Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN và BCNN

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 4: ƯCLN, BCNN - Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN và BCNN

1. phần III. Các công thức bị hoá ảnh ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI Ước: Số tự nhiên d 0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a. Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư a d ¥ : d | a Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m. Nhận xét: Tập hợp các bội của a a 0 là B a 0;a;2a;...;ka, k Z 2) Tính chất: - Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên. - Nếu Ư a 1;a thì a là số nguyên tố. - Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz thì số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x ) n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y ) p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ), Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư a và Ư b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC a;b .
2. Nhận xét: Nếu ƯC a;b 1 thì a và b nguyên tố cùng nhau. Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d ¥ được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b a;b ¢ khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC a;b . Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN a;b hoặc a;b hoặc gcd a;b . Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B a và B b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội số chung của a và b. Kí hiệu BC a;b . Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số m 0 được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC a;b . Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN a;b hoặc a;b hoặc lcm a;b . 2) Tính chất Một số tính chất của ước chung lớn nhất: ● Nếu a1;a2 ;...;an 1 thì ta nói các số a1;a2 ;...;an nguyên tố cùng nhau. ● Nếu am;ak 1,m k, m,k 1;2;....;n thì ta nói các số a1;a2 ;...;an đôi một nguyên tố cùng nhau. a b a;b ● ƯCc a;b thì ; . c c c a b ● d a;b ; 1. d d ● ca;cb c a;b . ● a;b 1 và a;c 1 thì a;bc 1 ● a;b;c a;b ;c ● Cho a b 0 - Nếu a b.q thì a;b b. - Nếu a bq r r 0 thì a;b b;r .
3. Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất: M M ● Nếu a;b M thì ; 1. a b ● a;b;c a;b;c ● ka, kb k a,b; ● a;b. a;b a.b PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN I. Phương pháp giải Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz thì số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó: m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x ) n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y ) p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ), Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 II. Bài toán Bài 1: Tìm số ước của số 1896 . Lời giải: 96 Ta có : 1896 32.2 3192.296. Vậy số ước của số 1896 là 96 1 192 1 97.193 18721. Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ. Lời giải:
4. Giả sử n pa1 .pa2 ....pak với p nguyên tố và a N*. 1 2 k i i n là số chính phương khi và chỉ khi a ,a ,...,a là các số chẵn khi đó a 1 a 1 ... a 1 là số lẻ. 1 2 k 1 2 k Mặt khác a 1 a 1 ... a 1 là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh. 1 2 k Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số. Lời giải Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng : 2 2 n m 1 m2 m 1 3m2 2 không thể là số chính phương. Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài 3: Cho (a,b) 1;a b. Chứng minh rằng: a) (a,a b) 1 c) (ab,a b) 1 b) (b,a b) 1 d) (a2 ,a b) 1 Lời giải * ad a) Đặt (a,a b) d(d N ) bd d UC(a,b) d U (UC(a,b)) 1d d 1 a bd abd c) (ab,a b) d a bd Giả sử d 1. Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước ab p nguyên tố) d p a b p ab b p Ta có: ab p p UC(a,b) p U (ucln(a,b)) 1 p p 1 (vô lý) b p a p Vậy d 1 (ab;a b) 1 a2  p a p b p a2bd a2b p d) b p a p a bd a b p a b p
5. Bài 3: Biết rằng abc là bội chung của ab;ac;bc . Chứng minh rằng: a) abc là bội của bc b) abc là bội của 11 Lời giải a) abc : ab 10ab cab cab c 0 (do c có một chữ số, ab có hai chữ số) abcac - (100a 10b)10a ba c 0 Đặt b ak(k N * ) abcba - 100a 10b(10b a) 99a10b a 99a10ak a 9910k 1 10k 1 11 c 0;b ak k 1 a b;c 0 Vì abcac abcbc đpcm b) abc aa0 110a11 đpcm Bài 4: Biết rằng a,b.(a,b) ab a. a,b 600;(a,b) nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó Lời giải a. Ta có: (a,b) 600 :10 60;(a,b).a,b ab 60.60 120.b b 300 b. Số thứ hai là 36 c. Gọi hai số phải tìm là: a và b (m,n) 1 ab d 2.m.n a dm;b dn (a,b) d, đặt * ; a,b dmn m,n N (a,b) d Có: d dmn 4 d(mn 1) 4(1) Vì tổng của hai bằng 60 nên d(m n) 60(2)
