Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 4: Dãy số viết theo quy luật: Dãy cộng và các dãy khác

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 1: Số tự nhiên - Chủ đề 4: Dãy số viết theo quy luật: Dãy cộng và các dãy khác

1. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 4. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT - Dãy cộng là dãy số cĩ mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng liền trước nĩ cùng một số đơn vị. - Dãy cộng là dãy số cách đều - Một số phương pháp giải: Phương pháp 1: + Tính số các số hạng trong tổng theo cơng thức : Số số hạng Số hạngcuối Số hạng đầu :Khoảngcách 1 + Nhĩm hai số hạng thành một cặp sao cho giá trị trong mỗi cặp bằng nhau. (Lưu ý cĩ thể nhĩm vừa hết các số hạng thành các cặp nếu số số hạng là số chẵn hoặc cịn thừa một số hạng nếu số số hạng là số lẻ). Cách tính số hạng thứ n trong dãy là: Sốá hạngthứ n Số số hạng 1 .Khoảngcách Số hạng đầu + Tính tổng dựa vào giá trị của một cặp và số cặp vừa nhĩm. Lưu ý khi tìm số cặp mà cịn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số hạng dư đĩ vào. Phương pháp 2: + Dựa vào cơng thức: Số số hạng Số hạngcuối Số hạng đầu :Khoảngcách 1 Tổng Số hạng đầu Số hạngcuối .Số số hạng:2 Phương pháp 3: + Dựa vào bài tốn Gau-xơ : Viết tổng A theo thứ tự ngược lại và tính A + A . Từ đĩ tính được tổng A . Phương pháp 4: + Phương pháp khử liên tiếp: Tách một số hạng thành một hiệu trong đĩ số trừ của hiệu trước bằng số bị . trừ của hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , ..., an = bn – bn+ 1 Khi đĩ ta cĩ ngay An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 Phương pháp 5: Phương pháp dự đốn và quy nạp. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính tổng các số hạng cách đều I.Phương pháp giải
2. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Muốn tính tổng của một dãy số cĩ quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau: Số hạngcuối Số hạng đầu Bước 1: Tính số số hạng cĩ trong dãy: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạngcuối Số hạng đầu Bước 2: Tính tổng của dãy: Tổngcủa dãy .Sốsố hạng 2 (quy tắc dân gian: dĩ đầu, cộng vĩ, chiết bán, nhân chi) Với dãy số tăng dần ta cĩ: Số hạngcuối Số hạnglớn nhất Số hạng đầu Số hạng nhỏnhất Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đĩ là dãy tăng dần. n 1 .n *) Chú ý: Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là: S 1 2 3 ... n với n N;n>3 2 II.Bài tốn Bài 1: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số? Tính tổng của chúng. Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên cĩ hai chữ số là 10;11;12;...;99 Số các số này là: 99 10 1 90 (số) Ta cĩ: A 10 11 12 ... 99 1 A 99 98 ... 11 10 2 Cộng 1 với 2 và áp dụng tính chất giao hốn và kết hợp của phép cộng ta được: A A 10 99 11 98 ... 98 11 99 10 109 109 ... 109 109 Nên 2A 109.90 A 109.90 : 2 45.109 4905 Cách 2: 99 10 Số số hạng của dãy: 1 90 (số hạng) 1 (khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99) 99 10 Tổng của dãy: A .90 4905 2
3. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tính giá trị của A biết A 1 2 3 4 .... 2014 . Lời giải: Dãy số trên cĩ số số hạng là 2014 – 1 :1 1 2014 (số hạng) Giá trị của A là 2014 1 . 2014: 2 2029105 Đáp số: 2029105 Bài 3: Cho dãy số: 2,4,6,8,10,12,.............. Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên? Số hạngcuối Số hạng đầu *) Phân tích: Từ cơng thức Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Ta cĩ: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạngcuối Số hạng đầu Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạng đầu Số hạngcuối Số hạng đầu Số hạngcuối Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Lời giải: Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là 2014 –1 . 