Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 3: So sánh lũy thừa bằng phương pháp gián tiếp

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 2: Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Chủ đề 3: So sánh lũy thừa bằng phương pháp gián tiếp

1. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN -Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an a.a...a ( n thừa số a với n N ) -Qui ước: a0 1(a 0) -Các phép tính luỹ thừa: - Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: am.an am n - Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : am : an am n (a 0;m n) - Luỹ thừa một tích: (a.b) n an .bn - Luỹ thừa một thương: (a : b ) n an :bn (b 0) - Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m )n am.n n n - Luỹ thừa tầng: a m a(m ) 1 - Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a n (a 0) an 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA. So sánh trực tiếp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. am an ,a 1 m n - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn an bn ,n 0 a b So sánh gián tiếp:
2. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân A B, B C A C A.C B.C,C 0 A B PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: So sánh hai lũy thừa I. Phương pháp giải - Để so sánh hai lũy thừa A và B ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc A M B Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được. - Để so sánh 2 lũy thừa A và B ta tìm hai lũy thừa M và N sao cho A M N B hoặc A M N B Trong đó A và M ; M và B ; M và N có thể so sánh trực tiếp được. II. Bài toán Bài 1: So sánh các số sau: a) 19920 và 200315 b) 339 và 1121 Lời giải: a)Ta có: 19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 (23.52 )20 260.540 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 Vì 260.545 260.540 20015 19920 Vậy 20015 19920 b) 339 340 (34 )10 8110 1121 1120 (112 )10 12110 Do 12110 8110 1121 339 Vậy 1121 339
3. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 2: So sánh các số sau: 230 330 430 và 3.2410 Lời giải: Ta có: 30 10 15 430 22 2.2 30 230.230 23 . 22 810.315 810.310.3 8.3 10 .3 2410.3 Vậy 230 330 430 3.2410 Bài 3: So sánh các số sau: a) 2225 và 3151 b) 199020 và 200315 c) 291 và 536 Lời giải a) Ta có 2225 (23 )75 875 975 (32 )75 3150 3151 . Vậy 2225 3151 b) Ta có: 19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 (23.52 )20 260.540 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 Vì 260.545 260.540 200315 19920 Vậy 200315 19920 c) Ta có: 291 290 (25 )18 3218 2518 536 Vậy 291 536 Bài 4: So sánh các số sau: a) 9920 và 910.1130 b) 96142 và 100.2393 Lời giải:
4. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) Ta có 9920 [(99)2 ]10 980110 (223 )10 2230 ;2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 910.1130 Vậy 9920 910.1130 b) Ta có: 96142 100042 10126 100.10124 100.2393 100.(233 )31 100.(104 )31 100.10124 96142 100.2393 Vậy 96142 100.2393 Bài 5: So sánh các số sau: a) 10750 và 7375 b) 3775 và 7150 Lời giải: a) Ta có 10750 10850 (4.27)50 2100.3150 7375 7275 (8.9)75 2225.3150 Vì 2100.3150 2225.3150 10750 7375 Vậy 10750 7375 b) Ta có: 7150 7250 8.9 50 2150.3100 1 3775 3675 4.9 75 2150.3150 2 Vì 2150.3150 2150.3100 3 Từ (1), (2), (3) 3775 7150 Vậy3775 7150 Bài 6: Chứng tỏ rằng: 527 263 528 Lời giải:
5. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 9 9 Ta có: 263 27 1289 ; 527 53 1259 263 527 1 9 7 263 27 1289 ; 528 54 6257 263 528 2 Từ (1) và (2) suy ra 527 263 528 Bài 7: So sánh các số sau: a) 5020 và 255010 b) 99910 và 9999995 Lời giải: 10 a) Ta có: 5020 50 2 250010 255010 5020 255010 5 b) Ta có: 99910 999 2 9980015 9999995 99910 9999995 Bài 8: So sánh : A 123456789 và B 567891234 Lời giải: Ta có: A 123456789 100050000 10150000 ; B 567891234 1000002000 1010000 Vì: 1010000 10150000 567891234 123456789 Bài 9: So sánh các số sau: a) 1720 và 3115 b) 19920 và 10024 c) 3111 và 1714 Lời giải: a) Ta có: 1720 1620 280 275 (25 )15 3215 3115 b) 19920 20020 220.10020 (23 )7 .10020 107.10020 10024 c) 3111 3211 255;1714 164 256 3111 1714 Bài 10: So sánh các số sau:
6. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) 111979 và 371321 b) 10750 và 5175 c) 3201 và 6119 Lời giải: a) Ta có: 111979 111980 (113 )660 1331660 ;371321 371320 (372 )660 1369660 1331660 111979 b) Ta có: 10750 15050 (3.50)50 925.5050 5025.5050 5075 5175 c) Ta có: 3201 3200 (35 )40 24340 ;6119 6120 (63 )40 21640 3201 6119 Bài 11: So sánh các số sau: a) 21995 5863 b) 21999 7714 Lời giải: Ta có: 21995 21990.25;5863 5860.53 Nhận xét: 25 32 53 125 nên cần so sánh 21990 và 5860 Ta có: 210 1024;55 3025 210.3 55 21720.3172 5860 Lại có 21990 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 như sau: 24 37 2187;211 2048 37 211 ; 3172 37 .34 211 .24 211 .26 2270 Do đó 21720.2270 21720.3172 5860 21990 5860 Mà 25 53 21995 5863 b) Ta có: 10 8 2 1025 238 238 2 256 210 3.73 210 3238 . 73 22380 3238 .7714 ; 35 28 3 5 7 343 3 243
7. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 47 47 3238 33 .3235 33 . 35 33 28 25.2376 2381 3238 2381 Mà: 2380 238 714 2 3 .7 22380 2381 .7714 21999 7714 Bài 12: So sánh 2 hiệu sau 7245 7244 và 7244 7243 Lời giải: Ta có + 7245 7244 7244 (72 1) 7244 71 + 7244 7243 7243 (72 1) 7243 71 Vì 7244.71 7243.71nên 7245 7244 < 7244 7243 Bài 13: So sánh a) 199010 19909 và 199110 b) 10750 và 3775 c) 3339 và 1121 Lời giải: a) 199010 19909 19909 (1990 1) 1991.19909 1991.19919 199110 Vậy 199010 19909 199110 b) Ta có +) 10750 10850 (4.27)50 2100 3150 +) 3775 3675 (4.9)75 2150 3150 Vì 2150 3150 2100.3150 Do đó 3775 10750 c) Ta có: 10 +) 339 340 34 8110
8. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 10 +) 1121 1120 112 12110 Vì 12110 8110 1121 339 Bài 14: So sánh a. 9920 và 999910 b. 85 và 3.47 c. 202303 và 303202 d. 1010 và 48.505 Lời giải: 10 a. Ta thấy :992 99.101 9999 992 999910 hay 9920 999910 b. Ta có: 85 215 2.214 3.214 3.47 85 3.47 101 101 c. Ta có: 202303 (2.101)3.101 23.1013 8.101.1012 (808.101)101 101 101 303202 (3.101)2.101 32.1012 9.1012 d. Ta có :1010 210 510 229 510 48.505 3.24  25 510 3.29 510 ** Từ * và ** 1010 48.505 Bài 15: Chứng tỏ rằng: 527 263 528 Lời giải 9 Ta có : 263 27 1289 9 527 53 1259 263 527 7 Lại có : 263 29 5127 7 528 54 6257 263 528 (2)
9. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Từ (1) và (2) 527 263 52 Bài 16: So sánh a. 111979 và 371321 b. 10750 và 5175 c. 3201 và 6119 Lời giải: 660 111979 111980 113 1331660 660 a. 371321 371320 372 1369660 1331660 111979 b. 10750 15050 (3.50)50 925 5050 5025 5050 5075 5175 40 40 c. 3201 3200 35 24340 ;6119 6120 63 21640 3201 6119 Bài 17: Chứng minh rằng : 21995 5863 Lời giải Có 210 1024,55 3025 210 3 55 21720 3172 5860 Có 37 2187;210 1024 37 211 24 3172 37 .34 211 24 211 .26 2270 21720 2270 21720 3172 5560 Vậy 21990 5560 và 25 53 21995 5863 Bài 18: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 10.98 . Lời giải: Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu. Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu.... m 9.9.9.9.9.9.9.9.9 99
10. CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Mà 99 9.98 10.98 . Vậy: m 10.98 . Dạng 2: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa. I. Phương pháp giải - Phương pháp so sánh phần bù: Với a,n,m,k N *. Ta có: a a a a + Nếu m n thì k k và k k m n m n a a a a + Nếu m n thì k k và k k m n m n 1 * -Với biểu thức là tổng các số 2 a N ta có vận dụng so sánh sau: a 1 1 1 1 1 . a a 1 a2 a 1 a - Sử dụng kết quả của bài toán: a Cho phân số (a,b N,b 0) b a a a m + Nếu 1và m N,m 0 thì: b b b m a a a m + Nếu 1và m N,m 0 thì: b b b m II. Bài toán Bài 1: So sánh: 1015 1 1016 1 a) A và B 1016 1 1017 1 22008 3 22007 3 b) C và D 22007 1 22006 1 Lời giải: