Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 1: Định nghĩa và tính chất cơ bản của số chính phương

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 6: Số chính phương - Chủ đề 1: Định nghĩa và tính chất cơ bản của số chính phương

1. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên. Ví dụ : 4 và 6 là hai số chính phương vì 4 22 ; 16 42 II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG: 1. Số chính phương chỉ cĩ thể cĩ chữ số tận cùng là0 ;1;4;5;6;9 , khơng thể cĩ chữ số tận cùng là 2;3;7;8 Để chứng minh một số khơng phải số chính phương ta chỉ ra số đĩ cĩ hàng đơn vị là 2;3;7;8 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, khơng chứa TSNT với mũ lẻ. Từ tính chất 2 ta cĩ các hệ quả: a) Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 . b) Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9. c) Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25 . d) Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16 . e) Tích của các số chính phương là một số chính phương. f) Với A là số chính phương và A a.b , nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương. Để chứng minh một số khơng phải SCP ta chỉ ra số đĩ khi phân tích ra TSNT thì cĩ số mũ lẻ. 3. Số chính phương chỉ cĩ thể cĩ một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1 ( a2  0(mod3) , a2 1 ( m o d 3 ) ), khơng cĩ SCP nào cĩ dạng 3n 2 n ¥ . 4. Số chính phương chỉ cĩ thể cĩ một trong hai dạng 4n hoặc 4n 1 ( a2  0(mod 4) , a2 1(mod 4) ) khơng cĩ SCP nào cĩ dang 4n 2 hoặc 4n 3 n ¥ 5. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số cĩ số lượng các ước là lẻ thì đĩ là số chính phương. 6. Nếu A số một số chính phương, A chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì A chia hết cho p2 . 7. Nếu a2 chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho p . 2 8. Hai số chính phương a2 và a 1 được gọi là hai số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính phương liên tiếp khơng cĩ số chính phương nào. 2 Nghĩa là: nếu n2 A n 1 thì A khơng là số chính phương. 9. Nếu tích a.b là một số chính phương và (a,b) 1 thì hai số a và b đều là các số chính phương 10. Số chính phương biểu diễn được thành tổng các số lẻ : 1 3 22 ; 1 3 5 32 ; 1 3 5 7 42... Chứng minh:
2. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giả sử: A 1 3 5 ... 2k 1 với k ¥ (2k 1) 1 Ta cĩ từ 1 đến 2k 1 cĩ 1= k 1 số hạng 2 2k 1 1 k 1 2 A 1 3 5 ... 2k 1 k 1 (đpcm) 2 PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI  2 Bài 1: Cho các số n 11; 101; 1001; 10001; 100...01 . Hãy tìm các số chính phương n . k chữ số 0  Lời giải: Ta cĩ: 112 121 1012 10201 10012 1002001 100012 100020001 2 Tổng quát: 10 0...01 10 0...0 2 0 0...01 k chữ số 0 k chữ số 0 k chữ số 0 Bài 2: Các biểu thức số sau cĩ phải số chính phương hay khơng? a) A 3 32 33 ... 320 b) B 11 112 113 c) C 1010 8 d) D 100! 7 e) E 1010 5 f) F 10100 1050 1 g) G 2004000 h) H 20012001 Lời giải a) Ta cĩ: 3n 9 với mọi n 2 nên 32 33 ... 320 9 Suy ra A 3 32 33 ... 320 chia cho 9 dư 3. Vì A chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9 nên A khơng phải là số chính phương. b) Ta cĩ: B 11 112 113 B 11(1 11 112 ) B 11.133 B ...3 B cĩ chữ số tận cùng là 3 nên B khơng phải là số chính phương. c) Ta cĩ 1010 8 cĩ chữ số tận cùng là 8 nên khơng phải là số chính phương.
3. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG d) Ta cĩ 100! 7 cĩ chữ số tận cùng là 7 nên khơng phải là số chính phương. e) Ta cĩ 1010 5 cĩ cặp chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng khơng chia hết cho 25 nên khơng phải là số chính phương. f) Ta cĩ 10100 1050 1 cĩ tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9 nên khơng phải là số chính phương. g) Ta cĩ số 2004000 cĩ tận cùng là 3 chữ số 0 G khơng tận cùng là chẵn lần chữ số 0 G khơng là số chính phương. 2 h) Ta cĩ: H 20012001 20012000.2001 20011000 .2001 2 20011000 là số chính phương, ta xét số 2001: Vì 2001 cĩ tổng các chữ số là 3 nên số 2001 chia hết cho 3 mà khơng chia hết cho 9. số 2001 khơng là số chính phương. Vậy H khơng là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng: a) Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ cĩ thể cĩ số dư là 0 hoặc 1. b) Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ cĩ thể cĩ số dư là 0 hoặc 1. c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ cĩ thể cĩ số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 . d) Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ cĩ số dư là 1. Lời giải: a) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 3: + Nếu n 3k n2 9k 2 3 2 2 + Nếu n 3k 1 n 9 k 6 k 1 n chia 3 dư 1 3 3 2 2 2 + Nếu n 3k 2 n 9k 12k 4 9k 12k  3 1 n chia 3 dư 1 3 Vậy một số chính phương khi chia cho 3 chỉ cĩ thể cĩ số dư là 0 hoặc 1. b) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 2 : + Nếu n 2k n2 4k 2 4 n chia 4 dư 0 2 2 2 + Nếu n 2k 1 n 4k 4k 1 4k  4k 1 n chia 4 dư 1 4 Vậy một số chính phương khi chia cho 5 chỉ cĩ thể cĩ số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 . c) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 5: + Nếu n 5k n2 25k 2 5 n chia 5 dư 0 2 2 2 + Nếu n 5k 1 n 25k 10k 1 25k  10k 1 n chia 5 dư 1 5 2 2 2 + Nếu n 5k 2 n 25k 20k 4 25k  20k 4 n chia 5 dư 4 5
4. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG d) Ta cĩ: n 2k 1 n2 (2k 1)2 4k 2 4k 1 4k(k 1) 1 Vì k(k 1)là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k 1) chia hết cho 2 . 4k(k 1) chia hết cho 8. 4k(k 1) 1 chia 8dư 1. Vậy một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ cĩ số dư là 1. Bài 4: a) Cho A 22 23 24 ... 220 . Chứng minh rằng A 4 khơng là số chính phương. b) Cho B 3 32 33 ... 3100 . Chứng minh rằng 2B 3 khơng là số chính phương. Lời giải: a) Ta cĩ: A 22 23 24 ... 220 (1) 2.A 23 24 25 ... 221 (2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2.A A 221 22 A 221 4 A 4 221 4 4 221 2 A 4 220.2 210 .2 2 Mà trong tích 210 .2 ta cĩ số 2 khơng là số chính phương A 4 khơng là số chính phương b) Ta cĩ: B 3 32 33 ... 3100 (3) 3.B 32 33 34... 3101 (4) Lấy (4) trừ (3) ta được: 3.B B 3101 3 2B 3101 3 2B 3 3101 3 3 2B 3 3101 2 2B 3 3100.3 350 .3 2 Ta cĩ 350 .3 khơng là số chính phương do 3 khơng là số chính phương.
5. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy 2B 3 khơng là số chính phương. 101 21 • Lưu ý: B 3 3 , A 4 2 cũng cĩ thể kết luận ngay chúng khơng là số chính phương ( Chứ thừa số nguyên tố với số mũ lẻ ) Bài 5: Cho hai số chính phương cĩ tổng là một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng cả hai số chính phương đĩ đều chia hết cho 9. Lời giải Gọi hai số chính phương là: a2 ,b2 . Theo đầu bài ta cĩ: a2 b2 3 Ta xét các trường hợp: + Giả sử a2  3, b2  3 a2 b2 chia 3 dư 2 (theo tính chất 3) mâu thuẫn giả thiết a2 b2 3 + Giả sử hoặc a2 hoặc b2 khơng chia hết cho 3, số cịn lại chia hết cho 3 a2 b2  3 (mâu thuẫn giả thiết) a2 3 a3 , mà 3 là số nguyên tố. 2 b 3 b3 a2 9 (đpcm) 2 b 9 Bài 6: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì ta được số chính phương B . Tìm A và B . Lời giải Đặt A a2 ; B b2 (a b;32 a b 100) Vì thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì ta được số B nên dễ thấy: B A 1111 Mà: 1111 1.1111 11.101 và 1 b a b a 200 1111 b2 a2 (b a)(b a) b a 11 b a 101 a 45 b 56 A a2 2025 2 B b 3136 Vậy hai số cần tìm là 2025;3136 . Bài 7: Tìm số nguyên tố ab (a b 0) , sao cho ab ba là số chính phương. Lời giải
6. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta cĩ: ab ba 10a b (10b a) 9a 9b 9(a b) là số chính phương; Mà ab ba là số chính phương. a b là số chính phương a b 1 a b 4 +) Với a b 1 ab 21,32,43,54,65,76,87,98 +) Với a b 4 ab 51,62,73,84,95 Vậy các số nguyên tố ab thỏa yêu cầu đề bài là: ab 43;73 Bài 8: Tìm số chính phương cĩ bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau. Lời giải Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n2 (a,b ¥ ,1 a 9,0 b 9) Ta cĩ : aabb 1000a 100a 10b b n2 1100a 11b n2 11(100a b) (1) Lại cĩ : aabb11 100a b11 (99a a b)11 mà 99a  11 a b11 Mà : 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11 Thay a b 11 vào (1) , ta được : n2 11(99a 11) 11(9.11a 11) 1112 (9a 1) 9a 1phải là số chính phương (do 1112 là số chính phương) Ta cĩ bảng sau: Ta cĩ : 7744 112.82 882 Vậy số cần tìm là : 7744 . Cách 2: Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n2 (a,b N,1 a 9,0 b 9) Ta cĩ: n2 aabb 1000a 100a 10b b 1100a 11b 11(100a b) = 11.a0b Do đĩ: a0b 11k 2 (k ¥ )
7. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta cĩ: 100 11k 2 909 1 7 9 k 2 82 11 11 4 k 9 Ta cĩ bảng: Mà a0b 11k 2 a0b 704 chọn k 8 n2 aabb 11.11k 2 11.11.82 882 7744 Bài 9: Tìm số tự nhiên n để 28 211 2n là số chính phương. Lời giải Đặt 28 211 2n a2 (a 0,a N) 482 2n a2 2n (a 48)(a 48) +) Với n 0 (a 48)(a 48) 1 vơ lí +) Với n 0 a 48 2x (x y n; x y) y a 48 2 96 2x 2 y y x y 5 2 (2 1) 2 .3 lẻ 2 y 5 x y 2 4 x 7 n 12 y 5 Bài 10: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A 1.2.3...1112. Hỏi: số A cĩ thể cĩ 81 ước được khơng? Lời giải Giả sử A cĩ 81 ước. Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1) Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1 2 3 ... 12 51 Vì 51  3 nên A chia hết cho 3 nhưng A khơng chia hết cho 9, do đĩ A khơng là số chính phương mâu thuẫn với (1).
8. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy A khơng thể cĩ 81 ước. Bài 11: Tìm số cĩ hai chữ số, biết rằng nếu nhân nĩ với 45 thì ta được một số chính phương. Lời giải Gọi số phải tìm là n n ¥ , 10 n 99 Ta cĩ: 45.n a2 a ¥ hay 32.5.n a2 Vì số chính phương chỉ cĩ các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên n 5.k 2 k ¥ * +) Với k 1 n 5.12 5(khơng thỏa mãn) +) Với k 2 n 5.22 20 +) Với k 3 n 5.32 45 +) Với k 4 n 5.42 80 +) Với k 5 n 5.52 125 (loại vì n cĩ nhiều hơn hai chữ số) Vậy số cần tìm là 20;45;80 Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết tồn bằng chữ số 2 thì khơng phải số chính phương. Lời giải Gọi A là số tự nhiên được ghi bởi n chữ số 2 ( n 2) Ta cĩ: A 222...222 222...200 22 A 4 A là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 4 A khơng là số chính phương. Bài 13: Một số tự nhiên cĩ tổng các chữ số bằng 2008 thì cĩ thể là số chính phương được khơng? Vì sao? Lời giải Gọi n là số tự nhiên cĩ tổng các chữ số bằng 2008 (n ¥ ) Ta cĩ: 2018 672.3 2 Vì tổng các chữ số của n chia 3 dư 2 nên số n khi chia cho 3 cũng cĩ số dư là 2 n cĩ dạng n 3k 2 (k ¥ ) Mà một số chính phương khơng cĩ dạng 3k 2 nên số tự nhiên n khơng là số chính phương. Vậy một số tự nhiên cĩ tổng các chữ số bằng 2008 thì khơng là số chính phương. Bài 14: Cho A 1 2 22 23 ... 233 . Hỏi A cĩ là số chính phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta cĩ: A 1 2 (22 23 24 25 ) ... (230 231 232 233 ) A 3 2(2 22 23 24 ) ... 229 (2 22 23 24 ) A 3 2.30 ... 229.30
9. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A 3 30.(2 22 ... 229 ) 2 29 A 3.(2 2 ... 2 ) .10 3 A cĩ chữ số tận cùng là 3 A khơng là số chính phương. PHẦN III. CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI Bài 1: Chứng minh rằng A 20124n 20134n 20144n 20154n khơng phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n . (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016) Lời giải Ta cĩ 20124n 4,n ¥ * 20144n 4,n ¥ * 20134n 20134n 1 1 chia cho 4 dư 1 20154n 20154n 1 1chia cho 4 dư 1 Do đĩ A 20124n 20134n 20144n 20154n chia cho 4 dư 2 2 Ta cĩ A2 nhưng A khơng chia hết cho 2 , mà 2 là số nguyên tố nên A khơng là số chính phương. Vậy A khơng là số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng n5 1999n 2017 n ¥ khơng phải là số chính phương. (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018) Lời giải Ta cĩ A n5 1999n 2017 n5 n 2000n 2015 2 A n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) 5n(n 1)(n 2) 2000n 2015 2 Ta thấy n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2)  5 5n(n 1)(n 2)5 2000.n  5 2015  5 Nên A chia 5 dư 2 , mà khơng cĩ số chính phương nào chia 5dư 2 .
10. CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy n5 1999n 2017 n ¥ khơng là số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng là số chính phương. (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005) Lời giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a,a 1,a 2,a 3(a ¥ *) Ta xét S a (a 1) (a 2) (a 3) 4a 6 Vì 4a2 và 62 nên S2 Mặt khác 4a4 và 6 khơng chia hết cho 4 nên S khơng chia hết cho 4. Vậy S chia hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 4 nên S khơng là số chính phương. Bài 4: Cho B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... n(n 1)(n 2) với n ¥ *. Chứng minh rằng B khơng là số chính phương. (Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019) Lời giải Ta cĩ 4B 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... n(n 1)(n 2).(n 3) (n 1) 4B n n 1 n 2 n 3 n4 6n3 11n2 6n 2 Ta cĩ: n4 6n3 11n2 6n n4 6n3 11n2 6n 1 n2 3n 1 2 n4 6n3 11n2 6n n4 6n3 9n2 n2 3n 2 2 Suy ra n2 3n n4 6n3 11n2 6n n2 3n 1 Vậy B khơng là số chính phương. Bài 5: Chứng tỏ tổng sau khơng là số chính phương S abc bca cab khơng là số chính phương. (Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012) Lời giải Ta cĩ: S abc bca cab 111a 111b 111c 111(a b c) 3.37.(a b c) Để S là số chính phương thì a b c 3.37.k 2 (k ¥ ) Điều này vơ lí vì a b c 27 37 Vậy S khơng là số chính phương.