Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 2: Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 2: Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố

1. ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. -Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2. -Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn. -Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương. -Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố. -Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. ap -Nếu tích abp (p là số nguyên tố) bp -Đặc biệt nếu a n p ap (p là số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N* ) -Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N* ) -Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số nguyên tố để một hay nhiều biểu thức đồng thời là số nguyên tố. I. Phương pháp giải -Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích. - Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n. - Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán. II. Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố. a, p 10,p 14 b, p 2,p 6,p 8,p 12,p 14 Lời giải: a,
2. - Với p 2 p 2 4 là hợp số, nên p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 p 10 13, p 14 17 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N + Nếu p 3k 1 p 14 3k 15 3(k 5)3 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 10 3k 12 3(k 4)3 là hợp số p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 thì p 10,p 14 là số nguyên tố. b, - Với p 2 p 6 8 là hợp số, nên p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 p 6 9 là hợp số, nên p 3 không thỏa mãn đề bài. - Với p 5 p 2 7, p 6 11, p 8 13, p 12 17, p 14 19 đều là số nguyên tố, nên p 5 thỏa mãn đề bài. - Với p 5 và p là số nguyên tố nên nên p có dạng 5k 1,5k 2,5k 3,5k 4, (k N* ) + Nếu p 5k 1 p 14 5k 155là hợp số p 5k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 5k 2 p 8 5k 105là hợp số p 5k 2 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 5k 3 p 12 5k 155 là hợp số p 5k 3 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 5k 4 p 6 5k 105 là hợp số p 5k 4 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 5 thì p 2,p 6,p 8,p 12,p 14 là số nguyên tố. Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. Lời giải: Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: 2k 1,2k 3,2k 5(k N* ) Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3. - Nếu 2k 33 2k3 k3 mà 2k 3là số nguyên tố. Mà 1 không là số nguyên tố nên . - Nếu 2k 53 2k 23 2(k 1)3 (k 1)3 . Mà 2k 5là số nguyên tố k 1 trái với điều kiện. - Nếu 2k 13 2k 1 3 (vì 2k 1là số nguyên tố) k 1 2k 3 5;2k 5 7 đều là các số nguyên tố k 1 thỏa mãn đề bài. Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là 3,5,7 . Bài 3: Tìm các số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố cần tìm thì ta có p p1 p2 p3 p4 ( p1 ,p2 ,p3 ,p4 đều là các số nguyên tố và p3 p4 )
3. Để p là số nguyên tố thì p1 ,p2 có một trong hai số là số chẵn và p3 ,p4 cũng có một trong hai số là số chẵn. Giả sử p1 p2 thì p2 p4 2 Ta có: p p 1 2 p3 2 p3 p1 4 . Ta thấy p1 ,p1 2,p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp. Theo câu 2 p1 3 p p1 2 5. Thử lại: p 5 5 2 3 7 2. Vậy số cần tìm là 5. Bài 4: Tìm k N để dãy số k 1,k 2,.....,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất. Lời giải: -Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3;...;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4;...;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố. -Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5;...;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2,...,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp. Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số. Vậy k 1là giá trị cần tìm. Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 94, p 1994cũng là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 là số nguyên tố nên p 94 96 là hợp số. Do đó p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 là số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 + Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho p 18, p 24, p 26, p 32 cũng là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 ta có p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 ta có p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố, do đó p 3 thỏa mãn đề bài.
4. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 + Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số, do đó p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 7: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 2, p 8, p 16 đều là số nguyên tố. Lời giải: - Với p 2 là số nguyên tố p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 là số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N * + Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số, do đó p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 8: Tìm số nguyên tố p sao cho: a, 2 p 1,4 p 1 cũng là số nguyên tố. b, 2 p 1,4 p 1 cũng là số nguyên tố. Lời giải: a, - Với p 2 2 p 1 3,4 p 1 7 là số nguyên tố p 2 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 2 p 1 5,4 p 1 11 đều là số nguyên tố p 3 thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N * + Nếu p 3k 1 4 p 1 4 3k 1 1 12k 33 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 2 p 1 2 3k 2 1 6k 33 là hợp số nên p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 và p 2 là số nguyên tố cần tìm. b, - Với p 2 là số nguyên tố 4 p 1 9 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài. - Với p 3 là số nguyên tố 2 p 1 7,4 p 1 13 đều là số nguyên tố p 3thỏa mãn đề bài. - Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N * + Nếu p 3k 1 2 p 1 2 3k 1 1 6k 33 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài. + Nếu p 3k 2 4 p 1 4 3k 2 1 12k 93 là hợp số nên p 3k 2 không thỏa mãn đề bài. Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm. Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n 1, n 3 , n 7 , n 9 , n 13 , n 15 đều là số nguyên tố Lời giải: - Với n 0 thì n 9 9 là hợp số. Do đó n 0 không thỏa mãn đề bài. - Với n 1 thì n 3 4 là hợp số. Do đó n 1không thỏa mãn đề bài.
5. - Với n 2 thì n 13 15 là hợp số. Do đó n 2 không thỏa mãn đề bài. - Với n 3 thì n 3 6 là hợp số. Do đó n 3không thỏa mãn đề bài. - Với n 4 thì thì n 1 5,n 3 7,n 7 11,n 9 13,n 13 17,n 15 19 đều là các số nguyên tố. Do đó n 4 thỏa mãn đề bài. - Với n 4 thì n có có dạng n 4k 1,n 4k 2,n 4k 3,(k N * ) . + Với n 4k 1 thì n 1 4k 2 là hợp số. Do đó n 4k 1 không thỏa mãn. + Với n 4k 3 thì n 1 4k 4 là hợp số. Do đó n 4k 3 không thỏa mãn. + Với n 4k 2 thì n 13 4k 2 13 4k 15 là hợp số. Do đó n 4k 2 không thỏa mãn Do đó n 4 thỏa mãn đề bài. Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho 7 p q và pq 11 cũng là số nguyên tố Lời giải: Nếu pq 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2 Suy ra pq là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2 Giả sử p 2 7 p q 14 q là số nguyên tố + Nếu q 2 7 p q 7.2 2 16 là hợp số, p 2,q 2 không thỏa mãn. + Nếu q 3 p.q 11 2.3 11 17 và 7 p q 7.2 3 17 đều là các số nguyên tố, p 2,q 3 thỏa mãn đề bài. + Nếu q 3 , q là số nguyên tố nên có dạng q 3k 1 hoặc q 3k 2, k N * + Với q 3k 1 7 p q 14 3k 13 là hợp số q 3k 1 không thỏa mãn. + Với q 3k 2 pq 11 2q 11 2 3k 2 11 6k 153 là hợp số q 3k 2 không thỏa mãn. Vậy p 2,q 3 . Xét tiếp TH q 2 làm tương tự ta được p 3 . Vậy p 2,q 3 hoặc p 3,q 2 . Bài 11: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p 7 là số nguyên tố. Lời giải: - Nhận thấy p 2 là số nguyên tố, và 5p 7 17 cũng là số nguyên tố - Với p 2 và p là số nguyên tố thì p có dạng p 2k 1, k N * Nếu p 2k 1 5p 7 5 2k 1 7 10k 122 là hợp số, nên p 2k 1 không thỏa mãn. Vậy p 2 là số nguyên tố cần tìm. Bài 12: Ta gọi p,qlà hai số tự nhiên liên tiếp, nếu giữa p và qkhông có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: Nếu 3 số nguyên tố p,q,r đều khác 3 thì p,q,r đều có dạng 3k 1 suy ra p2 q2 r 2 chia cho 3 đều dư 1. Khi đó p2 q2 r 2  3 và p2 q2 r 2 3 nên p2 q2 r 2 là hợp số. Vậy p 3,q 5,r 7 , khi đó p2 q2 r 2 32 52 72 83 là số nguyên tố.
