Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 1: Định nghĩa, tính chất, số nguyên tố, hợp số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6 - Chuyên đề 5: Số nguyên tố, hợp số - Chủ đề 1: Định nghĩa, tính chất, số nguyên tố, hợp số

1. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. -Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2. -Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn. -Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương. -Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố. -Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố a 1 , chỉ cần chứng minh a không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. a p -Nếu tích ab p ( p là số nguyên tố) b p -Đặc biệt nếu an  p a p ( p là số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1( n N * ) -Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1( n N * ) -Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. 2.HỢP SỐ -Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương. -Để chứng tỏ một số tự nhiên a a 1 là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. -Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó. -Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh. -Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)
2. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1. a,b nguyên tố với nhau ( a,b) 1;( a,b N * ) - Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau - Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau ( a,b,c ) 1 - a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau a,b,c nguyên tố sánh đôi ( a,b) (b,c ) (c,a ) 1 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT - Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng: p ax b; x N *,( a,b) 1 - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố ( n 2) - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính chất đặc trưng của số nguyên tố và cách nhận biết số nguyên tố,hợp số. I.Phương pháp giải - Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích. - Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn và nhận biết được đâu là số nguyên tố, hợp số. II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: a, Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1( n N * ) b, Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1( n N * ) Lời giải:
3. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 2. Khi đó A sẽ có dạng 4n,4n 1,4n 2,4n 3( n N * ) -Nếu A 4n hay A 4n 2 thì A2 và A là hợp số Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 4n 1,4n 3 Vì 4n 3 4n 4 1 4( k 1) 1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1( n N * ) (đpcm) b, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó A sẽ có dạng 6n,6n 1,6n 2,6n 3( n N * ) -Nếu A 6n hay A 6n 3 thì A3và A là hợp số. -Nếu A 6n 2 thì A2 và A là hợp số. Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 6n 1,6n 5 Vì 6n 5 6n 6 1 6(k 1) 1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1( n N * ) (đpcm) Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ? Lời giải: Ta thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai số nguyên tố thì một trong hai số phải là số chẵn và bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là số nguyên tố vì 2001 69.29 Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003. Bài 4: Cho p và p 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 12. Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * ) * TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 2 6n 3 3( 2n 1)3 Mà p 2 là số lớn hơn 3 nên p 2 là hợp số ( Trái với GT, loại )
4. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 2 6n 1 Khi đó p p 2 6n 1 6n 1 12n12 ĐPCM Bài 5: Cho p là số nguyên tố và một trong hai 8p 1,8p 1 là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải: -Nếu p 2 thì 8p 1 8.2 1 15là hợp số -Nếu p 3 thì 8p 1 8.3 1 25 là hợp số -Nếu p 3 thì 8p không chia hết cho 3 Vậy 1 trong 2 số 8p 1,8p 1 sẽ chia hết cho 3 và là hợp số. Vậy số còn lại là hợp số. Bài 6: Hai số 2n 1,2n 1( n N,n 2) có thể cùng là số nguyên tố hay không ? Vì sao ? Lời giải: Vì 2n 1,2n ,2n 1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.Mà ( 2,3) 1và 3 là số n nguyên tố nên 2 không chia hết cho 3. (1) Mà n 2 nên 2n 1 3,2n 1 3 (2) Từ (1) , (2) suy ra 1 trong 2 số 2n 1,2n 1phải chia hết cho 3. Hai số 2n 1,2n 1( n N,n 2) không thể cùng là số nguyên tố. Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị.Chứng minh rằng d6 . Lời giải Các số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k 1hoặc 3k 2 ( k N * ) Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng, hiệu của chúng ( là d hoặc 2d ) chia hết cho 3 ( theo nguyên lý Drichlet ). Mặt khác d chia hết cho 2 vì d là hiệu của hai số lẻ.Vậy d chia hết cho 6.
5. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 8: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Lời giải: Gọi p là số nguyên tố lơn hơn 3 và p lẻ nên p 12 (1) Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k 1,3k 2(k N,k 1) . Dạng p 3k 1không xảy ra vì nếu p 3k 1thì p 2 3k 33 là hợp số (Loại) p 3k 2 p 1 3k 33 (2) Từ (1) , (2) p 16 ĐPCM Bài 9: Cho p và p 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 100 là số nguyên tố hay là hợp số ? Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * ) * TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 8 6n 9 3( 2n 3)3 Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 8 6n 7 Khi đó p 100 6n 1 100 6n 99 3(2n 33)3 Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số. Bài 10: Cho p và 2 p 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * ) * TH1: p 6n 1,( n N ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 3 3(4n 1)3 Mà 2 p 1 là số lớn hơn 3 nên 2 p 1 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n 1(n N * ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 1 Khi đó 4 p 1 4(6n 1) 1 24n 3 3(8n 1) Mà 4 p 1 là số lớn hơn 3 nên 4 p 1 là hợp số.
6. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30) Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho q2 30 q 2,3,5 Nhưng với q 2,3,5thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý ) Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố. Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r .Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Lời giải: Gọi số nguyên tố là p ( p N * ) Ta có: p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5. Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 2,3,5 chỉ có số 1. Vậy r 1. Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r . Tìm r biết rằng r là hợp số. Lời giải: Gọi số nguyên tố là p ( p N * ) Ta có: p 42k r 2.3.7.k r(k N *,r N *,0 r 42) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,7 . Số nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2,3,7 chỉ có số 25. Vậy r 25 . Bài 14: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ? Lời giải: Chọn dãy số:
7. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a1 1998! 2 a1 2 a2 1998! 3 a2 3 a3 1998! 4 a3 4 ............. . a1997 1998! 1998 a1997 1998 Như vậy: Dãy số a1;a2 ;a3;....;a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố. Bài 15: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được n số liên tiếp nhau ( n 1) mà không có số nguyên tố nào hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a (n 1)! 2 a 2,a 2 nên a là hợp số 1 1 1 1 a (n 1)! 3 a 3,a 3 nên a là hợp số 2 2 2 2 a (n 1)! 4 a 4,a 4 nên a là hợp số 3 3 3 3 ............. . an (n 1)! (n 1) an (n 1),an n 1 nên an là hợp số Như vậy: Dãy số a1;a2 ;a3;....;an gồm có n số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố. Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. Bài 17: Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì (n,30) 1 Lời giải: Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là: 1,7,11,13,17,19,23,29 Với r 1 thì p2 1( mod30) tương tự với r 11, r 9 , r 19
8. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Với r 7 thì p2 19( mod30) tương tự với r 13, r 17 , r 23 Suy ra p2 1( mod30) Giả sử p1, p2 ,..., pn là các số nguyên tố lớn hơn 5 4 4 4 Khi đó q p1 p2 ... pn  n(mod30) p 30k n(k N * ) là số nguyên tố nên (n,30) 1) . Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện. I.Phương pháp giải - Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n . - Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán. II.Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a, p 10, p 14 b, p 2, p 6, p 8, p 12, p 14 Lời giải: a, Vì p 10, p 14 là số nguyên tố và 10;14 là hợp số p 2 p có dạng 3k,3k 1,3k 2(k N * ) . -Nếu p 3k 1 p 14 3k 15 3(k 5)3 là hợp số (Loại) -Nếu p 3k 2 p 10 3k 12 3(k 4)3 là hợp số (Loại) p 10 3 10 13 -Nếu p 3k p 3(vì p là số nguyên tố) (đều là số nguyên tố,thỏa mãn) p 14 3 14 17 Vậy p 3 thì p 10, p 14 là số nguyên tố. b, Vì p 2, p 6, p 8, p 12, p 14 là số nguyên tố p 3. p có dạng 5k,5k 1,5k 2,5k 3,5k 4(k N) -Nếu p 5k 1 p 14 5k 155 là hợp số (loại) -Nếu p 5k 2 p 8 5k 105 là hợp số (loại)
9. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ -Nếu p 5k 3 p 12 5k 155là hợp số (loại) -Nếu p 5k 4 p 6 5k 105là hợp số (loại) -Nếu p 5k mà p là số nguyên tố nên p 5 p 2 7; p 6 11, p 8 13; p 12 17; p 14 19 đều là số nguyên tố (thỏa mãn, lấy) Vậy p 5 thì p 2, p 6, p 8, p 12, p 14 là số nguyên tố. Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. Lời giải: Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: 2k 1,2k 3,2k 5( k N * ) Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 -Nếu 2k 33 2k 3 3(vì 2k 3là số nguyên tố) k 0 2k 1 1(Loại vì 1 không là số nguyên tố) -Nếu 2k 53 2k 5 3 (vì 2k 5là số nguyên tố) k 1(Loại vì -1 không phải là số tự nhiên) -Nếu 2k 13 2k 1 3(vì 2k 1là số nguyên tố) k 1 2k 3 5;2k 5 7 (Thỏa mãn vì đều là số nguyên tố) Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là 3,5,7. Bài 3: Tìm các số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. Lời giải: Giả sử p là số nguyên tố cần tìm thì ta có p p1 p2 p3 p4 ( p1, p2 , p3 , p4 đều là các số nguyên tố và p3 p4 ) Để p là số nguyên tố thì p1, p2 có một trong hai số là số chẵn và p3 , p4 cũng có một trong hai số là số chẵn. Giả sử p1 p2 thì p2 p4 2 Ta có: p p 1 2 p3 2 p3 p1 4 . Ta thấy p1, p1 2, p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp. Theo câu a p1 3 p p1 2 5 . Thử lại: p 5 5 2 3 7 2.
10. CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy số cần tìm là 5. Bài 4:Tìm k N để dãy số k 1,k 2,.....,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất. Lời giải: -Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3;...;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4;...;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố. -Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5;...;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố. -Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2,...,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp. Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số. Vậy k 1là giá trị cần tìm. Bài 5: Ta gọi p,q là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố. Lời giải: +Nếu p,q,r đều khác 3 mà p,q,r là các số nguyên tố. p,q,r chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ). p2 ,q2 ,r 2 chia 3 dư 1. p2 q2 r 2 chia hết cho 3. Vậy tồn tại 1 số bằng 3. 2 2 2 TH1: Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó 2 3 5 38 là hợp số ( Loại ) TH2: Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó32 52 72 83là số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5,7 . Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố p,q,r sao cho: pq q p r . Lời giải: Vì pq q p 2 r 2 r là số lẻ ( r là số nguyên tố ).