Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 3: Phép chia hết và phép chia có dư - Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết

1. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.PHÉP CHIA HẾT Với a, b là các số tự nhiên và b khác 0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b. q . 2.TÍNH CHẤT CHUNG 1) ab và bc thì ac . 2) aa với mọi a khác 0. 3) 0b với mọi b khác 0. 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1. 3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m. - Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. - Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m. 4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n . - Nếu a chia hết cho b thì: a n bn . *) Chú ý: a n - bn  a b , n 2 . a n - bn (a b),n chẵn. 5.DẤU HIỆU CHIA HẾT a) Dấu hiệu chia hết cho 2: một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
2. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ *) Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c) Dấu hiệu chia hết cho 5: một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5. d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f) Dấu hiệu chia hết cho 11: một số chia hết cho 11 khi và chi khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức số có chứa lũy thừa chia hết cho một số tự nhiên hoặc một biểu thức số I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết. - Chứng minh hai biểu thức cùng chia hết cho một biểu thức số khác II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: A 2727 377 chia hết cho 82 Lời giải 27 Ta có A 2727 377 33 377 381 377 377 34 1 82.377 82 (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: a) A 55 54 53 7 b) B 106 57 59 c) C 817 279 913 45 d) D 109 108 107 555 và 222 e) F 165 215 33 . Lời giải a) Ta có A 55 54 53 53 (52 5 1) 53.217 b) Ta có B 106 57 (2.5)6 57 56 (26 5) 59.56 59 c) Ta có C 817 279 913 3 28 327 326 326 (32 3 1) 5.326 5.32 d) Ta có D 109 108 107 107 (102 10 1) 111.107 111.(2.5)7 222.26.57 222( 555.27.56 555) 5 15 20 15 15 5 15 e) Ta có F 16 2 2 2 2 (2 1) 33.2 33
3. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 3: Chứng minh rằng: a) A 251 17 b) B 1719 1917 18 c) C 3663 17 Lời giải 17 a) Ta có A 251 1 23 1 23 1 . 248 245 ... 1 7. 248 245 ... 1 7 b) Ta có B 1719 1917 (1719 1) (1917 1) Mà 1719 1 (1719 1718 ) (1718 1717 ) (1717 1716 ) ... (17 1) 1718. 17 1 1717. 17 1 1716. 17 1 ... 17 1 18.1718 18.1717 18.1716 ... 18 18.(1718 1717 1716 ... 1)18 1 Mà 1917 1 1917 1916 1916 1915 1915 1914 ... 19 1 1916. 19 1 1915. 19 1 1914. 19 1 ... 19 1 1916.18 1915.18 1914.18 ... 18 18.(1916 1915 1914 ... 1)18 2 Từ 1 và 2 B 1719 1917 18 (đpcm). c) Ta có C 3663 1 3663 3662 3662 3661 3661 3660 ... (36 1) C 3662. 36 1 3661. 36 1 3660. 36 1 ... (36 1) C 3662.35 3661.35 3660.35 ... 35 C 35. 3662 3661 3660 ... 1 7 (đpcm). Bài 4: Chứng minh rằng: a) A 165 215 33 b) B 88 220 17 . Lời giải a) Ta có A 165 215 (24 )5 215 220 215 215.(25 1) 215.3333 b) Ta có B 88 220 (23 )8 220 224 220 220.(24 1) 220.1717
4. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 5: Cho A 20 21 22 23 ... 299. Chứng minh A chia hết cho 31. Lời giải Nhận xét: Để chứng minh một tổng lũy thừa chia hết cho một số k ta cần thực hiện nhóm số hạng để biến đổi tổng đó về dạng tích của số k với một biểu thức nào đó A 20 21 22 23 ... 299 20 21 22 23 24 25. 20 21 22 23 24 ... 295. 20 21 22 23 24 20 21 22 23 24 . 1 25 210 ... 295 31. 1 25 210 ... 295 31 Bài 6: Cho A 1 2 22 23 ... 299 hoặc A 2100 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 15; 31. Lời giải Ta có A có 100 số hạng a) Ta có A (1 2) (22 23 ) ... (298 299 ) 3 22.(1 2) ... 298.(1 2) 3.(1 22 24 ... 298 )3 b) Ta có A (1 2 22 23 ) (24 25 26 27 ) ...(296 ... 299 ) 15.(1 24 ... 296 )15 Bài 7: Cho M 1 3 32 33 ... 3118 3119 . Chứng minh rằng M chia hết cho 13. Lời giải Ta có: M (1 3 32 ) (33 34 35 ) ... (3117 3118 3119 ) (1 3 32 ) 33 (1 3 32 ) ... 3117.(1 3 32 ) M 13 33.13 ... 13.3117 13.(1 33 ... 3117 )13 Bài 8: Cho B 1 3 32 ... 311 . Chứng minh rằng B chia hết cho 4. Lời giải Ta có: B 1 3 32 ... 311 (1 3) (32 33 ) ... (310 311) 4 32.(1 3) ... 310.(1 3)
5. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 4 32.4 ... 310.4 4.(1 32 ... 310 )4 Bài 9: Cho C 5 52 53 ... 58 . Chứng minh rằng C chia hết cho 30. Lời giải Ta có: C 5 5222 53 ... 58 (5 52 ) (53 54 ) ... (57 58 ) 30 52.(5 52 ) ... 56.(5 52 ) 30 52.30 ... 56.30 30.(1 52 ... 56 )30 Bài 10: Cho D 2 22 23 ... 260 . Chứng minh rằng D chia hết cho 3, 7, 15. Lời giải Ta có: D 2 22 23 ... 260 (2 22 ) (23 24 ) ... (259 260 ) 2.(1 2) 23.(1 2) ... 259.(1 2) 2.3 23.3 ... 259.3 3.(2 23 ... 259 )3 2 3 60 D 2 2 2 ... 2 (2 22 23 ) (24 25 26 ) ... (258 259 260 ) 2.(1 2 22 ) 24.(1 2 22 ) ... 258.(1 2 22 ) 2.7 24.7 ... 258.7 7.(2 24 ... 258 )7 D 2 22 23 ... 260 (2 22 23 24 ) (25 26 27 28 ) ... (257 258 259 260 ) 2.(1 2 22 23 ) 25.(1 2 22 23 ) ... 257.(1 2 22 23 ) 2.15 25.15 ... 257.15 15.(2 25 ... 257 )15 Bài 11: Cho E 1 3 32 33 ... 31991 . Chứng minh rằng E chia hết cho 13 và 41. Lời giải Ta có: E 1 3 32 33 ... 31991 (1 3 32 ) (33 34 35 ) ... (31989 31990 31991)
6. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ E 13 33.(3 3 32 ) ... 31989.(1 3 32 ) 13 13.33 ... 31989.13 13.(1 33 ... 31989 )13 E 1 3 32 33 ... 31991 2 4 6 3 5 7 1984 1986 1988 1990 1985 1987 1989 19 91 E (1 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) ... (3 3 3 3 ) (3 3 3 3 ) E (1 32 34 36 ) 3.(1 32 34 36 ) ... 31984.(1 32 34 36 ) 31985 (1 32 34 36 ) E (1 32 34 36 ).(1 3 ... 31984 31985 ) 820.(1 3 ... 31984 31985 ) 41.20.(1 3 ... 31984 31985 )41 Bài 12: a) Chứng minh rằng: 21 22 23 ... 2100 3. b) Chứng minh rằng: 7 72 73 ... 72000 8. c) Chứng minh rằng: S 31 32 33 ... 31997 31998 26 d) Chứng minh rằng: B 3 32 33 ... 3100 (có 100 số hạng) chia hết cho 120. Lời giải a) Ta có 21 22 23 ... 2100 (21 22 ) ...(299 2100 ) 21(1 2) ... 299 (1 2) 3(21 23 ... 2999 )3 b) Ta có: 7 72 73 74 ... 72000 (7 72 ) (73 74 ) ... (71999 72000 ) 7(1 7) 73 (1 7) ... 71999 (1 7) 8(7 73 ... 71999 )8 c) Ta có 26 13.2, ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2 Ta có S có 1998 số hạng, chia ra làm 666 nhóm S (31 32 33 ) ... (31996 31997 31998 ) 13.(31 34 .... 31996 ) S13.2 26  666so hang là chan2 B (3 32 33 34 ) ... (397 398 399 3100 ) B120 d) Ta có   120 120 Bài 13: Cho C 1 3 32 33 ... 311. Chứng minh rằng a) C chia hết cho 13 b) C chia hết cho 40. Lời giải a) Ta có C (1 3 32 ) (33 34 35 ) ... (39 310 311) 13(1 33 ... 39 )13 b) Nhóm 4 số hạng vào 1 nhóm ta được C 40. 1 34 38 chia hết cho 40 (đpcm) Bài 14: Chứng minh rằng: A 13 23 33 ... 1003 chia hết cho B 1 2 ...100.
7. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Lời giải Ta có B 1 100 2 99 ... 50 50 101.50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 A (13 1003 ) (23 993 ) ...(503 513 ) A (1 100)(12 100 1002 ) (2 99)(22 2.99 992 ) ... (50 51)(502 50.51 512 ) A 101(12 100 1002 22 2.99 992 ... 502 50.51 512 )101 1 Lại có: A (13 993 ) (23 983 ) ... (503 1003 ) A50(2)    50 50 50 Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 50.101 B Dạng 2: Chứng minh biểu thức đại số có chứa lũy thừa chia hết cho một số tự nhiên. I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết. -Vận dụng các tính chất chia hết của một tổng, một hiệu. II.Bài toán Bài 15: Chứng minh rằng: 5 4 2 a) A = n n30 ,n ¢ b) B = n 10n 9384 với mọi n lẻ và n ¢ c) C 3n 2 2n 2 3n 2n 10 . d) D 24.n 115,n N e) C 10n 18.n 127. Lời giải a) Ta có A = n5 n = n . n4 1 n . n 1 . n + 1 . n2 1 n 1 .n . n + 1 . n2 1 6 vì n 1 .n . n + 1 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. * Mặt khác A = n5 n = n . n4 1 n . n2 1 . n2 1 n . n2 1 . n2 4 5 = n . n2 1 . n2 4 5.n . n2 1
8. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ n 2 . n 1 .n. n 1 . n 2 5.n . n2 1 Mà n 2 n 1 .n . n + 1 . n 2 là là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5.n . n2 1 chia hết cho 5. A = n5 n5 ** Từ (*) và (**), ta có A chia hết cho 30. b) Ta có A n4 10.n2 9 n4 n2 9.n2 9 n2. n2 1 9. n2 1 n2 1 . n2 9 n 1 . n + 1 . n 3 . n + 3 n 3 . n 1 . n + 1 . n + 3 Vì n lẻ nên đặt n 2.k 1 k Z nên A 2.k 2 .2.k. 2.k + 2 . 2.k + 4 16. k 1 .k. k + 1 . k + 2 16 1 Và k 1 .k. k + 1 . k + 2 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24. 2 Từ 1 và 2 A 16.24 hay A384. n 2 n 2 n n n 2 n 2 n n c) Ta có C 3 2 3 2 3 .(3 1) 2 .(2 1) 1 0.3 5 .2 10 10 n n n-1 n-1 n-2 d) Ta có D 24.n 1 16 1 16 16 16 16 ... (16 1) n-1 D 16 . 16 1 16n 2. 16 1 ... (16 1) n-1 n 2 D 16 .15 16 .15 ... 15 n-1 D 15.(16 16n 2 ... 1)15 n n e) Ta có C 10 18.n 1 (10 1) 18.n 99...9 18.n Sè 999 có n chu sè 9 C 9.(11...1 2.n) Sè 111 có n chu sè 1 C 9.L
9. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Xét biểu thức trong ngoặc L 11...1 2.n 11...1 n 3.n Sè 111 có n chu sè 1 Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Sè 11...1 n chu sè 1 có tông các chu sè là1 1 ... 1 n vì có n chu sè 1 11...1 n chu sè 1 và n có cùng sè du trong phép chia cho 3n. (11...1 n)3 L3 9.L27 C 10 n 18 n-127 Điều ngược lại cũng đúng. Bài 16: Cho n là số tự nhiên khác 0, chứng minh rằng A n3 (n 1) 3 (n 2)3 9. Lời giải Ta có A 3.n.(n 1).(n 1) 9.n2 18.n 9 (đpcm)   9  3 9 Bài 17: Chứng minh rằng: A 10n 72.n 1 chia hết cho 81. Lời giải Ta có A 10n 1 72.n (10 1).(10n 1 10n 2 ... 10 1) 9.(10n 1 10n 2 ... 10 1) 9.n 81.n 9.(10n 1 ... 10 1 n) 81.n n 1 n 2 9. (10 1) (10 1) ... (1 1) +81.n Lại có: 10k 1 (10 1)(10k 1 ... 10 1)9 n 1 n 2 9 (10 1) (10 1) ...(1 1) 81 n 1 n 2 9. (10 1) (10 1) ... (1 1) + 81.n81 A81 Dạng 3: Chứng minh biểu thức đại số chia hết cho một số. I.Phương pháp giải: - Chứng minh biểu thức có chữ số tận cùng chia hết cho số đó
10. CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ - Vận dụng tính chất chia hết của một tổng II.Bài toán Bài 18: Chứng minh rằng n ¥ thì tích (n 3).(n 6) chia hết cho 2. Lời giải Ta xét các trường hợp: Nếu n là số lẻ thì n 3 là số chẵn; n 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn. ( n 3)( n 6)2. Mếu n là số chẵn thì n 3 là số lẻ; n 6 là số chẵn. Mà tích của một số lẻ với một số chẵn có tận cùng là chữ số chẵn (n 3).(n 6)2. Vậy với mọi n thuộc N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm). Bài 19: Chứng minh rằng (1005.a 2100.b) chia hết cho 15 với mọi a, b thuộc ¥ . Lời giải Vì 10053 nên 1005. a3 với  a ¥ . Vì 21003nên 2100.b3 với b ¥ . (1005.a 2001.b)3, a,b ¥ . Vì 10055 nên 1005.a5 với a ¥ . Vì 21005nên 2100.b5 với b ¥ . (1005.a 2001.b)5, a,b ¥ . Mà (3;5) 1 (1005.a 2001.b)15 với a,b ¥ . Dạng 4: Chứng minh các bài toán chia hết theo tính chất hai chiều. I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết của một tổng II.Bài toán Bài 20: Chứng minh rằng a) abcd chia hết cho 29 a 3.b 9.c 27.d29 b) abc chia hết cho 21 a 2.b 4.c21 c) m 4.n chia hết cho 13 10.m n13, m, n ¥ . Lời giải