6. Bài 13: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a 13 là số nguyên tố và 25 6a 13 45 Lời giải: Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29;31;37;41;43 Nên ta có bảng sau : 6a 13 29 31 37 41 43 8 14 a 3 4 5 3 3 Mà a là số nguyên tố nên a 3hoặc a 5 . Vậy a 3hoặc a 5 . Bài 14: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c 3(a b c) . Lời giải: Vì a.b.c 3(a b c) abc3 Giả sử a3, vì a là số nguyên tố a 3 . Ta có 3.b.c 3(3 b c) bc 3 b c bc b 3 c b(c 1) 3 c b(c 1) 4 (c 1) (b 1)(c 1) 4 (b,c) (3,3);(2,5) Vậy (a,b,c) (3,3,3);(2,3,5) Bài 15: Ta gọi p,q là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác.Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: +Nếu p,q,r đều khác 3 mà p,q,r là các số nguyên tố. p,q,r chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ). p2 ,q2 ,r2 chia 3 dư 1. p2 q2 r2 chia hết cho 3. Vậy tồn tại 1 số bằng 3. 2 2 2 + TH1: Bộ 3 số p,q,r tương ứng là: 2;3;5 . Khi đó 2 3 4 38 là hợp số. Do đó bộ ba số này không thỏa mãn. + TH2: Bộ 3 số p,q,r tương ứng là: 3;5;7 Khi đó32 42 52 83 là số nguyên tố . Do đó bộ ba số này thỏa mãn đề bài.
7. Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5,7 . Bài 16: Tìm 3 số nguyên tố p,q,r sao cho: pq qp r . Lời giải: Vì pq qp 2 r 2 r là số lẻ ( r là số nguyên tố ). pq ,qp có 1 số lẻ và 1 số chẵn. Giả sử pq là số chẵn p chẵn p 2 ( vì p là số nguyên tố ) 2q q2 r + Nếu q 3 q  1(mod3) q2  1(mod3) Mặt khác q là số lẻ 2q  ( 1)p 1(mod3) 2q q2  0(mod3) 2q q2 3 r3 r 3 ( Vì r là số nguyên tố ). 2q q2 3 ( Loại vì q là số nguyên tố nên q2 3 r 3 ) +Nếu q 3 thì r 32 23 17 là số nguyên tố ( Thỏa mãn ). Vậy (p,q,r) (2,3,17);(3,2,17) . Bài 17: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của ba số này cũng là số nguyên tố. Lời giải: Gọi bộ ba số nguyên tố liên tiếp đó là p,s,r, (p s r) Nếu p,s,r đều không chia hết cho 3 thì p2 ,s2 ,r2 đều chia 3 dư 1 p2 s2 r2 3 Mà p2 s2 r2 3 nên p2 s2 r2 là hợp số ( Trái với GT, loại ) Do đó có ít nhất một trong 3 số p,s,r chia hết cho 3. + Nếu p 3 thì s 3,r 5 Khi đó p2 s2 r2 32 52 72 83 là số nguyên tố ( Thỏa mãn ) + Nếu s 2 thì p 2,r 5 Khi đó p2 s2 r2 22 32 52 28 không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) +Nếu r 3 thì s 2;p 2 (Vô lí vì p là số nguyên tố, loại ) Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là : 3;5;7
8. Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số a,b,c sao cho abc ab bc ac Lời giải: Vì a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử a b c khi đó ab bc ac 3bc abc 3bc a 3 a 2 vì a là số nguyên tố. Với a 2 thì ta có 2bc 2b 2c bc bc 2(b c) 4c b 2 b 4 ( vì p là số nguyên tố ) b 3 + Nếu b 2 thì 4c 4 4c thỏa mãn với c là số nguyên tố bất kì + Nếu b 3 thì 6c 6 5c c 6 c 3;5 Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là (2,2,p);(2,3,3);(2,3,5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên tố. Bài 19: Tìm tất cả các số tự nhiên n để : a, n2 12n là số nguyên tố. b, 3n 6 là số nguyên tố. Lời giải: a, Ta có : n2 12n n n 12 , Vì n 12 1 n n 12 có thêm 2 ước là n và n 12 Để n n 12 là số nguyên tố thì n 1 n2 12n 13 là số nguyên tố n 1 thỏa mãn đề bài. b, Nếu n 0 3n 6 7 là số nguyên tố. Nếu n 0 3n 63 là hợp số. Vậy n 0 . Bài 20: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r . Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Lời giải: Gọi số nguyên tố là p ( p N* ). Ta có: p 30k r 2.3.5.k r(k N* ,r N* ,0 r 30) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5. Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 2,3,5 chỉ có số 1. Vậy r 1. Bài 21: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r .Tìm r biết rằng r là hợp số.
