Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 2: Phân số tối giản

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 2: Phân số tối giản

1. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6.CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN PHẦN I.TểM TẮT Lí THUYẾT -Phõn số tối giản hay cũn gọi là phõn số khụng thể rỳt gọn được nữa là phõn số mà tử và mẫu chỉ cú ước chung là 1 và -1. a a -Giả sử ta cú phõn số . Phõn số được gọi là phõn số tối giản khi và chỉ khi ệCLN a,b 1. b b a b - Nếu phõn số là phõn số tối giản thỡ phõn số cũng là phõn số tối giản. b a - Tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản. -Tớnh chất: am + a bm bm + am a.km -Thuật toỏn Ơclit tỡm ƯCLN(a;b): Ta tỡm UCLN(a ;b) bằng cỏch dựng thuật toỏn Euclide như sau : a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 .... rn-1 = rnqn . Thuật toỏn phải kết thỳc với một số dư bằng 0 Do đú ta cú: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) =...=(rn-1; rn) = rn. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Chứng minh phõn số với tham số n là phõn số tối giản. I.Phương phỏp giải
2. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a Chứng minh phõn số là phõn số tối giản, ta cần chứng minh ệCLN a,b 1, hoặc dựng b thuật toỏn Euclide hoặc tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản. II.Bài toỏn Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n khỏc 0 thỡ cỏc phõn số sau là phõn số tối giản. 1 n 1 n 1 a. b. c. n n n Lời giải 1 a. n 1 Vỡ ệCLN 1,n 1nờn là phõn số tối giản. n n 1 b. n *Cỏch 1: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN n 1,n ệCLN n;1 1 n 1 do đú là phõn số tối giản. n *Cỏch 2: Giả sử ệCLN n 1,n d (n 1)d nd n 1 nd 1d d 1 n 1 Vậy là phõn số tối giản. n n 1 1 1 n 1 *Cỏch 3: Ta cú: 1 mà là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản. n n n n Bài 2: Chứng minh rằng với n Z cỏc phõn số sau tối giản.
3. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ n 1 n 5 n 1 a. b. c. d. 2n 1 7n 1 n 6 2n 3 3n 2 7n 1 2n 7 2n 3 e. f. g. h. 5n 3 14n 3 3n 10 4n 4 Lời giải n a. 2n 1 Giả sử ệCLN n,2n 1 d nd 2nd 2n 1d 2n 1d (2n 1) 2n  d 2n 1 2n  d 1d d 1 n Vậy phõn số là phõn số tối giản. 2n 1 1 b. 7n 1 1 Vỡ ệCLN 1,7n 1 1nờn là phõn số tối giản. 7n 1 n 5 c. n 6 Giả sử ệCLN n 5,n 6 d. n 5d n 6d (n 6) (n 5)  d n 6 n 5  d
4. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1d d 1 n 5 Vậy phõn số là phõn số tối giản. n 6 n 1 d. 2n 3 Giả sử ệCLN n 1,2n 3 d. n 1d 2n 2d 2n 3d 2n 3d (2n 3) (2n 2)  d 2n 3 2n 2  d 1d d 1 n 1 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 2n 3 3n 2 e. 5n 3 Giả sử ệCLN 3n 2,5n 3 d. 3n 2d 5(3n 2)d 15n 10d 5n 3d 3(5n 3)d 15n 9d (15n 10) (10n 9)  d 15n 10 15n 9  d 1d d 1 3n 2 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 5n 3 7n 1 f. 14n 3 Giả sử ệCLN 7n 1,14n 3 d.
5. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 7n 1d 2(7n 1)d 14n 2d 14n 3d 14n 3d 14n 3d (14n 3) (14n 2)  d 14n 3 14n 2 d 1d d 1 7n 1 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 14n 3 2n 7 g. 3n 10 Giả sử ệCLN 2n 7,3n 10 d. 2n 7d 3(2n 7)d 6n 21d 3n 10d 2(3n 10)d 6n 20d (6n 21) (6n 20)  d 6n 21 6n 20  d 1d d 1 2n 7 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 3n 10 2n 3 h. 4n 4 Giả sử ệCLN 2n 3,4n 4 d. 2n 3d 2(2n 3)d 4n 6d 4n 4d 4n 4d 4n 4d (4n 6) (4n 4)  d 4n 6 4n 4  d 2d
6. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Vỡ 2n 3là số lẻ, 4n 4 là số chẵn nờn suy ra d 1 2n 3 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 4n 4 Bài 3: Chứng minh rằng cỏc phõn số sau tối giản: n2 1 n 7n 1 n 2n2 n 1 a. b. c. d. e. n n2 1 7n2 n 1 n3 1 n Lời giải n2 1 a. n Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN n2 1,n ệCLN n;1 1. n2 1 Do đú: phõn số là phõn số tối giản. n n b. n2 1 n2 1 n Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản. n n2 1 7n 1 c. 7n2 n 1 Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN 7n2 n 1,7n 1 ệCLN 7n 1;1 1. 7n2 n 1 Do đú: phõn số là phõn số tối giản. 7n 1 7n2 n 1 7n 1 Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản. 7n 1 7n2 n 1 n d. n3 1 Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN n3 1,n ệCLN n;1 1.
7. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ n3 1 Do đú: phõn số là phõn số tối giản. n n3 1 n Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản. n n3 1 2n2 n 1 e. n Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN 2n2 n 1,n ệCLN n;1 1. 2n2 n 1 Do đú: phõn số là phõn số tối giản. n a Bài 4: Cho a là số tự nhiờn chia 4 dư 3. Phõn số cú là phõn số tối giản khụng? a 2 Lời giải Giả sử ệCLN a,a 2 d. ad a 2d (a 2) a  d a 2 a  d 2d Vỡ a là số tự nhiờn chia 4 dư 3 nờn a là số lẻ. Suy ra: d 1 a Vậy phõn số là phõn số tối giản. a 2 a3 2a2 1 Bài 5: Chứng minh rằng nếu a là số nguyờn khỏc -1 thỡ giỏ trị của biểu thức A là phõn a3 2a2 2a 1 số tối giản. Lời giải
8. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2 a3 2a2 1 a 1 a a 1 a2 a 1 Ta cú: A a3 2a2 2a 1 a 1 a2 a 1 a2 a 1 Gọi d ệCLN(a2 a 1,a2 a 1) a2 a 1d 2 a a 1d a2 a 1 a2 a 1 d 2d Mà a2 a 1 a(a 1) 1 là số lẻ nờn d lẻ d 1 Vậy với a khỏc -1 thỡ giỏ trị của A là phõn số tối giản. 2n 1 Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyờn n khỏc khụng thỡ phõn số là phõn số tối giản. 2n(n 1) Lời giải Giả sử d ệCLN 2n 1,2n n 1 2n 1d 2n(n 1)d 2n 1d n(2n 2)d Mà ệCLN 2n 1,2n 2 1nờn 2n 1d 2n 1d nd 2nd 2n 1 2nd 1d d 1 2n 1 Vậy phõn số là phõn số tối giản. 2n(n 1) Dạng 2:Tỡm tham số n để phõn số tối giản.
9. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ I.Phương phỏp giải - Bước 1: Giả sử d là ước chung của tử và mẫu Tử và mẫu cựng chia hết cho d. -Bước 2: Vận dụng cỏc tớnh chất quan hệ chia hết để tỡm cỏc giỏ trị của d. - Bước 3: Xỏc định giỏ trị khỏc -1 và 1 của d tử hoặc mẫu khụng chia hết cho cỏc giỏ trị đú từ đú tỡm cỏc điều kiện của ẩn. Hoặc biến đổi phõn số thành tổng hoặc hiệu của số nguyờn với phõn số tối giản. II.Bài toỏn Bài 1: Tỡm số tự nhiờn n để cỏc phõn số sau là phõn số tối giản. 2n 3 3n 2 2n 7 a. b. c. 4n 1 7n 1 5n 2 Lời giải 2n 3 a. 4n 1 Giả sử d ệC 2n 3,4n 1 2n 3d 2(2n 3)d 4n 6d 4n 1d 4n 1d 4n 1d (4n 6) (4n 1)d 4n 6 4n 1d 5d d 1; 5 2n 3 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 5 4n 1 Hay 2n 3 khụng chia hết cho 5. Ta cú: 2n 3 5k 2n 3 5 5k (k Z) 2(n 1) 5k n 1 5k n 5k 1 2n 3 Vậy: với n 5k 1thỡ phõn số là phõn số tối giản. 4n 1 3n 2 b. 7n 1
10. CHUYấN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Giả sử d ệC 3n 2,7n 1 3n 2d 7(3n 2)d 21n 14d 7n 1d 3(7n 1)d 21n 3d (21n 14) (21n 3)d 21n 14 21n 3d 11d d 1; 11 3n 2 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11 7n 1 Hay 7n 1 khụng chia hết cho 11. Ta cú: 7n 1 11k 7n 1 22 11k (k Z) 7(n 3) 11k n 3 11k n 11k 3 2n 3 Vậy: với n 11k 3 thỡ phõn số là phõn số tối giản. 4n 1 2n 7 c. 5n 2 Giả sử d ệC 2n 7,5n 2 2n 7d 5(2n 7)d 10n 35d 5n 2d 2(5n 2)d 10n 4d (10n 35) (10n 4)d 10n 35 10n 4d 31d d 1; 31 2n 7 Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 31 5n 2 Hay 2n 7 khụng chia hết cho 31.