6. Từ (1)(2) 1,2,3,4,6,12 d d 12(thoa.man) m 2;n 3a 24;b 36 Hoặc m 3;n 2 a 36;b 24 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết I. Phương pháp giải Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện. II. Bài toán Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n 14 chia hết cho n 2 . Lời giải: Ta có: 5n 14 5. n 2 4 Mà 5. n 2 chia hết cho n 2 Do đó 5n 14 chia hết cho n 2 4 chia hết cho n 2 n 2 là ước của 4. n 2 1 ; 2 ; 4 Do đó n {0;2} Vậy với n {0;2} thì 5n 14 chia hết cho n 2 . n 15 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên. n 3 Lời giải: n 15 Để là số tự nhiên thì n 15 chia hết cho n 3 . n 3 n 15 n 3 chia hết cho n 3 . 12 chia hết cho n 3 . n 3 là Ư 12 {1;2;3;4;6;12}. n {0;1;3;9}. n 15 Vậy với n {0;1;3;9} thì là số tự nhiên. n 3
7. Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 3n 6  n 3 . Lời giải: Ta có: n2 3n 6  n 3 Suy ra: n n 3 6  n 3 6 n 3 Do đó n 3 Ư 6 1;2;3;6 Vậy n 0;n 3 thì n2 3n 6  n 3 . 4n 5 Bài 4: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên. 2n 1 Lời giải: 4n 5 4n 2 7 2 2n 1 7 7 Ta có: 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 4n 5 7 Vì 2 là số nguyên nên để là số nguyên thì là số nguyên 2n 1 2n 1 Suy ra 2n –1 Ư 7 –7;–1;1;7 2n –6;0;2;8 n –3;0;1;4 4n 5 Vậy với n –3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên. 2n 1 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B n 2 n 2 n 2 Lời giải Ta có: 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 4(n 2) 11 11 B 4 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 11 Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n 2 11 n 2 n 2 Ư 11 11; 1;1;11 Do n 2 1 nên n 2 11 n 9 . Vậy n 9 thì B là số tự nhiên.
8. k 1 2 Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n là một số nguyên dương. k 23 Lời giải 2 k 1 k 2 2k 1 k 23 k 21 484 484 Ta có: n k 1 ,k Z n là một số k 23 k 23 k 23 k 23 nguyên dương khi và chỉ khi k 23 | 484, k 23 23 k 23 121 k 98 Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 k 23 44 k 21 Với k 98 , ta có n 81 Với k 21, ta có n 11 Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98. Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC. I. Phương pháp giải - Biết ƯCLN(a, b) = k thì a km và b kn với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b - Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì a md và b nd với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b. II. Bài toán Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a;b biết a b 128 và ƯCLN(a, b) = 16. Lời giải: Điều kiện: a,b ¢ Giả sử 0 a b . Ta có ƯCLN(a, b) = 16 a 16m;b 16n với m,n Z ; ƯCLN m,n 1;m n Biết a b 128 16 m n 128 m n 8 Vì ƯCLN m,n 1 nên ta có hai trường hợp của m và n Trường hợp 1: m 1,n 7 a 16,b 112
9. Trường hợp 2: m 3,n 5 a 48,b 80 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a b 162 và ƯCLN a, b 18 Lời giải: Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b Ta có: a b 162, a,b 18 a 18m Đặt với m, n 1, m n b 18n Từ a b 162 18 m n 162 m n 9 Do m,n 1 , lập bảng: m 1 2 3 4 n 8 7 6 5 a 18 36 loai 72 b 144 126 90 Kết luận: Các số cần tìm là: 18;144 ; 36;126 ; 72;90 Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15 Lời giải: Gọi hai số cần tìm là a;b a,b ¥ ;a,b 200 Ta có: a b 90; a,b 15 a 15m m, n 1 m, n 1 Đặt b 15n 15 m n 90 m n 6 15m 200 m 13 Lại có: a,b 200 15n 200 n 13 m n a b 13 7 195 105 11 5 65 75 7 1 85 15
10. Vậy: a,b 195;105 , 65;75 , 85;15 . Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6. Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b . Điều kiện: a,b ¥ . Ta có: ab 432; a,b 6 a b Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = 1 và m ≤ n 36mn 432 mn 12 Ta được: m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy a, b 6;72 , 18, 24 . Bài 5: Tìm hai số a,b biết 7a 11b và ƯCLN a;b 45 . Lời giải Từ 7a 11b suy ra a b a 45a1 Từ ƯCLN a;b 45 a1;b1 1, a1 b1 b 45b1 a 45.11 495 a 11 a1 11 a1 11 Mà: vì a1;b1 1 => b 7 b1 7 b1 7 b 45.7 315 Vậy hai số a,b cần tìm là a 495 vàb 315 . Bài 6: Cho a 1980,b 2100. a) Tìm a,b và a,b . b) So sánh a,b. a,b với ab. Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên a và b khác 0 tùy ý. Lời giải a) 1980 22.32.5.11, 2100 22.3.52.7. ƯCLN(1980, 2100) 22.3.5 60 BCNN 1980,2100 22.32.52.7.11 69300.