9. Lời giải: Gọi số nguyên tố là p ( p N* ) Ta có: p 42k r 2.3.7.k r(k N* ,r N* ,0 r 42) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,7 . Số nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2,3,7 chỉ có số 25. Vậy r 25 . Bài 22: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. Bài 23: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p p2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: Với p 2 ta có 2 p p2 22 22 8 không là số nguyên tố. Với p 3 ta có 2 p p2 23 32 17 là số nguyên tố. Với p 3 ta có p2 2 p ( p2 1) (2 p 1) . Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên ( p2 1)3 và (2 p 1)3 , do đó 2 p p2 là hợp số. Vậy với p 3 thì 2 p p2 là số nguyên tố. Dạng 2 : Các bài toán chứng minh về số nguyên tố. Bài 24: Chứng minh rằng với n N,n 2 thì 2n 1, 2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Lời giải: Xét dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp. Vì (2,3) 1 (2n ,3) 1 Vì dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. Mà (2n ,3) 1 nên một trong hai số 2n 1;2n 1 chia hết cho 3. Suy ra n N,n 2 thì 2n 1, 2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Bài 25: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n,(n 1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. Lời giải: Chọn số tự nhiên a 2.3.4....n. n 1 Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là a 2,a 3,a 4,.....,a n,a n 1 đều là hợp số vì n số trên lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,n,n 1 ( điều phải chứng minh).
10. Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,a m,a 2m đều là các số gnuyeen tố lớn hơn 3 thì m chia hết cho 6. Lời giải: Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ. Nếu m là số lẻ thì a m là số chẵn lớn hơn 3 nên không là số nguyên tố. Suy ra m là số chẵn. Đặt m 2 p,( p N * ) . Nếu p 3k 1,(k N) thì ba số đã cho là: a,a 6k 2,a 12k 4 Nếu a chia cho 3 dư 1 thì a 6k 23, không thỏa mãn đề bài. Nếu a chia cho 3 dư 2 thì a 12k 43, không thỏa mãn đề bài. Vậy p không có dạng p 3k 1,(k N) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được p không có dạng p 3k 2,(k N) Do đó p 3k,(k N) m 6k m6 Vậy m chia hết cho 6. Bài 27: a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao? b) Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n,30) 1 Lời giải: a) Giả sử p là số nguyên tố và p 30 r với 0 r 30 . Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q 30 q 2;3;5 . Nhưng với q 2;3;5 thì r lần lượt chia hết cho 2; 3; 5 (vô lí). Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa, chẳng hạn p 109 60.1 49 mà 49 là hợp số. b) Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Với r 1,11,19,29 thì p2 1 (mod 30). Với r 7,13,17,23 thì p2 19 (mod 30). Suy ra p4 1 (mod 30). Giả sử p1, p2,..., pn là các số nguyên tố lớn hơn 5. 4 4 4 Khi đó q p1 p2 ... pn  n (mod 30) q 30k n là số nguyên tố nên (n,30) 1.