2 2 4028 Đáp số: 4028 Bài 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đĩ là 2019 ? *) Phân tích: Với dãy số tăng dần ta cĩ: Số hạngcuối Số hạnglớn nhất Số hạng đầu Số hạng nhỏnhất Số hạng đầu Số hạngcuối Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Lời giải: Số hạng bé nhất trong dãy số đĩ là: 2019 50 – 1 .2 1921 Tổng của 50 số lẻ cần tìm là 2019 1921 . 50: 2 98500 Đáp số: 98500 Bài 5: Một dãy phố cĩ 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đĩ được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đĩ bằng 915 . Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đĩ là số nào? *) Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số cĩ quy luật tăng dần: Số hạngcuối Số hạng đầu Bước 1: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp
4. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Suy ra: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạngcuối Số hạng đầu Số hạngcuối Số hạng đầu Bước 2: Tổngcủa dãy .Sốsố hạng 2 Suy ra: 2.Tổngcủa dãy : Sốsố hạng Số hạngcuối Số hạng đầu Bài tốn cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đĩ ta hướng dẫn học sinh chuyển bài tốn về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đĩ. Lời giải: Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là 15 1 . 2 28 Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là 915 . 2 :15 122 Số nhà đầu tiên trong dãy phố đĩ là 122 28 : 2 47 (bài tốn tổng hiệu quen thuộc) Đáp số: 47 Bài 6: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên. *) Phân tích: Để giải bài tốn ta cần xác định được quy luật cách đều của các số lẻ liên tiếp. Tuy nhiên các số hạng trong tổng đã biết nên ta chỉ cần áp dụng cơng thức tính tổng như đã nêu trong phương pháp Lời giải: Tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41 Cách 1: Tính tổng theo cơng thức trong phương pháp Các số hạng liên tiếp trong tổng cách đều nhau một giá trị d 2 và trong tổng cĩ 21 số hạng nên: 41 1 .21 S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41 441 2 Cách 2: Nhĩm số hạng tạo thành những cặp số cĩ tổng bằng nhau, ta thấy: 1 41 42 3 39 42 5 37 42 7 35 42.... Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều cĩ tổng là 42 Số cặp số là: 20 : 2 10 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21 Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 42.10 21 441 Bài 7: Tính tổng của A 1 2 3 4 ... 2021. *) Phân tích: Nhận thấy dãy số 1,2,3,4,...,2019 là dãy số tự nhiên cách đều. Khoảng cách giữa hai số hạng liền kề là 1. Để tính tổng A ta vận dụng cả bốn phương pháp đầu đã nêu đều được cụ thể ta cĩ các cách giải sau:
5. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Cách 1: Tổng A cĩ số số hạng là: 2021–1 :1 1 2021 (số hạng) Do đĩ ta cĩ thể chia A thành 1010 cặp và dư 1 số hạng chẳng hạn số 2021 A 1 2 3 4  2020 2021 A 1 2 3 4  2020 2021 A 1 2020 2 2019 .... 1010 1011 2021 A 2021 .1010 2021 A 2021. 1011 A 2043231 Cách 2: Tổng A cĩ số số hạng là: 2021–1 :1 1 2021 Tính tổng: A (2021 1).2021: 2 2043231 Cách 3: Tính A A A 1 2 3 4  2020 2021 (cĩ 2021 số hạng) + A 2021 2020 2019 2018 2 1 Do đĩ: 2A 2022 2022 2022 ... 2022 2022 (cĩ 2021 số hạng) 2A 2022.2021 A 2022. 2021: 2 2043231 Cách 4: Trước hết ta tách số hạng đầu tiên của A (là số 1) thành một hiệu trong đĩ cĩ một số hạng là tích của hai số hạng liên tiếp trong tổng A (một thừa số là số hạng đầu tiên 1): 1 1 (1.2 – 0.1) 2 Từ đĩ ta cĩ thể tách các số hạng cịn lại của tổng A thành các hạng tử mà khi tính tổng A các hạng tử cĩ thể triệt tiêu hàng loạt: 1 1 1 2 (2.3 –1.2); 3 (3.4 – 2.3);...;2021 (2021.2022 2020.2021) 2 2 2 Do đĩ: 1 A (1.2 – 0.1 2.3 –1.2 3.4 – 2.3 ... – 2019.2020 2021. 2022 – 2020.2021) 2 1 A .2021.2022 2043231 2
6. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Cách 5: Từ cách phân tích để cĩ lời giải cách 4 trên chúng ta cũng cĩ thể nghĩ đến trình bày bài tốn theo cách sau gọn hơn: A 1 2 3 4  2020 2021 2A 2 1 2 3 4  2021 2A 1.2 2.2 2.3 2.4 ... 2. 2021 2A 1. 2 – 0 2. 3 –1 3. 4 – 2 ... 2021. 2022 – 2020 2A 1.2 2.3 –1.2 3.4 – 2.3 ... 2022. 2021– 2020. 2021 2A 2022. 2021 A 2022. 2021: 2 2043231 Nhận xét: Ở cách 5 dùng phương pháp khử liên tiếp. Mỗi số hạng của A (chỉ cĩ một thừa số ) và khoảng cách giữa hai số hạng là 1 ta đã nhân A với 2 lần khoảng cách Bài 8: Tính tổng A 1 2 3 ... 100 . Lời giải: Cách 1: (1 100).100 n.(n 1) Ta cĩ: A 5050 TQ : A 1 2 ... n 2 2 Cách 2: A 1 2 3 ... 100; A 100 99 98 .... 1 2A 1 100 2 98 ... 100 1 101.101 5050 Cách 3: 1 1 (1.2 0.1); 2 1 2 (2.3 1.2); 2 1 3 (3.4 2.3); 2 ..................... 1 100 (100.101 99.100) 2 1 A .100.101 5050 2 Bài 9: Tính tổng A 2 4 6 ... 100 . Lời giải: Tổng A cĩ: 100 2 : 2 1 50 (số hạng)
7. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN (100 2).50 (2 2n).n A 2550 TQ : A 2 4 .. 2n(n N * ) A n(n 1) 2 2 Bài 10: Tính tổng A 1 3 5 ... 49 . Lời giải: Tổng A cĩ: 49 1 : 2 1 25 (số hạng) (1 49).25 50.25 A 625 2 2 (1 2n 1).n TQ : A 1 3 .. (2n 1)(n N * ) A n.n n2 2 1 3 5 19 Bài 11: Tính tổng S 1 2 .... 9 . 2 2 2 2 *) Phân tích: Đây là ví dụ mà các số hạng trong tổng vừa là số nguyên, vừa là phân số. Để tìm ra quy luật của các số hạng trong tổng ta cần viết các số nguyên trong tổng dưới dạng phân số cĩ mẫu số là 2. Khi đĩ ta cĩ tổng các phân số cĩ cùng mẫu số, và tổng các tử số chính là tổng các số tự nhiên liên tiếp Lời giải: 1 3 5 19 1 2 3 19 1 2 .... 19 Ta cĩ: S 1 2 .... 9 .... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Xét tổng 1 2 ... 18 19 là tổng của 19 số tự nhiên liên tiếp 19 1 .19 1 2 ... 18 19 190 2 190 Ta cĩ tổng S 95. 2 Bài 12: Tính tổng S 2 5 8 11 ... 47 50 . Lời giải: Các số hạng cách đều nhau một giá trị d 3 Tổng này cĩ 50 2 : 3 1 17 số hạng S 17. 50 2 : 2 442 Bài 13: Tính tổng S 5 10 15 ... 100 . Lời giải: Các số hạng cách đều nhau một giá trị d 5 Tổng này cĩ 100 5 : 5 1 20 số hạng
8. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN S 20. 100 5 : 2 1050 Bài 14: Tính tổng A 98 93 88 ... 13 8 3. Lời giải: 98 3 .20 Tổng A cĩ 98 3 : 5 1 20 (số hạng) A 1010 2 Bài 15: Cho S 7 9 11 ... 97 99 . a) Tính tổng S trên. b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên. Lời giải: + Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99. + Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2 + S cĩ số số hạng được tính bằng cách 99 – 7 : 2 1 47 Tổng của dãy: S 99 7 .47 : 2 2491 b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là : 33–1 .2 7 71 Bài 16: Cho dãy số 2;7;12;....;22;.... a) Nêu quy luật của dãy số trên. b) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đĩ, bắt đầu từ số hạng thứ năm. c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số. Lời giải: Xét dãy số 2;7;12;...22... a) Quy luật: Dãy số cách đều với khoảng cách 5 b) B 22;27;32;37;42 c) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là x , ta cĩ: (x 2) :5 1 100 x 497 . Do vậy tổng 100 số hạng đầu của dãy là: (2 497)100 : 2 24950 Bài 17: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456.... a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số nào? Lời giải: Viết liền nhau các số tự nhiên 123456...
9. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN a) 9 chữ số đầu tiên: 1,2,...,9. 44 số cĩ hai chữ số tiếp theo: 10,11,...,53 . Þ Chữ số hàng đơn vị của số 53 ở hàng số: 9 44.2 97 Tương tự, chữ số hàng đơn vị của số 328 ở hàng số 9 90.2 229.3 876; chữ số hàng đơn vị của số 1587 ở hàng số 9 90.2 900.3 588.4 5241. b) Ta cĩ: 427 9 90.2 79.3dư1 Khi đĩ số thứ 81 cĩ 3 chữ số là: 179. Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số 1. 1 5 7 101 103 Bài 18: Tính tổng S 1 3 ... 35. 3 3 3 3 3 Lời giải: 1 5 7 101 103 1 3 5 7 ... 101 103 105 Ta cĩ S 1 3 ... 35 3 3 3 3 3 3 Xét tổng 1 3 5 .... 101 103 105 là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị Tổng này cĩ: n 105 1 :2 1 53 số hạng 105 1 .53 1 3 5 .... 101 103 105 2809 2 2809 Ta cĩ tổng S 3 Bài 19: Tính tổng B =1 4 7 10  70 73. Lời giải: B 1 4 7 10  70 73 6B 1.6 4.6 7.6 10.6 ... 70.6 73.6 6B 1. 4 2 4. 7 –1 7 10 – 4 ... 73 76 – 70 6B 1.4 1.2 4.7 –1.4 7.10 – 7.4 ... 73.76 – 73.70 6B 2 73.76 6B 5550 B 925 *) Nhận xét: Như vậy tùy từng dạng bài và mức độ tiếp thu kiến thức của mỗi học sinh, thầy cơ cĩ thể vận dụng linh hoạt các phương pháp giải sao cho học trị dễ nhớ, phù hợp. *) Mở rộng: Viết cơng thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều sau: An 1 2 3  n –1 n
10. CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Bằng các cách tính tổng tương tự như bài tốn 1 ta cĩ: An n n 1 : 2 (n N*) 1 Tuy nhiên cĩ thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp qui nạp: - Khi n 1 ta cĩ: A1 1 1 1 : 2 1 đúng. - Giả sử bài tốn đúng với n k 1 (k N) , nghĩa là: Ak 1 2 3  k –1 k k k 1 : 2 - Ta xét: Ak 1 1 2 3  k –1 k k 1 Ak k 1 k k 1 : 2 k 1 k 1 (k 2) 2 Tức là bài tốn đúng với n k 1. Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 , ta cĩ: An 1 2 3  n –1 n n n 1 : 2 Nhận xét: Ta cĩ thể chứng minh 1 bằng phương pháp qui nạp sau đĩ áp dụng để tính các tổng cĩ dạng đĩ. Dạng 2: Tổng cĩ dạng S 1 a a2 a3 ... an 1 1 1 1 1 hoặc S 1 ... 2 với a N*;a 1 a a2 a3 an I.Phương pháp giải Bước 1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được: 1 1 1 1 S 1 a a2 a3 ... an 1 hoặc S 1 ... 2 với a N*;a 1 a a2 a3 an a.S a a2 a3 ... an 1 3 1 1 1 Hoặc a.S a 1 ... 4 a a2 an 1 an 1 1 Bước 2: Lấy 3 2 vế với vế ta được: a.S S an 1 1 S a 1 1 an 1 1 Lấy 4 2 vế với vế ta được: a.S S a S an an a 1 II.Bài tốn