Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 9: Phân số - Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số

1. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. I. Khái niệm bất đẳng thức 1. Định nghĩa : Số a gọi là lớn hơn số b , ký hiệu a b nếu a b là một số dương, tức là a b 0 . Khi đó ta cũng ký hiệu b a Ta có: a b a b 0 Nếu a b hoặc a b , ta viết a b . Ta có: a b a - b 0 2. Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức a b 1. Tính chất 1: a c b c 2. Tính chất 2: a b a c b c Từ đó ta suy ra a b a c b c a c b a b c a b 3. Tính chất 3: a c b d c d ac bc neáu c > 0 4. Tính chất 4: a b ac bc neáu c < 0 Từ đó ta suy ra a b a b
2. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a b neáu c > 0 c c a b a b neáu c < 0 c c a b 0 5. Tính chất 5: ac bd c d 0 1 1 6. Tính chất 6: a b 0 0 a b 7. Tính chất 7: a b 0,n N * a n b n 8. Tính chất 8: Nếu a và b là hai số dương thì : a b a 2 b 2 Nếu a và b là hai số không âm thì : a b a 2 b 2 PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA I. Phương pháp giải So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ. Nếu muốn chứng minh lớn hơn một giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn và ngược lại I. Bài toán 1 1 1 1 Bài 1: Chứng tỏ rằng: A ... 1 22 32 42 20202 Lời giải: Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau: 1 1 1 1 1 A ... 2.2 3.3 4.4 2018.2019 2019.2020 Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn. 1 1 1 1 1 A ... 1.2 2.3 3.4 2019.2019 2019.2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 1 1 A 1 1 2020
3. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Chứng tỏ rằng: ... 6 52 62 72 1002 4 Lời giải: Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh: 1 1 1 1 1 1 A ... và chứng minh A 52 62 72 992 1002 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 1 1 96 96 1 A đến đây, ta sẽ so sánh với như sau: 5 101 505 505 6 96 96 1 1 Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số 505 576 6 6 96 96 1 cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A 1 505 567 6 1 1 1 1 1 1 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A ... 52 62 72 992 1002 4 Ta làm tương tự như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 1 1 A 2 4 100 4 1 1 Từ 1 và 2 ta có: A 6 4 1 1 1 1 3 Bài 3: Chứng tỏ rằng: ... 22 32 42 1002 4 Lời giải: Ta biến đổi: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... ... 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 1 1 1 3 1 3 A 4 2 100 4 100 4 1 1 1 1 1 Bài 4: Chứng tỏ rằng: A ... 22 42 62 1002 2
4. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: Nhận thấy bài này là tổng lũy thừa mà cơ số ở mẫu là các số chẵn nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa mà cơ số ở mẫu là các số tự nhiên liên tiếp như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 2 2 ... 2 1 ... 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 A 1 1 4 50 2 200 2 1 2 3 100 Bài 5: Chứng tỏ rằng: A ... 2 2 22 23 2100 Lời giải: Nhận thấy bài này có dạng tổng các phân số có mẫu là các lũy thừa cùng cơ số nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được. 2 3 4 99 100 Ta tính tổng A như sau: 2A 1 ... 2 22 23 298 299 Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được: 3 1 1 1 100 1 1 1 1 A ... , đặt B ... và tính tổng B theo cách như trên 2 22 23 299 2100 22 23 24 299 1 1 3 1 1 100 ta được: B , thay vào A ta được: A 2 2 299 2 2 299 2100 1 2 3 100 3 Bài 6: Chứng tỏ rằng: A ... 3 32 33 3100 4 Lời giải: 1 1 1 1 100 Tính tượng tự như bài 5 , ta có: 2A 1 ... , 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt B ... , và tính B rồi thay vào tổng A ta được 3 32 33 399 1 1 B 2 2.399 1 1 100 2A 1 2 2.399 3100
5. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 3 3 2A 1 A 2 2 4 1 1 1 1 Bài 7: Chứng tỏ rằng: A ... 1 22 32 42 n2 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A .... ... 1 1 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n 1 n n 1 1 1 1 1 Bài 8: Chứng tỏ rằng: A ... 42 62 82 (2n)2 4 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... ... 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n 4 1.2 2.3 n 1 n 4 n 4 4n 4 1 1 1 1 1 Bài 9: So sánh A ... với 22 42 62 (2n)2 2 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 2 3 ... 2 1 1 2 2 2 n 4 n 2 4n 2 1 1 1 1 1 Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n 2 thì A ... không là số tự nhiên 12 22 32 42 n2 Lời giải: 1 1 1 Ta có: A 1 ... 2 . Mặt khác ta thấy A 1 1.2 2.3 n 1 n Vậy ta có: 1 A 2 . 1 1 1 1 2020 Bài 11: Chứng tỏ rằng: A ... 22 32 42 20212 2021 Lời giải: 1 1 1 1 1 2020 A ... 1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 2021 1 1 2 3 2016 1 Bài 12 : Chứng tỏ rằng: ... 4 5 52 53 52016 3
6. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Lời giải: 1 2 3 2016 Đặt A ... 5 52 53 52016 1 1 1 2016 4A 1 2 ... 2005 2016 . 5 5 5 5 1 1 1 Đặt B ... 5 52 52005 Ta có: 1 4B 1 52015 1 1 B , thay vào A ta được: 4 4.52015 1 1 2016 5 4A 1 4 4.52015 52016 4 5 5 1 A (1) 16 15 3 1 2 2016 1 2 7 7 1 Mặt khác: A ... (2) 5 52 52016 5 25 25 28 4 Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM 1 2 3 4 99 100 3 Bài 13 : Chứng tỏ rằng: A ... 3 32 33 34 399 3100 16 Lời giải: 1 1 1 1 100 Tính tổng A , ta được: 4A (1 .... ) 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt B 1 .... 3 32 33 399 3 1 B 4 4.399 3 1 100 3 4A 4 399.4 3100 4 3 A 16
7. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 3 5 7 19 Bài 14 : Chứng tỏ rằng: A ... 1 12.22 22.32 32.42 92.102 Lời giải: 22 12 32 22 102 92 1 1 1 1 1 1 Ta có: A 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 1 .2 2 .3 9 .10 1 2 2 3 9 10 1 A 1 1 102 3 5 7 4019 Bài 15 : Chứng tỏ rằng: A ... 1 12.22 22.32 32.42 20092.20102 Lời giải: 22 12 32 22 42 32 20102 20092 Ta có: A ... 12.22 22.32 32.42 20092.20102 1 1 1 1 1 1 1 A ... 1 1 12 22 22 32 20092 20102 20102 1 1 1 1 1 1 1 Bài 16: Chứng tỏ rằng: S ... 22 24 26 28 22020 22022 5 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 S ... 22 24 26 28 210 22022 22024 S 5S 1 1 1 1 S S 4 4 22 22024 4 5 1 1 1 1 1 Bài 17: Chứng tỏ rằng: B ... 3 32 33 32020 2 Lời giải: 1 1 1 1 1 B ... 3 32 33 34 32021 1 2B 1 1 1 B B 3 3 3 32021 3 1 Hay B 2 1 2 3 2021 Bài 18: Chứng tỏ rằng: M ... có giá trị không nguyên 3 32 33 32021 Lời giải:
8. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 2 3 2021 Ta có: M ... 0 1 3 32 33 32021 1 2 3 2021 Ta có M ... 3 32 33 32021 2 3 2021 3M 1 ... 3 32 32020 2 3 2021 1 2 3 2021 3M M 1 2 ... 2020 2 3 ... 2021 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2021 2M 1 ... 3 32 33 32020 32021 1 1 1 1 1 1 1 Đặt N ... 3N 1 ... 3 32 33 32020 3 32 32019 1 1 1 1 1 1 1 3N N 1 2 ... 2019 2 3 ... 2020 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2N 1 N 32020 2 2.32020 1 1 2021 3 1 2021 3 2M 1 2 2.32020 32021 2 2.32020 32021 2 3 M 1 2 4 Từ 1 và 2 0 M 1 1 2 3 2021 Vậy M ... không có giá trị nguyên 3 32 33 32021 2 2 2 2 1003 Bài 19: Chứng tỏ rằng: A ... 32 52 72 20072 2008 Lời giải: 2 2 2 2 1 1 1003 A .. 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2 2008 2008 3 3 3 Bài 20: Chứng tỏ rằng: S ... 1 1.4 4.7 n(n 3) Lời giải:
9. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 1 1 1 S 1 ... 1 1 4 4 7 n n 3 n 3 1 1 1 1 1 Bài 21: Chứng tỏ rằng: B 1 ... 22 32 42 20212 2021 Lời giải: 1 1 1 1 B 1 2 2 2 ... 2 , 2 3 4 2021 1 1 1 1 Đặt A ... ta có: 22 32 42 20212 1 1 1 1 1 A ... 1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 1 A 1 2021 1 B 1 A 1 1 2021 1 B 2021 1 1 1 1 1 Bài 22: Chứng tỏ rằng: ... 0,2 22 24 26 22018 22020 Lời giải: 1 1 1 1 1 Đặt A ... 22 24 26 22018 22020 1 1 1 1 1 1 Ta có: A ... 4 24 26 28 22020 22022 1 1 1 1 A A 4 22 22022 4 5A 1 1 A 0,2 4 4 5 1 1 1 1 4 Bài 23: Chứng tỏ rằng: A ... thì A 32 42 502 4 9 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 1 Ta có: A ... ... 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 3 51 153 192 4 Mặt khác:
10. CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4 A ... ... 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9 1 4 Vậy A 4 9 1 1 1 7 5 Bài 24: Cho A ... , chứng tỏ rằng: A 1.2 3.4 99.100 12 6 Lời giải: 1 1 1 Ta có A ... 51 52 100 1 1 1 1 1 1 A ... ... 51 52 75 76 77 100 1 1 1 1 7 TH1: A .25 .25 75 100 3 4 12 1 1 1 1 5 TH2: A .25 .25 50 75 2 3 6 Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN I. Phương pháp giải. Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường. II. Bài toán. 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 1: Chứng tỏ rằng: . 4 16 36 64 100 144 196 2 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 4 16 36 64 100 144 196 1 1 1 1 ... 22 42 62 142 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ... 2 2 1 2 3 7 1 1 1 1 1 2 2 ... 2 1 1.2 2.3 6.7