Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Tìm chữ số tận cùng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 6: Tìm chữ số tận cùng

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4,9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 6. Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a : - Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1,5,6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 . - Nếu chữ số tận cùng của a là 3,7,9: Phân tích: am = a4n+ r = a4n .ar với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar . - Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8: cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6ar . Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 . b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 . c) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Tính chất 4: Nếu a Î ¥ và (a , 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125.
2. Chứng minh: Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 Þ a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a100 - 1 = (a20 - 1) (a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = nk với n,k Î N . k - Giả sử A = 10q+ r . Khi đó, A k = (10q+ r ) = 10t p + r k với r Î ¥ ; 0 £ r £ 9 Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k . - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A . - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A . m - Nếu A = 10 .am + am- 1...a0 = am ...a1a0 thì am- 1...a0 là m chữ số cuối cùng của A . 2. Tìm hai chữ số tận cùng Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 100. Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = an : Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 º 76 (mod 100) 320 º 01 (mod 100) 65 º 76 (mod 100) 74 º 01 (mod 100) Mà: 76n º 76 (mod 100) với n ³ 1, 5n º 25 (mod 100) với n ³ 2 . Suy ra kết quả sau với k Î ¥ * : a20k º 00 (mod 100) nếu a º 0 (mod 10), a20k º 01 (mod 100) nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 10), a20k º 25 (mod 100) nếu a º 5 (mod 10), a20k º 76 (mod 100) nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 100). Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ n chia cho 20.
3. Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); 74; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01. - Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76. - Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1) - Các số 320;74;910;512;815;992 có chữ số tận cùng là 01. (2) - Các số 410;65;184;242;684;742 có chữ số tận cùng là 76. (3) - Số26n (n > 1) có chữ số tận cùng là 76. (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. CHÚ Ý: - 410 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25 . - 820 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 910 có 2 chữ số tận cùng là 01. 3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. k Giả sử n = 100k + r với 0 £ r < 100, khi đó: an = a100k+ r = (a100) .ar . Giả sử: a º x (mod 10), x Î {0, 1, 2, ..., 9} 100 Ta có: a100 = (10k + x) º x100 (mod 1000) Vậy 3 chữ số tận cùng của a100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x100. Dùng quy nạp với mọi n ³ 1, ta có: 625n º 625 (mod 1000), 376n º 376 (mod 1000). - Nếu x = 0 thì x100 º 000 (mod 1000)
4. 25 - Nếu x = 5 thì x 4 = 54 = 625 Þ x100 = (54 ) º 625 (mod 103) - Nếu x = 1; 3; 7; 9 ta có tương ứng: 25 x 4 = 1;81; 2401; 6561 º 1 (mod 40) Þ x100 = (40k + 1) º 1 (mod 103) - Nếu x = 2;4; 6;8 thì x100 M2100 M8 . Ta có: (x , 125) = 1 nên x100 º 1 (mod 125) (Định lí Euler). Giả sử 3 chữ số tận cùng của x100 là abc ta có: x100 = 1000k + abc Þ abc M8 và abc º 1 (mod 125) Trong các số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số chia hết cho 8 là 376. Vậy x100 º 376 (mod 1000). Do đó ta có kết quả sau: a100k º 000 (mod 103) nếu a º 0 (mod 10) a100k º 001 (mod 103) nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 10) a100k º 625 (mod 103) nếu a º 5 (mod 10) a100k º 376 (mod 103) nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 10) Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của an ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n . Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625. - Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 0625. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của 187324 Lời giải: Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1. Do đó: 81 187324 (1874 )81 .1 1 Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1 Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a)1567 b)10619 c)1567 10619 d)1567.10619 Phân tích:
5. - Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. - Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. Lời giải a) 1567 có chữ số tận cùng là 6 b) 10619 có chữ số tận cùng là 1 c) Theo câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa : 1567 10619 là 7 d) Theo kết quả câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa: 1567.10619 là 6 . Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của 52020 Phân tích: Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 5. Lời giải Ta thấy 54 = 625, số tận cùng bằng 5 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 5 nên ta phân tích 52020 = 54.505 = 625505 . Vậy số 52020 có chữ số tận cùng bằng 5. Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a)72006 b)8732 c)91991 d) 2335 e)7430 f )74n 1 Lời giải a)72006 72004.72 74.501.72 .....1.49 .....9 Vậy chữ số tận cùng của 72006 là 9 . b)8732 874.7 .....1 Vậy chữ số tận cùng của 8732 là 1. c)91991 91988.93 94.497.93 ......1......9 .....9 Vậy chữ số tận cùng của 91991 là 9 . d) 2335 2332.233 234.8.233 .....1......7 .....7 Vậy chữ số tận cùng của 2335 là 7 . 15 e)7430 742 (.....6)15 .....6 Vậy chữ số tận cùng của 7430 là: 6 . f )74n 1 .....1 1 .....0 Vậy chữ số tận cùng của 74n 1 là 0 . Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a)735 431 b) 24n 1 2 c) 21930.91945 Lời giải
6. a) Ta có: 735 732.73 74.8.73 .....1.343 .....3 Vậy chữ số tận cùng của 735 431 là 3 . b) Ta có: 24n 1 24n.2 (24 )n .2 16n.2 .....2 24n 1 2 .....2 2 .....4 Vậy chữ số tận cùng của 24n 1 2 là 4 . c) Ta có: 21930 21928.22 24.482.4 .....6.4 .....4 91945 91944.91 94.486.9 .....1.9 .....9 21930.91945 .....4......9 .....6 Vậy chữ số tận cùng của 21930.91945 là 6 . Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các phép toán sau: a)118 128 138 148 158 168 b)11123 13124 15125 c)125205 23715 Lời giải a) Ta có: - 18 có chữ số tận cùng là 1. - 28 có chữ số tận cùng là 6 . - 38 có chữ số tận cùng là 1. - 48 có chữ số tận cùng là 6 . - 58 có chữ số tận cùng là 5 . - 68 có chữ số tận cùng là 6 . Tổng các chữ số này bằng: 1 6 1 6 5 6 25. Vậy 118 128 138 148 158 168 có chữ số tận cùng là 5. b) Ta có: - 1123 có chữ số tận cùng là 1. - 3124 có chữ số tận cùng là 1. - 5125 có chữ số tận cùng là 5 . Tổng các chữ số này bằng: 1 1 5 7 . Vậy 11123 13124 15125 có chữ số tận cùng là 7 . c) Ta có: - 5205 có chữ số tận cùng là 5 . - 715 có chữ số tận cùng là 3 . Tổng các chữ số này bằng: 5 3 2 . Vậy 125205 23715 có chữ số tận cùng là 2 .
7. Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + ¼ + 20048009. Phân tích: Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia 4 dư 1. Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng không đổi. Lời giải: 4(n – 2) + 1 Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1(các lũy thừa đều có dạngn , n thuộc {2;3;4...;2004}) Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + ¼ + 9)+ 199.(1+ 2 + ¼ + 9)+ 1+ 2 + 3 + 4 = 200(1+ 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Tổng quát hóa: 4(n- 2)+ 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:S = 21 + 35 + 49 + ¼ + n Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + ... + 20048011. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n- 2)+ 3 , n thuộc {2;3;4...;2004}) Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1+ 8 + 7 + 4 = 200.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa: 4(n- 2)+ 3 Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + ¼ + n Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) 22003 b) 799 Lời giải: a) Do 22003 là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n 125 .
8. Ta có 210 1024 210 1 102525 220 1 210 1 210 1 25 23 220 1 100. Mặt khác: 100 22003 23 22000 1 23 23 220 1 23 100k 8 k N . Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. b) Do 799 là số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n 1100 . Ta có 74 2401 74 1100 . Mặt khác : 99 1∶ 4 99 4k 1 k N Vậy 799 74k 1 7 74k 1 7 100q 7 q N tận cùng bởi hai chữ số 07 . Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 Lời giải Ta thấy: 74 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. 497 497 Do đó: 71991 = 71988.73 = (74 ) .343 = (...01) .343 = (...01).343 = ...43. Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43. Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận cùng của 2100 Lời giải Chú ý rằng: 210 = 1024 bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76 , số có tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 . 10 5 5 Do đó 2100 = (210) = 102410 = (10242) = (...76) = ...76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 . Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của: 99 a) 5151; b) 9999 ; c) 6666; d) 14101.16101 Hướng dẫn: 25 25 a) 5151 = (512) .51 = (K 01) .51 = K 51. 99 k k b) 9999 = 992k+ 1 = (992) .99 = (K 01) .99 = (K 99). 133 c)6666 = (65) .6 = (K 76).6 = K 56. 101 50 50 d) 14101.16101 = (14.16) = 224101 = (2242) .224 = (K 76) .224
9. = (K 76).224 = K 24 . Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577 Lời giải Ta thấy: Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = ...76 Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng của 1577 mà 77 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+ 17.577 = 317 (...01).(...25) = (...63)(...25) = ...75. Suy ra: 197656.201577 = (...76).(...75) = ...00. Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00 . Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999 Lời giải Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025M25 suy ra 220 – 1 = (210 + 1)(210 – 1)M25 50 Ta lại có 21000 – 1 = (220) – 1M220 – 1suy ra 21000 – 1M25 Do đó21000 chữ số tận cùng là 26;51;76nhưng 21000 M4 Suy ra21000 tận cùng là 76 Þ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 M4 Vậy 2999 tận cùng là 88 Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88 . Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020 Lời giải Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512)1010 = 26011010 . Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 512020 là 01. Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 72015 b) 5766 Lời giải a) Ta có: 74 = 2401 nên 72015 = 74.503+ 3 = (74)503.73 = 2401503.343 = (...01).343 = ...43 2015 Chữ số tận cùng của 7 là 43. b) Ta có 5766 = (574)16.572 = (...01)16.3249 = ...49 Chữ số tận cùng của 5766 là 49 .
10. Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận cùng của 52008 Lời giải: 52008 =54.502=(54)502 54 có tận cùng là 625 502 Suy ra 54 có tận cùng là 625 Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625. Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 . Lời giải Ta có: 210 1024  024(mod1000) 250 (210 )5  245  624(mod1000) 2 2100 250  6242  376(mod1000) Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là376 . Ví dụ 3.3: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101 Phân tích: Nhận thấy rằng 123,5 1 nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125. Lời giải: + Vì 123,5 1nên áp dụng tính chất ta có 123101 1 chia hết cho 125. (1) + Ta lại có chia hết cho 8 (2) Vì 8;125 1và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000 Khi đó Vậy ba chữ số tận cùng của là 123. 2003 Ví dụ 3.4: Tìm ba chữ số tận cùng của 29 Lời giải - Tìm 2 chữ số tận cùng của 92003 Ta có 92003 = 93.92000 = 93.(320)50 º 29 (mod1 00) 2003 - Khi đó ta có 29 = 2100k+ 29 = 229.2100k º 912.376 º 912(mod 1000) Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 . 213 Ví dụ 3.5: Tìm ba chữ số tận cùng của 37 Lời giải