Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 2: Bội và ước của số nguyên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 7: Số nguyên - Chủ đề 2: Bội và ước của số nguyên

1. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 7-SỐ NGUYÊN CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT A. Các định nghĩa 1. Ước và Bội của một số nguyên Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b . Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a . 2. Nhận xét - Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. 3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết. Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k b 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Ước chung của các số a,b,c được kí hiệu là ƯC a,b,c . 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a,b,c được kí hiệu là: BC a,b,c . 6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất - Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. - Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. B. Các tính chất - (a,1) 1;a,1 a . - Nếu ab (a,b) b;a,b a . - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a dm 10 2.5 - Nếu (a,b) d; (m,n) 1; Ví dụ: (10,15) 5; (2,3) 1. b dn 15 3.5 c am 30 10.3 - Nếu a,b c; (m,n) 1; Ví dụ: 10,15 30; (2,3) 1. c bn 30 15.2
2. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN - ab (a,b).a,b . - Nếu a là ước của b thì a cũng là ước của b . - Nếu a là bội của b thì a cũng là bội của b . PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm ước và bội của một số nguyên. Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên). Dạng 3: Phương trình ước Dạng 1: Tìm ước và bội của một số nguyên. I.Phương pháp giải - Từ việc tìm ước và bội của một số tự nhiên suy ra ước và bội của một số nguyên. - Chú ý: Nếu a là ước của b thì a cũng là ước của b . Nếu a là bội của b thì a cũng là bội của b . II.Bài toán Bài 1: Tìm 5 bội của 3 ; - 3. Lời giải: 5 bội của 3 là: 0;3; 3;6; 6 . 5 bội của 3 là: 0;3; 3;6; 6 . Bài 2: Tìm tất cả các ước của - 3; 6; 11; - 1. Lời giải: Ư 3 1; 3 . Ư 6 1; 2; 3; 6 . Ư 11 1; 11 . Ư 1 1 . Bài 3: Cho hai tập hợp số A = {2;3;4;5;6} và B = {21;22;23} . a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng (a + b) với a Î A và b Î B ? b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2? Lời giải: a) Số các nhiêu tổng dạng (a + b) với a Î A và b Î B là 5.3 15 tổng. b) Số các tổng chia hết cho 2 là: 3.1 2.2 7 tổng. Bài 4:
3. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Điền số vào ô trống cho đúng: x 36 3 - 34 0 11 y - 3 - 7 - 17 - 50 - 1 x : y 7 - 1 Lời giải: x 36 49 3 - 34 0 11 y - 3 - 7 3 - 17 - 50 - 1 x : y 12 7 - 1 2 0 11 Bài 5: 1) Cho A 1 2 3 4 ... 99 100 a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ? 2) Thay a,bbằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b45 3) Cho a là một số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ . Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau: a 11;a 2002;a 2003;a 11570;a 22789;a 29563;a 299537 Lời giải: 1a) A 50 1b) A2cho5, A không chia hết cho 3 1c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên. 2)Ta có: 45 9.5 mà 5,9 1 b 0 Do 24a68b45 suy ra 24a68b5 b 5 Th1: b 0 ta có số 24a680 Để 24a6809 thì 2 4 a 6 8 0 9 a 209 a 7 Th2: b 5 ta có số 24a685
4. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Để 24a6859 thì 2 4 a 6 8 5 9 hay a 259 a 2 a 7,b 0 Vậy a 2,b 5 3)Số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ hay a là số chia 3 dư 1 Vậy a có thể nhận những giá trị là a 2002;a 22789;a 29563 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên). I.Phương pháp giải A Tìm số n ( n Z ) để số A chia hết cho số B hoặc là số nguyên, trong đó A, B là các số phụ thuộc vào B số n . - Viết số A dưới dạng A kB m k,m Z - Lập luận: + Vì kB chia hết cho B , nên để A chia hết cho B thì số m phải chia hết cho B hay B là ước của m . + Giải điều kiện B là ước của số m , ta tìm được n . II.Bài toán Bài 1: Tìm n ¢ biết: 3n 8  n 1 Lời giải: Ta có: 3n 8 3n 3 5 3 n 1 5 Suy ra : 3n 8  n 1 khi n 1 Ư (5) 1; 5. Vậy n 6; 2;0;4 . Bài 2: Tìm số nguyên n để n2 3n 6  n 3 Lời giải: Ta có n2 3n 6 n n 3 6 Vì n n 3  n 3 , nên để n2 3n 6  n 3 thì 6 n 3 Mà n Z nên n 3 là ước của 6
5. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN n 3 3; 6 n 0; 6;3; 9 Vậy n 0; 6;3; 9 thì n2 3n 6  n 3 n 1 Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên n 2 Lời giải: n 1 Ta có là một số nguyên khi n 1  n 2 n 2 Ta có n 1 n 2 3, do đó n 1  n 2 khi 3 n 2 n 2 là ước của 3 n 2 3; 1;1;3 n 1;1;3;5 n 1 Vậy n 1;1;3;5 thì có giá trị là một số nguyên. n 2 Bài 4: Tìm số nguyên n để 5 n2 2n chia hết cho n 2 Lời giải: Ta có 5 n2 2n 5 n n 2 Vì n n 2  n 2 , nên để 5 n2 2n  n 2 thì 5 n 2 n 2 phải là ước của 5 n 2 5; 1;1;5 n 3; 1;3;7 Vậy n 3; 1;3;7 thì 5 n2 2n chia hết cho n 2 n 1 Bài 5: Cho A . Tìm n nguyên để A là một số nguyên n 4 Lời giải: n 1 Ta có A là một số nguyên khi n 1  n 4 n 4 Ta có n 1 n 4 5, do đó n 1  n 4 khi 5 n 4 n 4 phải là ước của 5 n 4 5; 1;1;5 n 9; 5; 3;1
6. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN Vậy n 9; 5; 3;1 thì A là một số nguyên 4n 5 Bài 6: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n 1 Lời giải: 4n 5 Ta có là một số nguyên khi 4n 5  2n 1 2n 1 Ta có 4n 5 2 2n 1 7, do đó 4n 5  2n 1 khi 7 2n 1 2n 1 là ước của 7 2n 1 7; 1;1;7 n 3;0;1;4 4n 5 Vậy n 3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên 2n 1 3n 2 Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên. n 1 Lời giải: 3n 2 3n 3 5 3 n 1 5 5 Ta có A 3 n 1 n 1 n 1 n 1 5 Để A có giá trị nguyên thì nguyên. n 1 5 Mà nguyên khi 5 n 1 hay n 1 là ước của 5 n 1 Do Ư 5 1; 5 Ta tìm được n 2;n 0;n 6;n 4 . n 5 Bài 8: Cho phân số: A ( n Z;n 1) n 1 a) Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A là phân số tối giản Lời giải: n 5 n 1 6 6 a) A 1 n 1 n 1 n 1
7. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN A nhận giá trị nguyên n 1 Ư 6 1; 2; 3; 6 . n 1 1 1 2 2 3 3 6 6 n 0 2 1 3 2 4 5 7 b) A tối giản n 1,n 5 1 n 1,6 1 n 1 không chia hết cho 2 và n 1 không chia hết cho 3 n 2k 1 và n 3k 1 k Z . Bài 9: a) Tìm hai số tự nhiên a và b biết BCNN (a,b) 180 ; UCLN (a,b) 12 4n 1 b) Tìm n ¢ để phân số A có giá trị nguyên. 2n 3 Lời giải: a) Ta có ab 180.12 2160 Giả sử a b. Vì UCLN (a,b) 12 nên a 12m,b 12n với m,n 1và m n Suy ra 12m.12n 2160 mn 15. Ta có bảng sau: m n a b 1 15 12 180 3 5 36 60 Vậy ta có hai cặp a;b là 12;180 , 36;60 . 4n 1 2 2n 3 7 7 b) A 2 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3 A có giá trị nguyên 2n 3 Ư 7 1; 7 . Ta có bảng sau 2n 3 1 1 7 7 n 1 2 2 5 Vậy n 1; 2;2; 5
8. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN 12n 1 Bài 10: Cho A . Tìm giá trị của n để: 2n 3 a) A là một phân số b) A là một số nguyên Lời giải: 12n 1 n ¢ a) A là phân số khi 12n 1 ¢ ,2n 3 ¢ ,2n 3 0 2n 3 n 1,5 12n 1 17 b) A 6 2n 3 2n 3 A là số nguyên khi 2n 3 Ư (17) 2n 3 1; 17 n 10; 2; 1;7 Bài 11: a) Tìm giá trị n là số tự nhiên để n 7 chia hết cho n 2 b) Tìm x là số chia trong phép chia 235 cho x được số dư là 14 Lời giải: a) x 7  x 2 5 x 2 x 2 Ư (5) 1; 5 x 3; 1; 7;3 . b)235: x dư 14 235 14x x 14 221x x 14 x 17;221 Bài 12: Tìm n ¢ biết: 3n 8  n 1 Lời giải: Ta có: 3n 8 3n 3 5 3 n 1 5 Suy ra : 3n 8  n 1 khi n 1 U (5) 1; 5 Tìm được: n 6; 2;0;4 Bài 13: a) Cho abc deg7. Chứng minh abc deg7
9. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN b) Tìm số nguyên n sao cho n2 1n 1 Lời giải: a) Ta có: abc deg 1000.abc deg 1001 1 abc deg 1001abc abc deg 1001abc abc deg Vì 1001abc 7.143abc 7.143.abc7 (1) abc deg7 (gt) (2) Từ (1) và (2) suy ra abc deg7 b) Ta có: 2 n 2 n n 1 n 1 3 Vì n n 1 n 1và n 1 n 1 Để n2 2n 1thì 3n 1 n 1 U (3) 1; 3 n 2;0; 4;2 . Bài 14: a) Cho A 3 32 33 34 ..... 390 . Chứng minh A chia hết cho 11 và 13. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho xy 2x y 1 0 . Lời giải: a)A có 90 số hạng mà 905 nên A 3 32 33 34 ..... 390 A 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 ..... 386 387 388 389 390 3. 1 3 32 33 34 36. 1 3 32 33 34 ..... 386. 1 3 32 33 34 121.(3 36 .... 386 )11 A11 A có 90 số hạng mà 903 nên: A 3 32 33 34 35 36 ..... 388 389 390 3. 1 3 32 34. 1 3 32 ..... 388. 1 3 32 13. 3 34 ..... 388 13 A13 b) xy 2x y 1 0 x y 2 y 2 3
10. CHUYÊN ĐỀ 7: SỐ NGUYÊN – CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN x 1 y 2 3 1. 3 3 .1 Từ đó suy ra x; y 0; 1 ; 4;3  Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên n để: n 1 a)Phân số có giá trị là một số nguyên n 2 12n 1 b)Phân số là phân số tối giản 30n 2 Lời giải: n 1 a) là số nguyên khi n 1  n 2 n 2 Ta có: n 1 n 2 3, vậy n 1  n 2 khi 3 n 2 n 2 U (3) 3; 1;1;3 n 1;1;3;5 b)Gọi d là ƯC của 12n 1và 30n 2 d ¥ * 12n 1d,30n 2d 5 12n 1 2 30n 2 d 60n 5 60n 4 d 1d mà d ¥ * d 1 Vậy phân số đã cho tối giản 2n 7 Bài 16: Tìm số nguyên n để phân số M có giá tri là số nguyên n 5 Lời giải: 2n 7 2n 10 3 3 a)M 2 ¢ n 5 Ư (3) 1; 3 n 5 n 5 n 5 n 2;4;6;8 n 3 Bài 17: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị là số nguyên 2n 2 Lời giải: n 3 Để phân số có giá trị là nguyên thì n 32n 2 2n 2