thử lại 5 1 2 512 (thỏa mãn) 3 3 Nếu a b c 9 thì a b c 729 . Thử lại 7 2 9 5832 (không thỏa mãn)
3. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy số tự nhiên cần tìm là 512 . Bài 3: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 24 lần hiệu của chúng. Phân tích: Bài toán có thể giải bằng “số phần” bằng cách biểu thị hiệu là 1 phần thì tổng là 5 phần và tích là 24 phần. Từ đó tính được số lớn ứng với bao nhiêu phần, số bé ứng với bao nhiêu phần. Lời giải Theo đầu bài. Nếu biểu thị hiệu là 1 phần thì tổng là 5 phần và tích là 24 phần. Số lớn là: (5+ 1) : 2 = 3 (phần). Số bé là: 5- 3 = 2 (phần) Vậy tích sẽ bằng 12 lần số bé. Ta có: Tích Số lớn Số bé Tích 12 Số bé Số lớn là 12 . Số bé là: 12 :3.2 = 8 Vậy hái số tự nhiên cần tìm là 12;8 . Bài 4: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi. Phân tích: Thực hiện biểu diễn số bị chia theo số chia, số thương và số dư, từ đó thiết lập được hai đẳng thức liên quan giữa số thương, số chia, và số dư. Cuối cùng tìm được thương. Lời giải Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a,b,c,d a,b,c,d ¥ ,b 0;d b . Ta có: a :b = c (dư d )Þ a = c.b + d Theo đề ta có: (a + 15) : (b + 5) = c (dư d )Þ a + 15 = c.(b + 5) + d Hay a + 15 = c.b + c.5+ d Mà a = c.b + d nên a + 15 = c.b + c.5+ d = c.b + d + 15 = c.b + c.5+ d Suy ra 15 = c.5 . Vậy c = 3. Bài 5: Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60. Tìm hai số đó. Lời giải Gọi 2 số đó là a,b a b;a,b ¥
4. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Theo bài ra ta có: a b 4 b a 4 1 Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60 3a b 60 2 Thay (1) vào (2) ta có 3a a 4 60 3a a 4 60 2a 56 a 28 b 24 Vậy số cần tìm là 24;28 . Bài 6: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 4008 lần hiệu của chúng. Lời giải Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 5 phần. Do đó số lớn là 5 1 : 2 3 (phần). Số bé là: 5 3 2 (phần). Tích của hai số là: 2.3 6 (phần) Mà tích hai số là 4008 nên giá trị một phần là: 4008: 6 668 . Số bé là: 668.2 1336 Số lớn là: 668.3 2004 . Vậy hai số cần tìm là 2004 và 1336. Bài 7: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng gấp 3 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 124 lần hiệu của chúng. Lời giải Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 3 phần. Do đó số lớn là 3 1 : 2 2 (phần). Số bé là: 2 1 1 (phần). Tích của hai số là: 2.1 2 (phần) Mà tích hai số là 124 nên giá trị một phần là: 124 : 2 62 . Số bé là: 62.1 62 Số lớn là: 62.2 124 . Vậy hai số cần tìm là 62 và 124.
5. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 8: Tổng của hai số tự nhiên gấp ba hiệu của chúng. Tìm thương của hai số tự nhiên ấy. Lời giải Gọi hai số đó là a và b a,b ¥ Ta có a b 3 a b a b 3a 3b 4b 2a Suy ra a 2b do đó a :b 2 Vậy thương hai số tự nhiên cần tìm là 2. Bài 9: Hiệu của hai số là 4. Nếu tăng một số gấp ba lần, giữ nguyên số kia thì hiệu của chúng bằng 60. Tìm hai số đó. Lời giải Gọi số bị trừ là là a , số trừ là b a,b ¥ Theo đề bài ta có : a b 4 1 Tăng số bị trừ lên 3 lần và giữ nguyên số chia vì hiệu của chúng bằng 60 nên :3a b 60 2 Từ 1 ta có b a 4 thay vào 2 ta được : 2a 56 suy ra a 28 suy ra b 24 . Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 24;28 . Bài 10: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 7 lần hiệu của chúng, tích của chúng gấp 192 lần hiệu của chúng. Lời giải Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 7 phần. Do đó số lớn là 7 1 : 2 4 (phần). Số bé là: 7 4 3 (phần). Tích của hai số là: 3.4 12 (phần) Mà tích hai số là 192 nên giá trị một phần là: 192 :12 16 . Số bé là: 16.3 48 Số lớn là: 16.4 64 .
6. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 64;48. Bài 11: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được: a, Số lớn nhất. b, Số nhỏ nhất. Lời giải Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên: 1357911131517192123252729 Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy1,3,5,7 . Số còn lại là: 911131517192123252729 Ta phải xoá tiếp 15 – 4 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là111315171. Số còn lại là: 992123252729 . Ta phải xoá tiếp 11– 9 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là 9923252729 . b, Lập luận tương tự câu a. số phải tìm là 1111111122. Bài 12: Tìm số lớn nhất có các chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 6. Lời giải Viết 6 thành tổng các chữ số khác nhau là 6 0;5 1;4 2;5 1 0;4 2 0;3 2 1;3 2 1 0 . Vậy số lớn nhất có các chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 6 cần tìm là 3210. Bài 13: Tìm số bé nhất có tổng các chữ số bằng 21. Lời giải Số có hai chữ số có tổng các chữ số lớn nhất là 99. Vì 9 9 18 và 18 nhỏ hơn 21 nên số cần tìm phải có nhiều hơn hai chữ số. Xét các số có ba chữ số có tổng các chữ số bằng 21. Số bé nhất phải thỏa mãn có chữ số hàng trăm bé nhất. Vì 21 18 3 nên số cần tìm là 399. Bài 14: Tìm số bé nhất, số lớn nhất có các chữ số khác nhau và tích các chữ số bằng 30. Lời giải Viết 30 thành tích các chữ số khác nhau là 6 5;6 5 1;5 3 2;5 3 2 1.
7. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Vậy số bé nhất là 56, số lớn nhất là 5321. Bài 15: Trung bình cộng của n số chẵn nhỏ nhất có hai chữ số là 14. Tìm n . Lời giải Số chẵn có hai chữ số và bé hơn 14 là 12;10 . Hai số chẵn lớn hơn 14 là 16;18 . Vậy n 5. Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số I.Phương pháp giải - Phân tích một số tự nhiên theo các chữ số. - Thông qua việc phân tích các giả thiết đề bài đề tìm số. II.Bài toán Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm. Lời giải: Gọi số cần tìm là: ab ( a 0;a,b 10;a,b ¥ ) Viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được: 12ab Theo bài ra ta có: 12ab ab.26 1200 ab ab.26 ab.26 ab 1200 ab.(26 1) 1200 ab.25 1200 ab 48 Thử lại ta thấy 1248: 48 26 . Vậy số tự nhiên cần tìm là 1248. Bài 2: Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó thì được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho. Lời giải: Gọi số phải tìm là: ab (a 0;a,b ¥ ;a,b 10) Theo bài ra ta có: ab (a b).18 4 10a b 18a 18b 4 19b 8a 4 Vì 8a 4 là số chẵn b chẵn b 0;2;4;6;8 Với b 0 8a 4 0 (vô lý) Tương tự với các trường hợp b còn lại : ta có b 4;a 9 thỏa mãn bài toán Vậy số cần tìm là 94. Bài 3: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. Lời giải:
8. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Gọi số phải tìm là: abc (0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ ) abc 5.a.b.c a,b,c 0 Nếu c 0 thì abc 0 không thỏa mãn bài toán. Nếu c 5 thì ab5 25ab 1 b 2 Số có ba chữ số chia hết cho 25 khi b525 b 7 Ta có: Vế trái (1) là một số tự nhiên lẻ nên vế phải cũng là một số tự nhiên lẻ b 2 (loại) do đó b 7 a75 25.a.7 175a a 1 Vậy số tự nhiên cần tìm là 175 . Bài 4: Tìm các chữ số a, b , c thỏa mãn: a) ab bc ca abc b) abcd abc ab a 4321 Lời giải: Điều kiện: 0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ a) Ta có abc 11(a b c) 100a 10b c 11a 11b 11c b 10c 89a 99 a 1 b 9;c 8 (do :b 10c 99) b) Ta có: abcd abc ab a 1111.a 111.b 11.c d Vậy 1111.a 111.b 11.c d 4321 Nếu a 3 thì 111.b 11.c d 2098 (vô lý vì b,c,d 10) Nếu a 3 thì vế trái 4321 (không thỏa mãn) Vậy a 3. Suy ra 111.b 11.c d 988 Nếu b 8 thì 11.c d 210 (vô lý vì c,d 10 ) Nếu b 8 thì vế trái 988 (không thỏa mãn) Vậy b 8. Suy ra 11.c d 100 + Nếu c 9 thì d 11 (vô lý vì d 10 ) Do đó c 9;d 1 Vậy a 3,b 8,c 9,d 1 thỏa 3891 389 38 3 4321.
9. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 5: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp ba lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó. Phân tích: Gọi số cần tìm là abcde . Khi viết thêm chữ số 2 vào đằng sau ta được abcde2 Khi viết thêm chữ số 2 vào đằng trước ta được 2abcde . Do đó ta cần phân tích các số abcde2 và 2abcde theo abcde , từ đó theo mối quan hệ bài cho tìm được abcde . Lời giải Gọi số cần tìm là: abcde 0 a 9;0 b,c,d,e 9;a,b,c,d,e ¥ Theo bài ra ta có: abcde2 = 3.2abcde Þ 10.abcde + 2 = 3.200000 + 3.abcde Þ 7.abcde = 599998 Þ abcde = 85714 Thử lại: 857142 = 3.285714 Vậy số cần tìm là 857142 . Bài 6: Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị. Phân tích: Gọi số cần tìm là abc3. Khi xóa chữ số 3 ta được abc , do đó ta cần phân tích cấu tạo số abc3 theo abc , và theo mối quan hệ bài cho tìm được abc rồi suy ra số cần tìm. Lời giải Vì rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì số đó giảm đi 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có 4 chữ số. Gọi số tự nhiên cần tìm là abc3 0 a 9;0 b,c 9;a,b,c ¥ Theo bài ra ta có: abc3- 1992 = abc Þ 10.abc + 3- 1992 = abc Þ 9.abc = 1989 Þ abc = 221 Vậy số cần tìm là 2213. Bài 7: Tìm ba chữ số khác nhau và khác 0 , biết rằng nếu dùng cả ba chữ số này lập thành các số tự nhiên có ba chữ số thì hai số lớn nhất có tổng bằng 1444 . Phân tích: Ba số cần tìm là a,b,c (0 < a < b < c < 9) . Như vậy tổng abc acb cần phân tích cấu tạo số theo a, b, c ta được 200a 11 b c , việc còn lại ta phân tích số 1444 về dạng 200.7 11.4 Rồi đồng nhất với 200a 11 b c để tìm ra a, b, c Lời giải Gọi ba chữ số cần tìm là a,b,c (0 < a < b < c < 9;a,b,c Î ¥ ) . Theo bài ra ta có: abc + acb = 1444
10. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Û 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 1444 Û 200a + 11b + 11c = 1444 Û 200a + 11(b + c) = 1400+ 11.4 Þ a = 7;b = 3;c = 1. Vậy 3 số cần tìm là:1;3;7 . Bài 8: Cho ba chữ số a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số được lập từ ba chữ số a,b,c bằng 627. Tính tổng a b c . Lời giải: Ta có các số có hai chữ số được lập thành từ ba chữ số a,b,c là: ab ac ba bc cb ca aa bb cc Theo đầu bài ta có: ab ac ba bc cb ca aa bb cc 627 33(a b c) 627 a b c 19 Vậy a b c 19. Bài 9: Tích của hai số là 6210 . Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265 . Tìm các thừa số của tích. Phân tích: Từ mối liên hệ bài cho ta thiết lập được hai đẳng thức liên quan tới hai số, từ đó tìm được hai số. Lời giải Gọi thừa số được giảm là a , thừa số còn lại là b . Theo đề bài ta có: a.b = 6210 ;(a- 7).b = 5265 Þ a.b- 7.b = 5265 Þ 6210- 7.b = 5265 Þ 7.b = 6210- 5265 Þ 7.b = 945 Þ b = 945:7 = 135 Þ a = 6210 :135 = 46 Vậy hai thừa số cần tìm là 46;135. Bài 10: Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta được một số mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là 2 dư 21. Tìm số đó. Phân tích: Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số 7 là hàng đơn vị 7ab số tự nhiên có chữ số 7 là hàng trăm Bằng việc phân tích cấu tạo số ta có thể giải bài toán theo hai cách: Phân tích cấu tạo số theo ab Lời giải